- •Кафедра информатики математика ч.2 Численные методы, теория функций комплексного переменного, дискретная математика
- •1. Информация о дисциплине
- •1.2. Содержание дисциплины и виды учебной работы3
- •Раздел 1. Численные методы (59 часов)
- •Тематический план дисциплины
- •Тематический план дисциплины
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •3.2. Опорный конспект
- •Раздел 1. Численные методы
- •1.1. Обработка результатов измерений и погрешности вычислений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.1
- •1.2. Интерполяция и численное дифференцирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.2
- •1.3. Численное интегрирование
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.3
- •1.4. Приближение функций
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.4
- •1.5. Многомерные задачи
- •1.6. Численные методы алгебры
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.6
- •1.7. Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации
- •1.8. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Вопросы для самопроверки по теме 1.8
- •Раздел 2. Теория функций комплексного переменного
- •2.1. Комплексные числа и действия над ними
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.1
- •2.2. Функции комплексного переменного (фкп). Условия Коши-Римана
- •Вопросы для самопроверки по теме 2.2
- •2.3. Элементарные функции и конформные отображения
- •2.4. Представление регулярных функций интегралами
- •2.5. Представление регулярных функций рядами
- •2.6. Вычеты функций и их применение
- •Раздел 3. Дискретная математика
- •3.1. Элементы теории графов
- •3.2. Формальные языки и дискретные автоматы
- •Ответ: 101001 110100. Табл.(**)
- •3.3. Элементы алгебры логики
- •Вопросы для самопроверки по теме 3.3
- •3.4. Учебное пособие
- •Раздел 4. Блок контроля освоения дисциплины
- •4.1. Методические указания к выполнению контрольных работ Контрольные работы №1 и №2
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольная работа №1 Задание 1
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •Задание 2
- •1. Цель работы
- •Задание 3
- •2.6. Метод Симпсона
- •Задание 4
- •Контрольная работа №2 Задание 5
- •Задание 6
- •Задание 7
- •Вычет в полюсе порядка m вычисляется по формуле
- •По теореме Коши о вычетах интеграл будет равен
- •Задание 8
- •Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции
- •3. Порядок выполнения работы
- •2.1. Отделение корней Графический метод отделения корней
- •Решение.
- •Аналитический метод отделения корней
- •Другие методы отделения корней
- •Метод касательных (Ньютона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 3
- •Решение.
- •3. Порядок выполнения работы
- •Лабораторная работа 4
- •1. Цель работы
- •2. Основные теоретические положения
- •2.1. Метод прямоугольников
- •2.2. Метод трапеций
- •2.3. Метод парабол (Симпсона)
- •3. Порядок выполнения работы
- •3. Порядок выполнения работы
- •4.3. Блок текущего контроля
- •4.3.1. Репетиционный тест по разделу 1
- •4.3.2. Репетиционный тест по разделу 2
- •4.3.3. Репетиционный тест по разделу 3
- •Ответы:
- •2. Изобразить в виде графа структуру заданного языка и построить совокупность слов, порождаемых грамматикой данного языка: Алфавит . Правила грамматики:.
- •4. Построить сднф, сокращённую и минимальную днф булевой функции, заданной таблицей. Изобразить контактные схемы для исходной, сокращённой и минимальной днф.
- •4.5. Блок итогового контроля
- •4.5.1. Вопросы к зачёту
- •Глоссарий (краткий словарь основных терминов и положений)
- •Содержание
- •Раздел 1. Численные методы ………………………………… 15
2.4. Представление регулярных функций интегралами
Изучаемые вопросы: Интеграл от ФКП. Свойства интеграла. Теорема Коши. Интеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления.
2.4.1. Интеграл от ФКП
Пусть на кривой плоскостизадана ФКП(рис.1). Разобьём её начастей точкамии составим интегральную сумму
, (1)
где . Будем бесконечно увеличивать дробление кривойтак, чтобы. Тогда, если– кусочно-гладкая и непрерывная, то существует конечный предел суммы, не зависящий ни от способа дробления, ни от выбора точки, и он называетсяинтегралом от вдоль кривой :
. (2)
Интеграл от ФКП можно выразить через вещественные криволинейные интегралы. Пусть, как обычно,
О свойствах интеграла Вы прочитаете в Учебном пособии.
