Математика Шумаев В В

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5 ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

5.1 Основные сведения

Функция f(x) называется бесконечно малой при х а, где а может

быть числом или одной из величин , + или - , если lim f (x) 0

x a

Функция называется бесконечно большой при х а, где а – чис-

ло или одна из величин , + или - , если lim f (x) A, где А – чис-

x a

ло или одна из величин , + или -.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций: если f(x) –

шая величина.

Число А называется пределом функции у=f(x) при х, стремящимся к х0, если для любого сколь угодно малого положительного числа

f (x) A .

То, что А есть предел функции f (x) при х х0 обозначают так:

lim f (x) A.

x х0

Если lim 0 , то функция называется бесконечно малой бо-

x a

лее высокого порядка, чем функция .

нечно малыми одного порядка.

бесконечно малыми. Записывают ~ .

Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны.

30

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.

Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке.

Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и

Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена.

Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке),

если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка).

5.2 Раскрытие неопределённостей

Условные выражения неопределённостей:

00 , , 0 , , 1 , 0 , 0

характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов.

5.2.1 Неопределенность 00 .

Решение. Функция в точке х=2 неопределенна, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в ноль (неопределённость вида

0 ). Для нахождения этого предела разложим на множители числи-

0

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тогда получим

Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на сопря-

женное выражение числителю (неопределённость вида 0 ):0

тель и знаменатель дроби обращаются в ноль (неопределённость вида

). Для нахождения этого предела разделим числитель и знамена-



тель данной дроби на x2 – наивысшую степень переменной данной дроби.

где 6xx2 ; x82 ; 8xx2 ; 12x2 – бесконечно малые предел, которых равен 0.

5.3 Замечательные пределы

5.3.1 Первый замечательный предел

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО НЕЗАВИСИМОГО ПЕРЕМЕННОГО

6.1 Основные сведения

Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.

f (x) в точке x.

Дифференциалом функции (dy) называется величина, пропорциональная бесконечно малому приращению аргумента ∆х и отличающаяся от соответствующего приращения функции на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем ∆х.

6.2 Методы дифференцирования

6.2.1 Дифференцирование сложной функции

Пусть функция y f (u) имеет производную в точке u, а функция u = g(x) имеет производную в точке x. Тогда сложная функция F(x) f (g(x)) имеет производную в точке x, равную

F (x) f (u) g (x).

Пример 6.1. Найти производную функции y = ln (1 + x2). Решение. Считая f (u) = ln u, u = g(x) = 1 + x2. По формуле 7 таб-

Таблица 2 - Таблица производных некоторых функций.