Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

поскольку поля от каждого из шаров во внешнем пространстве совпа­ дают с полем точечного заряда. Величина же Я есть плечо такого диполя.

В соответствии со свойством вектора поляризации поверхностная плотность зарядов на поляризованном шаре (рис. 1.5.7) равна

-а = Рп = P c o s 0 .

Свяжем эту величину с электрическим полем внутри шара. Поскольку

ри шара поле Е направлено против вектора поляризации, что означает

£ < 0 ) .

1.5.8. Д и эл ек т р и ч еск и й ш а р в о д н о р о д н о м вн еш н ем эл ек т р и ч еск ом п о л е

Согласно теореме единственности электрическое поле однозначно определяется распределением свободных зарядов и значениями диэлек­ трической проницаемости во всех точках. Это означает, что если найти некоторое решение уравнений электростатики, удовлетворяющее всем граничным условиям, то это решение единственное. Применим сказан­ ное к следующей задаче.

Рис. 1.5.7. К расчёту поверхностной плотности зарядов на однородно поляризованном шаре

Пусть незаряженный шар радиуса а из вещества с диэлектрической Проницаемостью е внесён в однородное электрическое поле Е0. Требу­ ется найти поле внутри и вне шара.

Формально задача сводится к решению уравнения Лапласа для по­ тенциала Аср =0 с соответствующими граничными условиями на по-

нсрхности шара:

51

где индексы / н е указывают на области соответственно внутри и вне шара. Второе условие означает непрерывность компоненты Dn вектора электрической индукции на границе раздела сред.

Помимо сформулированных условий нужно учесть, что на беско­ нечности поле должно совпадать с исходным внешним полем Е0, кото­ рому соответствует потенциал щ =-Е 0г :

Решение сформулированной задачи может быть получено приме­ нением методов математической физики. Мы, однако, поступим иначе. Учтём, что шар поляризуется, в результате чего полное поле будет складываться из внешнего поля Е0 и поля, создаваемого поляризацион­ ными зарядами. Проверкой убедимся, что поле вида

ЕИ ,< а =Ео - ^ Р>Е(г)]г>д =Е0 +3(РГ)Г" Р?'2-,

где р = 4ягя3Р/з, удовлетворяет необходимым требованиям.

Поле (1.5.22) представляет собой суперпозицию внешнего поля и поля однородно поляризованного шара с поляризацией Р. Это поле удовлетворяет уравнениям

divD = 0, rotE = 0,

поскольку внутри шара оно постоянно, а во внешней области совпадает с полем точечного диполя р, расположенного в центре шара и потому потенциально. Поэтому нужно; проверить выполнение граничных усло­ вий.

Из (1.5.22) видно, что на больших расстояниях от шара поле одно­ родное и совпадает с внешним полем Е0. Как и должно быть, поскольку поляризационные заряды не меняют поле на большом расстоянии от них.

На поверхности шара должны выполняться условия непрерывно­ сти составляющей напряжённости электрического поля, касательной к поверхности шара, а также непрерывности нормальной к поверхности шара составляющей индукции:

где индексы i и е относятся соответственно к внутренней и внешней сторонам поверхности шара. Этот набор условий эквивалентен услови­ ям (1.5.20).

52

Используя обозначения рис. 1.5.8, можно увидеть, что с учётом выражений (1.5.22) граничные условия (1.5.23),

удовяегворяются тождественно. Отсюда следует, что согласно теореме единственности формулы (1.5.22) дают решение поставленной задачи.

Рис. 1.5.8. К формулировке граничных условий на поверхности диэлектрического шара во внешнем поле Е0

Таким образом, поле внутри шара оказывается однородным. Най­ дём вектор поляризации шара, если известна диэлектрическая прони­ цаемость материала. Учтём, что по определению вектора индукции и диэлектрической проницаемости

Ю=Е+4жР => (£"-1)Е =4/гР.

