Математика Шумаев В В

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский Государственный аграрно-технологический университет им. Д.Н. Прянишникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интеграл вида

dx, где n- натуральное число.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

1.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Решение. Замена t x2

dt 2xdx;

; Получаем:

t3 / 2

t3 / 2dt

t5 / 2

(x2 1)5 / 2

Пример 7.4. Найти неопределенный интеграл sin 2x dx . Решение. Это не табличный интеграл (мешает число 2). Произ-

ведем замену t 2x ; тогда x											t	, и dx				1	dt . Поэтому
ведем замену t 2x ; тогда x												, и dx					dt . Поэтому
										2						2
			x		t		,
					t
sin 2x dx				2				1		sin t dt			1	cos t C					t 2x				1	cos 2x C
								1					1										1

			dx	1		dt		2					2										2
				1				2					2										2
				2
	Пример 7.5. Найти неопределенный интеграл																			ln x dx		.
	Пример 7.5. Найти неопределенный интеграл																					.
																					x
	Решение. Так как							1		(ln x) , то можно воспользоваться спосо-
	Решение. Так как								x	(ln x) , то можно воспользоваться спосо-
									x
бом подведения под знак дифференциала. Имеем
	ln x dx	ln x (ln x) dx ln x d ln x													ln 2 x			C.
		ln x (ln x) dx ln x d ln x																C.
	x															2

7.2.3 Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям применяют с целью замены данного интеграла более простым и заключается в применение формулы udv uv vdu , где u и v – некоторые функции от х.

Пример 7.6. Найти неопределенный интеграл x2 sin xdx. Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям.

			2				x2 cos x cos x 2xdx
x2 sin xdx u x				;	dv sin xdx;		x2 cos x cos x 2xdx
		du 2xdx;				v cos x
	dv cos xdx;					x2 cos x 2 x sin x sin xdx
u x;	dv cos xdx;

du dx;		v sin x

x2 cos x 2x sin x 2cos x C.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.

7.3 Вычисление интегралов в зависимости от класса подынтегральной функции

7. 3.1 Интегрирование рациональных функций 7.3.1.1 Интегрирование элементарных дробей.

Рациональной функцией или рациональной дробью называется функция вида

f (x) P(x) ,

Q(x)

где P(x) и Q(x) – многочлены. Рациональная дробь f (x) называется правильной, если степень знаменателя больше, чем степень числителя, и неправильной в противном случае.

Если функция f (x) является неправильной дробью, то, выполнив деление, получим равенство

	P(x)	W (x)	R(x)	,
	Q(x)	W (x)	Q(x)	,
	Q(x)		Q(x)
в котором W (x) – некоторый многочлен, а выражение					R(x)	является
в котором W (x) – некоторый многочлен, а выражение					Q(x)	является
					Q(x)

правильной дробью.

Элементарными или простыми называются дроби следующих

четырех типов:
I.	1		;		III.		Mx N	;

	ax b						ax2 bx c
II.	1			;	IV.		Mx N

		(ax b)m				(ax2 bx c)n

m, n – натуральные числа (m 2, n 2) и квадратный трехчлен не имеет действительных корней,b2 – 4ac <0.

I и II типы интегралов от элементарных дробей приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.

Интегралы вида III и IV вида приводятся к табличным путём выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена и преобразований.

Пример 7.7. Найти неопределенный интеграл

7x 2

dx .

3x2 5x 4

Решение.

7x 2

84x 24

5x 4

36x

60x 48

( 6x 5 )


	u 6x 5; du					6dx;					1		14u 70 24					7 udu	23	du
											1		14u 70 24					7 udu	23	du
				u 5													du
				u 5							6						du	3 u2 23	3 u2 23
x					;										u2 23
x					;										u2 23
				6
	7	ln( u2 23 )				23	arctg					u		C
6

					3	23					23
															6x 5
	7	ln	36x2 60x 48						23	arctg						C.
	7								23

6								3							23
6								3							23

Если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

7.3.1.2 Интегрирование рациональных функций.

Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Если R(x) Q(x) - правильная рациональная дробь, знаменатель

P(x)

P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей, при этом любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде:

P(x) = (x - a) …(x - b) (x2 + px + q) …(x2 + rx + s) .

