Математика Шумаев В В

Рисунок 9 – Графики функций

Первое достаточное условие экстремума. Пусть x0 критиче-

ская точка функции y=f(x). Если в некоторой окрестности точки x0 слева от нее производная f (x) принимает один знак, а справа от неепротивоположный, то x0 точка экстремума. При этом если слева f (x)>0, справа f (x)<0, то x0 точка максимума, в противном случае x0 точка минимума. Если в некоторой окрестности точки x0 производная f (x) принимает один знак, то x0 не является точкой экстремума. Если к тому же f (x) непрерывна в x0, то функция монотонна в этой окрестности (рис. 9 в).

Второе достаточное условие экстремума. Пусть f (x0)=0 и су-

ществует f′′( x0). Тогда если f′′( x0) <0, то x0 точка максимума. Если же f′′(x0) >0, то x0 точка минимума.

6.6 Направление выпуклости функции. Точки перегиба

Пусть функция y=f(x) имеет конечную или бесконечную производную в каждой точке интервала Х = (а, b). Обозначим Г(Х) дугу графика функции f(x), соответствующую интервалу X.

Если дуга Г(Х) лежит не ниже (не выше) касательной к графику функции y=f(x), проведенной в любой точке M Г(Х), то функция (или график функции) называется вогнутой (соответственно выпуклой) в интервале X (рис. 10).

Точка на графике функции, в которой существует касательная к графику функции, называется точкой перегиба функции или графика функции, если она является границей дуг графика с разными направлениями выпуклости (рис. 10).

40

Рисунок 10 – Схема графиков к определению выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости и вогнутости. Если функция f(x) дифференцируема дважды в интервале X и в ней f (x) > 0 (f (x) < 0), то f(x) является вогнутой (соответственно выпуклой) в интервале X.

Необходимое условие точки перегиба. Если M0 (x0, f(x0)) точка перегиба функции f(x), то либо и f (x0) = 0, либо f (x0) не существует (рис. 10 б, 10 в). Следовательно, абсциссы точек перегиба нужно искать в тех значениях x, при которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки x0. Тогда, если в пределах указанной окрестности f (x) имеет разные знаки слева и справа от точки x0, то график функции f(x) имеет перегиб в точке М(x0; f(x0)).

6.7 Асимптоты графика функции

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если при удалении точки M в бесконечность по графику, расстояние от M до этой прямой стремится к нулю (рис. 11 а).

Нахождение вертикальных асимптот. Если x0 точка бесконеч-

ного разрыва функции y = f(x), то прямая x = x0 является вертикальной

асимптотой. Например, если

lim f (x) ,

x x 0 0

то точка графика при y → ∞ бесконечно близко приближается к вертикальной асимптоте x = x0 с левой стороны (рис. 11 в, x0= 1).

Вертикальная асимптота может быть в точке, являющейся границей области определения функции, если односторонний предел в этой точке равен +∞ или ∞ (рис. 11 в).

41

прямая y = y0 является горизонтальной асимптотой.

Нахождение наклонных асимптот. Уравнение наклонной асим-

птоты имеет вид

y= kx+b , где угловой коэффициент k ≠ 0. Коэффициенты k и b при x →+∞ ( ∞) находят по формулам:

6.8 Схема исследования функций и построение графика

Сначала приведем определения четной, нечетной, периодической функции.

Функция y=f(x) называется четной (нечетной), если для каждой точки x из области определения она определена в точке x и f(x) = f(x) (соответственно f (x) = f (x) ). График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 7 а, 7 б).

Функция y = f (x) называется периодической с периодом T 0, если для любого значения x из области определения она определена в точке x+T и f (x) = f (x+T). Пусть T– наименьший положительный период. График периодической функции с периодом T получается повторением части графика, построенной на отрезке длины T (рис. 12 в).

Примерами четных функций являются cosx, |x|, x2. Нечетные функции: sin x, tg x, ctg x, x3. Периодические функции: sin x, cosx,

42

(наименьший положительный период 2π), tg x, ctg x, (наименьший положительный период π).

Общая схема исследования функции Необходимо определить;

1) Область существования функции.

Это понятие включает в себя и область значений, и область определения функции.

2)Выявить чётность или нечётность функции.

3)Выявить периодичность функции.

4)Точки пересечения с осями координат.

5)Точки разрыва и вертикальные асимптоты.

6)Исследовать поведение функции на границах области существования и найти горизонтальные асимптоты.

7)Наклонные асимптоты.

8)Интервалы возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

9)Области выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

10)Построить график.

а) б) в)

Рисунок 12 – Графики функции: а – четной; б – нечетной; в – перио-

Решение. Будем следовать схеме исследования функции построения графика.

1)Область определения функции – множество всех действительных чисел без 1.

2)Чётность, нечётность функции.

43

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

координат только в ее начале.

5) Вертикальные асимптоты, точки разрыва.

