Математика Шумаев В В

Находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

1.3 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Сущность метода Гаусса состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример 1.3. Найти решение системы уравнений методом Гаусса.

x y 3z 23x 2 y z 1

2x y 2z 0

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

10

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x y 3z 25 y 10z 7

10z 13

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

Контрольные вопросы.

1.Дайте определение определителя.

2.Как вычисляют определители третьего порядка?

3.Как вычисляют определители второго порядка?

4.Перечислите случаи, когда система имеет одно, множество и вообще не имеет решений.

5.Как записываются формулы Крамера решения системы линейных уравнений?

6.Что называется матрицей?

7.Дайте определение алгебраического дополнения.

8.Сформулируйте определение минора.

9.Какая матрица называется обратной по отношению к данной

матрице?

10. В чём заключается метод Гаусса?

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2 ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Прямая на плоскости

Уравнением линии на плоскости называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Уравнение прямой на плоскости может быть задано уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравне-

ние первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1) и

M2(x2, y2):

Если какойлибо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

ентом прямой.

Две прямые параллельны, если k1 = k2. Две прямые перпендикулярны, если k1 = -1/k2.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1(х1, у1) с заданным угловым коэффициентом:

y y1 k(x x1)

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту. Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

y BA x CB

и обозначить BA k; CB b; т.е. y kx b , то полученное урав-

нение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой в отрезках. Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С 0, то, разделив на –С, получим: СА х СВ у 1

ax by 1, где

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Угол между прямыми на плоскости. Если заданы две прямые y = k1x + b1, y = k2x + b2, то острый угол между ними определяется

Расстояние от точки до прямой. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

d Ax0 By0 C .

A2 B2

Пример 2.1. Даны вершины треугольника АВС:

А(–4; 8), В(5; –4), С(10; 6).

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение ок-

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Для нахождение углового коэффициента kAB прямой АВ разре-

шим полученное уравнение относительно у: y 43 x 83 . Отсюда

A arctg1 450 0,79 рад.

4. Так как высота CD перпендикулярна стороне AB , то угловой коэффициент прямой найдем по формуле:

3

Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1 x1; y1 в

с заданным угловым коэффициентом k , имеет вид: y y1 k x x1 .

Подставив координаты точки С и kСD , получим уравнение высоты CD :

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Подставив в формулу расстояния между двумя точками координаты точек С и D , находим:

CD (10 2)2 (6 0)2 64 36 10 .

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:

(x a)2 ( y b)2 R2 .

Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD . Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, E(6;3) и R CD2 5 . Используя формулу, получаем

уравнение искомой окружности:

(x 6)2 ( y 3)2 25.

2.2 Кривые второго порядка.

Кривая второго порядка в общем виде задаётся уравнением Ах2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

где А, В и С не равны нулю одновременно.

Окружность.

Окружность представляется уравнением (x – a)2 + (y – b)2 = R2, центр имеет координаты (a; b).

Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

15

Рисунок 1 - Эллипс: F1, F2 – фокусы; F1 = (c; 0); F2(-c; 0); с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось

Полуфокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотно-

шением:

a2 = b2 + c2.

Эксцентриситетом называется величина определяемая соотношением.

е = с/a.

Т.к. с < a, то е < 1.

Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2.

Сэллипсом связаны две прямые, называемые директрисами:

x= a/e; x = -a/e.

Гипербола.

Гипербола представляется уравнением x2 y2 1. a2 b2

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной, а 2b называется мнимой осью гиперболы.

16

Рисунок 2 – Гипербола: F1, F2 – фокусы гиперболы; с – половина расстояния между фокусами; а – действительная полуось

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y ba x.

Отношение å ac 1называется эксцентриситетом гиперболы.

С гиперболой связаны две прямые, называемые директрисами:

x ae .

Парабола.

Парабола представляется уравнением y2 = 2px.

Рисунок 3 - Парабола

Расстояние от фокуса до директрисы р называется параметром параболы. Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример 2.2. Определить вид кривой второго порядка и постро-

ить её 8x2 9 y2 8х 16 0.

Решение. Выделим полные квадраты и преобразуем: 17

8(x2 x 1/ 4) 81/ 4 9y2 16 0 8(x 1/ 2)2 2 9 y2 16 0

8(x 1/ 2)2 9y2 18

Получили уравнение эллипса. Из уравнения видно, что центр эллипса сдвинут вдоль оси Ох на 1/2 вправо, большая полуось a равна 3/2, меньшая полуось b равна 2 , половина расстояния между фоку-

сами равно с = a2 b2 = 1/2. Эксцентриситет равен е = с/a = 1/3.

Фокусы F1(0; 0) и F2(1; 0).

Рисунок 4. Схема эллипса

Контрольные вопросы.

1.Как выглядит общее уравнение прямой?

2.Как выглядит уравнение прямой с угловым коэффициентом?

3.Как выглядит уравнение прямой, проходящей через две точ-

ки?

4.Как находится угол между прямыми?

5.Как записываются условия параллельности и перпендикулярности прямых?

6.Как записываются уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы;

7.Каков смысл параметров R, a, b, c и p ? Какие значения может

принематьэксцентриситет е для каждого вида кривой второго порядка?

18

3 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

3.1 Основные сведения

Вектором называется направленный отрезок прямой и обозна-

чается а или ÀÂ , где А – начальная, а В – конечная точки.

число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Таблица 1 – Виды векторов