Подставим сюда выражение для поля Е|г<а из (1.5.22):

(й--1)(К 0 - ^ Р ^ 4 ж Р ,

ИЛИ

1.5.9. Д и эл ек т р и ч еск а я п р он и ц а ем ост ь га за и з м ет а л л и ч еск и х ш а ри ков

Найдём диэлектрическую проницаемость газа, образованного ме­ таллическими шариками радиуса а. Концентрацию шариков в газе п

считаем малой: паъ « 1 . Взаимодействием частиц газа пренебрегаем.

53

Как показано в разделе 1.2.3, каждый шарик во внешнем поле Е

1.6 .0 механизмах поляризации диэлектриков

Можно выделить два основных механизма поляризации.

1)Если молекулы вещества имеют собственный дипольный мо­ мент, то под действием внешнего поля эти элементарные диполи начи­ нают ориентироваться по направлению поля. Упорядочению препятст­ вует тепловое движение, стремящееся разориентироватъ диполи. Конкуренция таких факторов определяет поляризацию среды в зависи­ мости от величины приложенного поля и температуры. В данном случае говорят о веществе с ж ёсткими диполями или с полярными молекулами.

Квеществам такого типа относятся Н20, NH3, НС1, S02.

2)Если молекулы (атомы) среды не имеют собственного дипольного момента, то под действием внешнего поля заряды внутри молеку­ лы могут смещаться относительно друг друга, приводя к появлению дипольного момента. В этом случае говорят о веществе, составленном изупругих диполей, или о веществе с неполярными молекулами.

Кчислу таких веществ относятся N2, С 02, СН4, CCI4. К этому же типу относятся и вещества типа NaCl, кристаллическая решётка кото­ рых состоит из двух ионных подрешёток — Na и С1. В отсутствие поля подрешётки вдвинуты друг в друга, и вещество не обладает дипольным моментом. Однако под действием внешнего поля происходит смещение подрешёток, приводящее к появлению дипольного момента (поляриза­ ции среды).

Поляризация вещества может возникать не только под действием электрического поля. Если она возникает в результате создания механи­ ческих усилий, то вещество называют пъезоэлектриком. Это — кри­ сталлические вещества, состоящие из подрешёток ионов разных знаков

заряда. В таком веществе под действием внешних сил происходит отно­ сительное смещение подрешёток, что ведёт к появлению поляризации. Примером пьезоэлектрика является Si02.

Если поляризация возникает в результате нагрева твёрдого вещест­ ва, то.говорят о пироэлектриках.

Наконец, в некоторых веществах может самопроизвольно (спон­ танно) возникать поляризация, направление которой в общем случае

54

случайно. Такие вещества называются сегнетоэлектриками. Примера­ ми являются сегнетова соль КаКСфЕ^Об^НгО и титанат бария Ва№Оз. У этих веществ спонтанная поляризация возникает при температуре ниже некоторой характерной величины Тк, называемой температурой Кюри. При Т >ТК вещество ведёт себя как обычный диэлектрик с по­

лярными молекулами, причём поляризуемость зависит от температуры по закону Кюри—В ейсса

Возникновение спонтанной поляризации связано с взаимодействи­ ем молекул-диполей, приводящим к их взаимному ориентирующему действию: случайное усиление поля в каком-либо месте вещества при­ водит к тому, что другие молекулы-диполи начинают ориентироваться по направлению возникшего поля. Это приводит к усилению поля и к выстраиванию в том же направлении других молекул-диполей. Возник­ новению спонтанной поляризации препятствуют тепловые движения (колебания) молекул, стремящиеся разориентировать отдельные

ДИПОЛИ.

1.7.Электрическая ёмкость

1.7.1.Э л ек т р и ч еск а я ём к ост ь уед и н ён н ы х п р ов од н и к ов

Если проводник несёт заряд q, то его потенциал равен (р. Если за­ ряд увеличить в к раз, то в силу принципа суперпозиции в к раз увели­ чится и работа по перемещению пробного заряда в поле проводника от его поверхности на бесконечность. Это значит, что в к раз возрастёт и потенциал. Следовательно, отношение cpjq не зависит от заряда про­ водника и характеризует сам проводник. Соответственно полагают

Введённая здесь величина С называется ёмкостью проводника. Для шара радиуса а имеем

ср = q js a => С = qjq> =га.

