- •Кафедра информатики математика ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
2.6. Вычеты функций и их применение
Изучаемые вопросы: Теорема Коши о вычетах; Вычисление вычетов; Вычет в бесконечно удалённой точке; Приложение вычетов к вычислению интегралов.
2.6.1. Теорема Коши о вычетах
Пусть – изолированная особая точка функции. В окрестности этой точкиможет быть представлена рядом Лорана
. (1)
Коэффициент в разложении (1) называетсявычетом функции в изолированной особой точке. Он обозначается как
. (2)
Теорема Коши. Если регулярна в областивсюду, за исключением внутренних точек, то интеграл от функции, взятый по контуру областив положительном направлении, равен произведениюна сумму вычетовв точках:
. (3)
○ Исключим точки , окружив их достаточно малыми окрестностями с границами(см. рисунок).
Воставшейся области(она закрашена серым)удовлетворяет всем условиям интегральной теоремы Коши, следовательно,
(4)
(здесь у контуров поставлен минус, т.к. обход окружностей осуществляется в отрицательном направлении – областьостаётся справа).
Но в окрестности ряд Лорана для:
, (5)
и, интегрируя почленно, получаем:
.
В этом интеграле все члены, кроме содержащего , равны нулю (см. п.2.4.4), а
. (6)
Изменив в (4) направление обхода, с учётом (6.) получим (3). ●
2.6.2. Вычисление вычетов
1. Рассмотрим вычисление вычета в полюсе первого порядка (простой полюс). Пусть в окрестности имеет место разложение
. (7)
Умножим обе части этого равенства на :
. (8)
Устремим , тогда переходя к пределу, получаем
. (9)
Выражению (9) можно придать другой вид, если представить , где– регулярные вфункции, причём, аимеет простой корень. Тогдаи, по правилу Лопиталя
. (10)
2. Пусть теперь – полюс порядка, т.е. ряд Лорана функции:
. (11)
. Умножим обе части этого равенства на и продифференцируем пораз:
и устремим
, (12)
откуда, по аналогии с предыдущим пунктом,
. (13)
Пример 1. □ Найти вычеты в изолированных особых точках.
□ Полюсы функции расположены в точках, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, т.е. их можно найти, решив уравненияи. Корни второго уравнения:– простые полюсы, а корень первого уравнения– полюс второго порядка (он равен степени разности). По формуле (6.9 из Учебного пособия) находим:
Аналогично, найдём, что . В полюсе второго порядка по (13)
. ■
2.6.3. Вычет в бесконечно удалённой точке
Пусть в окрестности бесконечно удалённой точки функцияпредставима рядом Лорана
. (14)
Вычетом в бесконечно удалённой точке называется взятый с противоположным знаком коэффициент при минус первой степени в разложении (14):
. (15)
Пример 2. Найти вычет в бесконечности функции .
□ Разложение в степенной рядсправедливо при любом. Тогда. ■
Теорема. Если имеет конечное число особых точек, то сумма вычетов её, включая вычет в бесконечно удалённой точке, равна нулю, т.е.
. (16)
2.6.4. Приложение вычетов к вычислению интегралов
Если регулярна в односвязной области, то по теореме Коши интеграл от неё по любому замкнутому контуру вравен нулю:.
Основная теорема о вычетах: если непрерывна на границеобласти, за исключением конечного числа особых точек, то
. (17)
Для вычисления этого интеграла необходимо:
Определить контур интегрирования и сделать его рисунок.
Найти особые точки подынтегральной функции, которые находятся внутри контура интегрирования, и вычислить вычеты в них, определив тип этих точек.
Используя основную теорему о вычетах, найти численное значение интеграла.
Пример 1. Найти несобственный интеграл (– вещественная переменная).
□ Рассмотрим интеграл от ФКП , где– комплексная переменная,– отрезок вещественной оси,– полуокружность радиуса. Вычислимс помощью вычетов.
Подынтегральная функцияимеет полюсы второго порядка в точках. Пустьдостаточно велико, так чтопопадает внутрь контура (см. рисунок). Тогда для полюса второго порядка, который изображен на рисунке
Следовательно, . С другой стороны,, а последний интеграл, и, значит,. ■
Вопросы для самопроверки по теме 2.6
Какой коэффициент ряда Лорана называется вычетом функции ?
Сформулируйте теорему Коши о вычетах.
Напишите формулы для вычисления вычетов в полюсе первого порядка, полюсе порядка и в БУТ.
Чему равна сумма вычетов функции , имеющей конечное число особых точек?
Все шесть тем этого раздела подробно описаны в Учебном пособии, которое Вам предстоит изучить. В результате Вы сможете решить задачи контрольной работы, варианты которой, в соответствии с вашим шифром, содержатся в разделе 4.