Так как при х0=1 функция не существует, то это точка разрыва

так как знаменатель величина бесконечно малая и отрицательна по знаку, а числитель положителен

прямая x = 1 – вертикальная асимптота. Точка х0=1 – точка разрыва второго рода.

6) Поведение функции на границах области существования, горизонтальные асимптоты.

Следовательно, прямая y 12 x 12 – наклонная асимптота при

x .

8) Исследуем функцию на монотонность, экстремумы.

Найдём точки, при которых y=0 x2 2x 0 x=0 или x=2.

y не существует в точке x=1, но она не входит в область определения функции.

Следовательно, имеются две критические точки x=0 и x=2. Разобьем этими точками область определения на интервалы знакопосто-

янства производной: (, 0), (0, 1), (1, 2), (2, + ). Определим знаки производной в этих интервалах: y(–1)>0 и y(3)>0 в интервалах (, 0) и (2, + ) производная положительна, y (0,1)<0 и y(1,1)<0 в интервалах (0, 1) и (1, 2) производная отрицательна (см. рис. 13 а). Используя достаточные условия монотонности и экстремума из пунктов, получим следующие выводы: функция возрастает в интервалах (, 0) и (2, + ), убывает в (0, 1) и (1, 2), x=0 – точка максимума, x=2

– точка минимума.

Значение максимума функции y(0)=0, значение минимума y(2)=2.

а) б)

Рисунок 13 – Схема к определению: а) экстремума функции и монотонности; б) интервалов возрастания, убывания, точек перегиба

9) Исследуем функцию на направление выпуклости и точки перегиба.

45

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

y не обращается в 0, а в точке 1, где y не существует, функция не определена, поэтому график функции не имеет точки перегиба. Таким образом, имеются два интервала ( , 1) и (1, + ), знакопостоян-

ства второй производной. y(0)<0 в интервале (, 1) y отрицательна, y(2)>0 в интервале (1, +) y положительна (см. рис. 13 б). В силу достаточных условий выпуклости и вогнутости графика в интервале ( , 1) график выпуклый, а в интервале (1, + ) график вогнутый.

10) Найдем дополнительные точки графика: x= –2 y = –2/3–0,7; x= 0,8 y = –1,6; x= 1,2 y =3,6; x= 4 y = 8/3 2,7.

Начертим эскиз графика (рис. 14). Сначала начертим асимптоты x = 1 и y 12 x 12 (на рисунке они начерчены пунктирной линией).

Наносим на чертеж точки (0, 0) и (2, 2), найденные в пункте 3, допол-

нительные точки (–2; –0,7), (0,8; –1,6), (1,2; 3,6), (4; 2,7), найденные в пункте 6. Проводим через эти точки линию, согласно результатам исследования функции в пунктах 3, 4, 5. Еще раз сравниваем полученный график с результатами исследования и убеждаемся в правильности построения графика.

46

Контрольные вопросы.

1.Что называется производной функции?

2.Каков геометрический смысл производной?

3.Каков механический смысл производной?

4.Перечислите основные правила дифференцирования?

5.Как найти производную неявной функции?

6.Сформулируйте правило Лопиталя?

7.Для раскрытия какого вида неопределённости применимо правило Лопиталя?

8.Сформулируйте необходимый и достаточный признаки возрастания (убывания) функции?

9.Какие точки называют критическими?

10.В чём состоит первое достаточное условие экстремума?

11.Как определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

12.Как определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции?

13.Как найти точки перегиба?

14.Что называют асимптотой кривой?

15.Как найти наклонные асимптоты?

47

7 НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

7.1 Общие сведения

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F (x) = f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокуп-

ность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают: f (x)dx F (x) C;

Свойства неопределённого интеграла:

1. f (x)dx (F (x) C) f (x);

2. d f (x)dx f (x)dx; 3. dF (x) F(x) C;

4. (u v w)dx udx vdx wdx;

где u, v, w – некоторые функции от х. 5. C f (x)dx C f (x)dx.

7.2 Методы интегрирования

7.2.1 Непосредственное интегрирование

Метод непосредственного интегрирования основан на непосредственном использовании таблиц интегралов.

Пример 7.1. Найти неопределенный интеграла dxx

Решение. На основе формулы (8) можно сделать вывод, что искомый интеграл равен ln x C , где С – некоторое постоянное число.

Проверка: ln( x) 1x ( 1) 1x .

Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

dxx ln x C

7.2.2 Способ замены переменных

Если требуется найти интеграл f (x)dx , но сложно отыскать

первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

48

f (x)dx f ((t)) (t)dt

Вариантом метода замены переменной является способ подведения под знак дифференциала, заключающийся в преобразовании:

f ((t)) (t) dt f () d .

Таблица 3 - Таблица основных интегралов

Пример 7.3. Найти неопределенный интеграл x(x2 1)3/ 2 dx.

49