- •Клевлеев в.М. Статистические методы контроля и управления качеством
- •1 Качество и обеспечение качества
- •1.1 Качество как стратегическая цель предприятия
- •1.2 Различия в качестве и их причины
- •1.3 Обеспечение качества
- •Обеспечение качества
- •1.5 Систематизация методов статистического обеспечения качества
- •Статистическое обеспечение качества
- •2 Основы статистического обеспечения качества
- •2.1 Распределение признаков качества
- •2.1.1 Распределение дискретных признаков
- •2.1.1.1 Равномерное распределение и некоторые понятия теории статистических распределений
- •2.1.1.2 Распределение Бернулли
- •2.1.1.3 Гипергеометрическое распределение
- •2.1.1.4 Биномиальное распределение
- •2.1.1.5 Распределение Пуассона
- •2.1.2 Распределение непрерывных признаков
- •2.1.2.1 Равномерное распределение
- •2.1.2.2 Экспоненциальный (показательный) закон распределения
- •2.1.2.3 Нормальный (гауссовский) закон распределения
- •Замечание. Очевидно, что события, состоящие в осуществлении неравенства и, противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенстваравна, то вероятность неравенстваравна.
- •2.2 Статистическая проверка статистических гипотез
- •2.2.1 Процедура проверки статистических гипотез и свойства параметрических критериев
- •2.2.1.1 Процедура проверки статистической гипотезы
- •1. Определение генеральной совокупности и типа распределения
- •2. Формулировка гипотезы
- •3. Определение контрольной величины и ее распределение в случае принятия гипотезы
- •4. Задание уровня значимости и определение области отклонения гипотезы
- •5. Принятие решения и его интерпретация
- •2.2.1.2 Примеры проверки статистических гипотез
- •2.2.1.2.1Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения
- •2.2.1.2.1.1Среднее квадратическое отклонениеизвестно
- •2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
- •2.2.1.2.1.3Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонениянормального распределения
- •2.2.1.2.1.4Оценка значимости отношений дисперсий двух нормально распределенных совокупностей
- •2.2.1.2.1.5Проверка гипотез относительно параметров нормально распределенных генеральных совокупностей
- •2.2.1.2.1.6 Последовательный анализ
- •2.3 Выборки значений показателей качества
- •2.3.1 Основные понятия теории выборочного метода
- •2.3.2 Методы реализации случайного отбора выборок штучной продукции
- •0 1 2 . . . . . . . . . . . 2 1 0
- •2.3.3 Обеспечение представительности выборок
- •2.3.4 Выборочные характеристики и их свойства
- •3 Приемочный контроль
- •3.1 Основные понятия
- •3.1.1 Общие требования
- •3.1.2 Выбор планов и схем статистического приемочного контроля качества и требования к достоверности контроля
- •3.2 Статистический приемочный контроль по количественному признаку
- •3.2.1 Взаимосвязь между долей брака в партии и уровнем настройки производственного процесса
- •3.2.2 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и известной дисперсии
- •3.2.2.1 Описание метода контроля и выбор контрольных величин
- •3.2.2.2 Оперативная характеристика и ее параметры
- •3.2.2.3 Построение плана выборочного контроля при заданных рисках производителя и потребителя
- •3.2.3 Планы выборочного контроля при одностороннем ограничении и неизвестной дисперсии
- •3.2.3.1 Контрольные величины
- •3.2.3.2 Оперативная характеристика и построение плана контроля при заданном риске потребителя и производителя
- •3.2.4 План выборочного контроля при двустороннем ограничении
- •3.2.5 Национальные стандарты приемочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.1 Выборочный контроль по количественному признаку на основе приемлемого уровня качества
- •3.2.5.2 Выборочный контроль по количественному признаку на основе нормативного уровня несоответствий
- •3.2.5.3 Последовательные планы выборочного контроля по количественному признаку
- •3.2.5.4 Выборочный контроль нештучной продукции
- •3.3 Статистический приемочный контроль по качественному признаку
- •3.3.1 Однократные планы контроля
- •3.3.1.1 Описание метода контроля. Использование теоремы Моода
- •3.3.1.2 Оперативная характеристика при гипергеометрической функции распределения числа дефектных изделий
- •3.3.1.3 Биномиальная оперативная характеристика
- •3.3.1.4 Оперативная характеристика при распределении Пуассона
- •3.3.1.5 Сравнение трех оперативных характеристик
- •3.3.2 Параметры простых планов контроля
- •3.3.2.1 Квантили оперативных характеристик
- •0 0.1 Р0 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
- •3.3.2.2 Средний выходной уровень дефектности, предел среднего выходного уровня дефектности (и)
- •3.3.2.3 Среднее число проконтролированных изделий в партии и доля проконтролированных изделий (и)
- •3.3.2.4 Контроль с прерыванием и средний объем выборки ()
- •3.3.3 Построение простых планов контроля с заданными свойствами
- •3.3.3.1 Задание риска потребителя и риска поставщика
- •3.3.3.2 Другие исходные данные
- •3.3.4 Двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.4.1 Описание метода контроля
- •3.3.4.2 Оперативная характеристика
- •3.3.4.3 Средний объем выборки
- •3.3.4.4 Другие параметры плана
- •3.3.4.5 Эквивалентные однократные и двукратные планы выборочного контроля
- •3.3.5 Многократные планы контроля
2.2.1.2.1.2Среднее квадратическое отклонениенеизвестно
Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонениенеизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожиданиес помощью доверительных интервалов. Разумеется, невозможно воспользоваться предыдущими результатами, в которыхпредполагалось известным.