При интегрировании рациональных дробей прибегают методу неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Пример 7.8. Найти неопределенный интеграл

9x3 30x2 28x 88

(x2 6x 8)(x2 4)

Решение. Т.к. ( x2 6x 8)(x2 4) (x 2)(x 4)(x2 4) , то

9x3 30x2 28x 88

Cx D

(x 2)(x 4)(x2 4)

x 4

x2 4

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

A( x 4 )( x2 4 ) B( x 2 )( x2 4 ) ( Cx D )( x2 6x 8 )

9x3 30x2 28x 88

( A B C)x3 ( 4A 2B 6C D)x2 (4A 4B 8C 6D)x

( 16A 8B 8D) 9x3 30x2 28x 88.

	A B C 9		C 9 A B

				4A 2B 54 6A 6B
4 A 2B 6C D 30			D 30	4A 2B 54 6A 6B

4 A 4B 8C		6D 28	2 A 2B	4C 3D 14

16A 8B 8D 88			2 A B D 11

C 9 A B

2 A 4B

D 24 2 A 4B

2A 2B 36 4 A 4B 72

6 A 12B 14

4 A

10B 50

2 A 4B 11

5B 35

2A B

4 A

C 9 A B

A 5

2A 4B

D 24 2 A

4 A 10B 50

50 10B 5B 35

B 3

D 2

Итого:

x 2

dx 5ln

x 2

3ln

x 4

ln( x2

5ln

x 2

3ln

x 4

4) arctg

x2 4

7.3.2 Интегрирование тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интегралы вида sin m x cosn x dx ,			n,m Z .
Если n – нечетное число, т.е. n 2k 1, то используют подста-
новку t sin x :
sin m x cos2k 1 x dx sin m x cos2k x cos x dx
sin m x cos2k x d (sin x)	sin x t	t m (1	t 2 )k dt .

53

Мы получили интеграл от рациональной функции. Аналогично, если m 2k 1, то применяется подстановка t cos x.

Если m и n четные числа ( m 2k, n 2l ), то подынтегральное выражение преобразуют с помощью следующих формул понижения степени:

sin 2 x	1	(1 cos 2x),	cos2 x	1	(1 cos 2x),	sin x cos x	1	sin 2x .
	2			2			2

Интеграл вида R(sin x,cos x)dx .

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t tg 2x .

Эта подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой и позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

2tg

1 t 2

sin x

cos x

;

1 tg

2 x

t 2

2 x

1 t 2

Тогда x 2arctgt;

2dt

;

1 t 2

1 t

2 dt r(t)dt.

Таким образом: R(sin x,cos x)dx R

Пример 7.9. Найти неопределённый интеграл

4sin x 3cos x 5

Решение.

2dt

1 t 2

4sin x

3cos x 5

1 t

8t 3 3t

5 5t

t 2

1 t 2

2t 2 8t

t 2 4t 4

2)2

t 2

Интеграл вида R(sin x,cos x)dx если

функция R является нечетной относительно cosx.

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

R(sin x,cos x)dx		R(sin x,cos x)		cos xdx

			cos x
Функция	R(sin x,cos x)		может содержать cosx только в четных
	cos x

степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

R(sin x,cos x)dx r(sin x) cos xdx r(t)dt.

Пример 7.10. Найти неопределённый интеграл

cos7 xdx

sin 4 x

Решение.

cos7 xdx

sin x t

(1 t 2 )3

1 3t 2

3t 4

dt cos xdx

sin

4 x

t 4

cos2 x 1 sin

2 x

3 dt

t 2dt

t 4

t 2

3t3

3sin x

sin 3 x

3sin 3 x

sin x

Интеграл вида R(sin x,cos x)dx если

функция R

является нечетной относительно sinx.

Выполняется подстановка t = cosx.

Тогда R(sin x,cos x)dx r(cos x)sin xdx r(t)dt.

Пример 7.11. Найти неопределённый интеграл

sin 3 x

2 cos x

Решение.

sin

cos x t

1 t

4t 4

4t 5

dt sin xdx

2 cos x

2 t

t 2

( t 2 )2 4t 5			4t		5
		dt t 2					dt tdt 2dt
	t 2		t		t
				2		2

tdt

t 2

2t 5ln

t 2

A Bt

2 t

t 2

2t 5 ln

t 2

B 1,

A 2

t 2

2t 5 ln

t 2

8 ln

t 2

2t 3ln

t 2

cos2 x

2 cos x 3ln(cos x 2) C.

Интеграл вида R(sin x,cos x)dx

функция R четная относительно sinx и cosx.

Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx. Тогда R(sin x,cos x)dx r(t)dt

Пример 7.12. Найти

sin 2 x 6sin x cos x 16cos2 x

Решение.

cos

sin 2 x 6sin x cos x 16 cos2 x

tg2 x 6tgx 16

tgx t;

dx d (tgx) dt

t 2 6t

(t 3)2

cos

tgx 3 5

tgx 2

tgx 3 5

tgx 8

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов.