1.7.2. Ё м кост ь к о н д ен са т о р а

Рассмотрим систему двух проводников (рис. 1.7.1). Нанесём на один проводник заряд (-<?), а на другой — заряд (+q). Разность потен­

пропорциональна заряду q. Соответственно ёмкость (точнее — взаим­ ная ёмкость) данной пары проводников определяется соотношением

55

С - q / Ар, или q =CA<p =C(<p+-<pJ).

Рис. 1.7.1. Конденсатор, составленный из +q двух проводников, заряженных одинако­ вым по величине, но противоположным

по знаку зарядом

1.7.3. Ё м кост ь п л о ск о го к о н д ен са т о р а

Плоский конденсат ор -— это две близко расположенные плоские металлические пластаны (рис. 1.7-2). Последнее означает, что поле внутри конденсатора однородное, а краевые эффекты (отклонения от однородности на краях конденсатора) слабо влияют на распределение зарядов и энергию, запасаемую в конденсаторе.

Если размеры пластин велики, то вне конденсатора поле практиче­ ски отсутствует, а внутри оно почти всюду однородное с напряжённо­ стью

Е =А л с г/ е

(по 2жсг/е от каждой пластины). Здесь s — диэлектрическая проницае­

мость среды в конденсаторе, а — поверхностная плотность зарядов, <T=q/S, S — площадь одной пластины конденсатора.

+9

Рис. 1.7.2. Плоский конденсатор

- я

Разность потенциалов пластин равна

1.7.4. Ё м кост ь сф ер и ч еск о го к о н д ен са т о р а

Сферический конденсат ор — это две концентрические проводя­ щие сферы, из которых одна несёт положительный зарад, а другая — такой же, но отрицательный заряд (рис. 1.7.3). Пространство между сфе­ рами заполнено диэлектриком (с диэлектрической проницаемостью е).

56

стоянии d друг от друга, считая d » С{, d » С2. Последнее означает,

что по отношению друг к другу шары могут считаться точечными. Нанесём заряд +q на шар ёмкостью С\ и заряд —q на шар ёмко­

стью С2. Запишем потенциалы шариков с учётом их взаимного влияния:

В частном случае, когда проводники, образующие конденсатор, являют­ ся шарами радиусов соответственно R\ и R2, отсюда следует

1.8.Энергия электрического поля

1.8.1.В за и м н а я эн ер ги я за р я д о в

Чтобы сблизить два заряда q\ и q2 до расстояния г12, нужно совер­

В первом равенстве суммирование производится только по различным парам. Например, в случае системы трёх зарядов {ql , q2, <h) в сумму входят три слагаемых:

4\4i Ч\Яз ЧгЧз

59

Во втором равенстве суммирование выполняется уже по всем парам, включая повторяющиеся. В примере системы трёх зарядов в сумму вхо­ дят шесть слагаемых:

Это привело к появлению коэффициента (1/2) перед знаком суммы. Поскольку потенциал поля в точке нахождения г-го заряда, созда­

ваемый всеми зарядами, кроме г-го, равен

то потенциальная энергия всей системы зарядов оказывается равной

(1.8.1)

(начало отсчёта потенциала выбрано в бесконечно удалённой точке, т.е.

плотностью р{г ) , а также по поверхностям — с поверхностной плотно­

стью сг(г), то вместо (1.8.1) дня энергии этой системы будем иметь вы­

ражение

(1.8.2)

1.8.2. Примеры

При нахождении энергии системы зарядов следует иметь в виду, что энергии является функцией состояния и не зависит от того, в каком процессе это состояние получено.

1) Шар, равном ерно заряж енны й по поверхности

Пусть шар радиуса R несёт полный заряд Q, равномерно распреде­ лённый по поверхности. Для нахождения его энергии будем небольши­ ми порциями переносить заряд из бесконечности и высаживать на по­ верхности шара. Каждая новая порция перемещается в поле уже имеющихся на шаре зарядов. Если шар уже несёт заряд q, то при пере­ носе порции dq совершается работа против сил поля dA =dZJ =(pdq, где

(р =q/R — потенциал шара. Следовательно,

60