2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей

Пусть и- статистически независимые случайные величины, имеющиераспределение со степенями свободыи. Тогда отношение

(2.93)

имеет центральное распределение со степенями свободыи. Последние называются также степенями свободы числителя и знаменателя.распределение названо в честь математикаR.A.FISHER (1890-1962).

Числовые характеристики распределения Фишера:

;, (2.94а)

;. (2.94б)

Квантильная функция имеет следующий вид:

. (2.95)

Для квантилей распределения Фишера имеет место отношение симметрии:

, (2.96)

поэтому в таблицах квантилей распределения Фишера значения для.

Между распределением и биномиальным распределением существует соотношение:

. (2.97)

При получим:

. (2.98)

Для соответствующего квантиля распределения отсюда следует, что

. (2.99)

На практике распределение применяют в двух случаях:

- с помощью распределения делают заключение о значимости отношения дисперсий двух нормально распределенных совокупностей;

- распределение Фишера вследствие его близости к биномиальному распределению находит свое применение при контроле по качественному признаку.

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, самих методов измерений и т. д. Предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т. е. наименьшую дисперсию. Поэтому требуется проверить, что математи­ческие ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Возникает вопрос: значимо (существенно) или незна­чимо различаются исправленные диспер­сии.

В качестве критерия проверки равенства генеральных дисперсий ипринимают отношениебольшей исправленной дисперсии к меньшей, т.е. случайную величину:

, (2.100)

которую затем сравнивают с табличными значениями квантилей распределения Фишера. При этом различают два основных случая:

- первый случай:

;

;

- второй случай:

;

.

В первом случае, для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезуо равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе, необходимо вычислить отношение (2.100) и по таблицам квантилейраспределения Фишера найти критическое значение.

Предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если

; (2.101а)

Замечание. Зависимость (2.100) получена из соотношения при равенстве дисперсий.

Пример 2.35.1 По двум независимым выборкам объемов и, извлеченным из нормальных генеральных совокупностейи, найдены исправленные выборочные дисперсиии. При уровне значимостипроверить, равны ли генеральные дисперсии или генеральная дисперсия совокупностибольше генеральной дисперсии совокупности.

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

.

Предположение о том, что (нулевая гипотеза) отклоняется, если

.

По таблице определяем . Таким образом, нет оснований отвергать предположение о равенстве дисперсий.

Во втором случае, для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезуо равенстве генеральных дисперсий нормально распределенных совокупностей при конкурирующей гипотезе, необходимо вычислить отношение (2.100) и по таблицам квантилейраспределения Фишера найти критические значенияи. Предположение равенства дисперсий или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

и . (2.101б)

Пример 2.35.2 По условиям примера 2.35.1 и таблице квантилей распределения Фишера определяем, что, а.

Так как и , нет оснований отвергать предположение о равенстве дисперсий.

Пример 2.36. По двум независимым выборам, объемы которых соответственно равны и, извлеченным из нормальных генеральных совокупностейи, найдены исправленные выборочные дисперсиии. При уровне значимостипроверить, равны ли генеральные дисперсии.

Первый случай.

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

.

По таблице определяем . Таким образом, есть основание отвергнуть предположение о равенстве дисперсий.

Второй случай.

Определяем и.

Так как , есть основание отвергнуть предположение о равенстве дисперсий.