Взависимости от типа произведения применятся одна из формул:

cos mxcos nxdx 12 cos(m n)x cos(m n)x dx

sin( m n)x

m n

sin mxcos nxdx

sin( m n)x sin( m n)x dx

cos(m n)x

m n

sin mxsin nxdx

cos(m n)x cos(m n)x dx

sin( m n)

m n

Пример 7.13. Найти неопределённый интеграл sin 7xsin 2xdx

Решение.

sin 7x sin 2xdx

cos5xdx

cos9xdx

sin 5x

sin 9x C.

7.3.3 Интегрирование некоторых иррациональных функций

Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.

С помощью подстановки n ax b t функция рационализируется. cx d

ax b			t n b				t n b
	t n ;	x			;	dx			dt;
				n
cx d			a ct					n
						a ct

t n b

ax b

Тогда

R x, n

r(t)dt.

cx d

a ct

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

																							3							4
	Пример 7.14. Найти																						3				x 1			4	x 1
																						(x 1) 1 6												dx
																						(x 1) 1 6										x 1		dx
	Решение.
																			12																		12
	3										4														x 1 t;							x 1			t
	3		x 1								4		x 1
			x 1										x 1					dx																					;


	(x 1) 1										6					1													11
											6			x															11
														x
																			dx 12t dt;
				4			t		3						11						3			t				2							3								2
		(t					t			)12t dt								12		t				t					dt 12					t				dt				t		dt
							12								2			12				2							dt 12					2				dt				2		dt
						t	12	(1			t				2	)				t		2			1								t	2	1						t	2	1
						t		(1			t					)				t					1								t		1						t		1
														t														1														tdt
12							t										dt		1											dt	12					tdt 12								12	dt
12							t										dt		1											dt	12					tdt 12				t 2				12	dt
												t 2 1														t 2 1														t 2			1
12							dt					6t 2 12t 6 ln( t 2																	1) 12arctgt C
12					1		t 2					6t 2 12t 6 ln( t 2																	1) 12arctgt C
					1		t 2

66 x 1 1212 x 1 6 ln( 6 x 1 1) 12arctg12 x 1 C.

Контрольные вопросы.

1.Что называется первообразной?

2.Дайте определение неопределённого интеграла.

3.Перечислите свойства неопределённого интеграла.

4.Запишите таблицу основных интегралов.

5.В чём заключается интегрирование подстановкой и подведение под знак дифференциала?

6.Напишите формулу интегрирования по частям.

7.Перечислите виды рациональных дробей.

8 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

8.1 Общие сведения

Общий предел всех интегральных сумм Sn f ( i ) xi функции

i 1

f(x) на отрезке [a, b] называется определенным интегралом от f(x) в пределах от a до b.

Обозначение: f (x)dx

где а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования.

		8.2 Свойства определенного интеграла.
			b
1)	Если C – константа, то C dx C(b a) .
			a
	b	b
2)	Af (x)dx A f (x)dx;
	a	a
	b	b	b
3)	( f1 (x) f2 (x))dx f1 (x)dx f2 (x)dx
	a	a	a
	a
4)	f (x)dx 0
	a
				b	b
5)	Если f(x) (x) на отрезке [a, b]			a < b, то f (x)dx (x)dx
				a	a

8.3 Методы вычисления определенных интегралов

8.3.1 Формула Ньютона-Лейбница

Если интегрируемая на [a,b] функция f(х) имеет там первообразную F(x), то

f (x) dx = F(b) – F(a) = F (x) ba .

Так как формула Ньютона-Лейбница сводит задачу вычисления определенного интеграла от непрерывной функции к нахождению первообразной, то все основные методы вычисления неопределенных

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.02.2016104.08 Кб19маркетинг.docx
#
06.02.201664.21 Кб9матан 1-10.docx
#
06.02.2016439.62 Кб2матан 5.rtf
#
26.09.2019296.03 Кб0матан с 28-42.docx
#
06.02.2016461.38 Кб13Математика Д/З.doc
#
06.02.20161.52 Mб24Математика Шумаев В В.pdf
#
06.02.20161.35 Mб41Математика..pdf
#
06.02.2016303.1 Кб31Математическое моделирование и проектирование.doc
#
06.02.201610.17 Mб540машины для внесения минеральных удобрений.pdf
#
06.02.201619.02 Mб749машины для внесения органических удобрений.pdf
#
21.11.20197.09 Mб166Машины для основной обработки почвы.doc