Введем по данным выборки случайную величину (ее возможные значения будем обозначать через ):
, (2.78)
которая имеет распределение Стьюдента (настоящее имя William Sealy Gosset) с степенями свободы. Здесь- выборочная средняя;- «исправленное» среднее квадратическое отклонение;- объем выборки.
Плотность распределения Стьюдента:
, (2.79)
где . (2.80)
Мы видим, что распределение Стьюдента определяется параметром - объемом выборки (или числом степеней свободы) и не зависит от неизвестных параметрови. Эта особенность является большим достоинством распределения Стьюдента. Поскольку - четная функция от, вероятность осуществления неравенстваопределяется так:
. (2.81)
Заменим неравенство в круглых скобках равносильным ему двойным неравенством, получим:
. (2.82)
Итак, пользуясь распределением Стьюдента, определяют доверительный интервал , покрывающий неизвестный параметрс надежностью. Здесь случайные величиныизаменены неслучайными величинамии, найденными по выборке. Воспользуемся зависимостью (2.76), получим:
. (2.83)
Итак, поставленная задача решена. Число определяется из равенстваили. По соответствующим таблицам квантилейраспределения Стьюдента по заданнымиможно найти.
Примечание. В национальном стандарте ГОСТ Р 50779.21 «Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение» приведен следующий алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии.
Исходные данные: объем выборки - ; сумма значений наблюдаемых величин -степени свободы -; выбранная доверительная вероятность -.
Алгоритм вычислений: по таблицам определяют квантили распределения Стьюдента уровня сстепенями свободы -и; вычисляюти.
Тогда точечная оценка математического ожидания -.
Точечная оценка дисперсии - .
Двухсторонний симметричный доверительный интервал для математического ожидания :
или .
Односторонние доверительные интервалы для математического ожидания :
или
.
Следствием настоящих зависимостей является алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением математического ожиданияпри неизвестной дисперсии:
- в двухстороннем случае предположение равенства выборочного среднего значения и заданного математического ожидания(нулевая гипотеза)отклоняется, если:
;
- в одностороннем случае предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем(нулевая гипотеза)отклоняется, если:
;
- в одностороннем случае предположение о том, что выборочное среднее не больше чем(нулевая гипотеза)отклоняется, если:
.
В качестве примера использования – проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение, при этом точность технологического процесса заранее неизвестна. Невыполнение этих условий свидетельствует о несоответствии фактического центра группирования контролируемого параметра в изготавливаемой партии изделий центру поля допуска, что может привести к повышению уровня брака на последующих технологических операциях.
Метод может быть использован и при контрольных проверках, например, при отпуске бензина или масел на автозаправочных станциях, когда необходимо ответить на вопрос: являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.
Настоящий подход применяется при решении задачи о сравнении двух неизвестных средних значений ипри неизвестных, но равных дисперсиях. В этом случае высчитывают:
- ;
- ;
- степени свободы ;
- .
Тогда сравнение средних значений двух совокупностей:
- в двухстороннем случае предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:
;
- в одностороннем случае предположение о том, что первое среднее не меньше второго(нулевая гипотеза)отклоняется, если:
;
- в одностороннем случае предположение о том, что первое среднее не больше второго(нулевая гипотеза)отклоняется, если:
.
В качестве примера использования – оценка стабильности технологического процесса, при этом измерения контролируемого параметра осуществляют в двух выборках объемомисоответственно, взятых в началеи концеинтервала времени, в течение которого контролируется стабильность технологического процесса.
Применение этих задач встречается чаще, так как в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.
Пример 2.32. Количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объеманайдены выборочное среднееи «исправленное» среднее квадратическое отклонение. Необходимо оценить неизвестное математическое ожиданиепри помощи доверительного интервала с надежностью.
Найдем . Пользуясь таблицей квантилейраспределения Стьюдента, приинаходим для.
Найдем доверительные границы:
Итак, с надежностью неизвестный параметрзаключен в доверительный интервал.
Примечание. Из предельных соотношений
; , (2.84)
следует, что при неограниченном возрастании объема выборки распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически приможно вместо распределения Стьюдента пользоваться нормальным распределением.
Однако важно подчеркнуть, что для малых выборок , в особенности для малых значенийзамена распределения нормальным приводит к грубым ошибкам, а именно к неоправданному сужению доверительного интервала, т. е. к повышению точности оценки. Например, еслии, то, используя таблицу квантилей распределения Стьюдента, найдем, а таблицу нормированного нормального распределения, найдем, т.е. доверительный интервал в последнем случае окажется более узким, чем найденный по распределению Стьюдента.
То обстоятельство, что распределение Стьюдента при малой выборке дает не вполне определенные результата (широкий доверительный интервал), вовсе не свидетельствует о слабости метода Стьюдента, а объясняется тем, что малая выборка содержит малую информацию об интересующем нас признаке.