2.4.2. Теорема Коши
Пусть регулярна в односвязной ограниченной области, тогда интеграл вдоль любой замкнутой кривойравен нулю. Т.е.
. (1)
Примем эту теорему без доказательства, и обобщим её на многосвязные области. Но сначала отметим, что условия Коши-Римана достаточны для того, чтобы . И обратно, еслинепрерывна в односвязной области и, тоудовлетворяет условиям Коши-Римана в этой области.
Отсюда следуетвторое определение регулярной функции: однозначная и непрерывная функция называется регулярной, если .
Рассмотрим двусвязную область, как на рисунке.
Проведём в области
разрези рассмотрим контур,
начиная от точки разреза на внешней
границе. Обойдём этот контур в положительном
направлении, т.е. так, чтобы областьоставалась слева (жирные стрелки). Тонкие
стрелки означают путь по внутренней
границе в отрицательном направлении,
но областьвсё равно остаётся слева, тогда интеграл
по замкнутому контуру будет равенпо внешнему контуру равенпо всем внутренним контурам. ( В н
Рис.1.
. (2)
2.4.3. И нтеграл с переменным верхним пределом. Основная формула интегрального исчисления
Пусть функция регулярна в области. Рассмотрим функцию– интеграл с переменным верхним пределом от функции. Можно доказать, что существует производная этого интеграла, причём. Т.е., как и в вещественном анализе, является первообразной функцией для. И, также,
. (3)
2.4.4. Интегральная формула Коши
1) Вычислим при целом, считая, что контурне проходит через точку. При, очевидно,. И этот интеграл будет однозначной регулярной функцией везде, при, или везде, кроме.
Пусть теперь . Тогда , считая что контурне проходит через точкуполучим интеграл. Если точкалежит вне контура, то, по теореме Коши, этот интеграл по любому замкнутому контуру будет равен нулю: .
Теперь пусть точка находится внутри контура. Тогда в точкеподынтегральная функция не определена, и, значит, не регулярна. Окружим эту точку окружностьюрадиуса(см. рисунок), тогдарегулярна в кольце.
Н а кольце– аргумент числа. Но, тогда
и не зависит от радиуса . Итак,
(4)
2) Формула Коши. Пусть регулярна в областии– контури точка. Составим функцию. Она регулярна везде в области, кроме точки. Окружим эту точку кругом радиуса(см. рисунок).
Всерой области эта функция регулярна везде, тогда по теореме Коши
при обходе по в положительном направлении. Но, тогда
Члены, выделенные жирным шрифтом не зависят от , а последний член можно оценить, как
поскольку , а при. Следовательно,. И, заменяяна, получаем:
. (5)
Далее, точка лежит в области, точка – на линии , т.е.. Значит, подынтегральная функция в (5) непрерывна, и её можно дифференцировать попод интегралом сколько угодно раз. Тогда
. (6)
Итак, интегральная формула Коши (5) выражает значение регулярной функции во внутренней точке области через значение этой же функции на границе области. Оказывается также, что регулярная функция имеет производные любого порядка, которые, разумеется, также являются регулярными функциями. Их можно найти по формуле (6).
Формула Коши играет важную роль в ТФКП, являясь основой для решения граничных задач.
Вопросы для самопроверки по теме 2.4
1. Что называется интегралом от вдоль кривой ?
2. Как интеграл от ФКП выражается через вещественные криволинейные интегралы?
3. Сформулируйте теорему Коши для многосвязной области.
4. Дайте два определения регулярной функции.
5. Напишите основную формулу интегрального исчисления. Есть ли различия в ней для вещественного и комплексного переменного.
6. Чему равен ?
7. Напишите интегральную формулу Коши.