Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Введём функцию у/{г) =(р]{г) —(р2(т). Поскольку функции ^ (г ) и

(f>2(г) удовлетворяют уравнениям (1.3.7), то функция (//(г) удовлетво­ ряет краевой задаче

А$^ =0, г е Д

Но по теореме 1 решение последней задачи есть у/ =0. Поэтому всюду в D (г) =(р2(г), что и доказывает теорему.

1.3.6. Т еорем а о ц и р к ул яц и и дл я эл ек т р о ст а т и ч еск о го п ол я

Так как электростатическое поле потенциально, то работа поля над зарядом не зависит от формы траектории. Это значит, что для произ­ вольной траектории L при совпадении начальной и конечной точек име­ ем

^ ’E,dr =^[Exdx +Ey dy +Ezdz^ =Q.

/: /.

Входящий сюда интеграл называется циркуляцией вектора Е по контуру L, а сформулированное равенство называется т еоремой о циркуляции в интегральной форме.

1.3.7. Т еорем а о ц и р к ул яц и и в ди ф ф ер ен ц и а л ьн ой ф орм е

Пусть замкнутый контур L(AS) охватывает малую поверхность

площадью AS. Вектор AS направлен по нормали к рассматриваемой площадке и по величине равен площади этой площадки:

AS =nAS, п2 =1. Направление вектора п задаётся положительным на­

Применим теорему о циркуляции, используя указанный контур:

(j) Ес/г--0.

L ( AS ) \ .

31

Рассмотрим предел

/

ф EJr ,

ДЛУ)

когда, контур стягивается в точку. Этот предел представляет собой про­ екцию вектора rotЕ на направление нормали п. Ввиду произвольности выбора контура заключаем, что

Сформулированное уравнение выражает теорему о циркуляции в диф­ ференциальной форме. В прямоугольных координатах оно имеет вид

1.3.8. Г р а н и ч н ы е у сл о в и я

При переходе через границу раздела сред электрическое поле ме­ няется по определённым законам.

dSx=ndS, имеем

(j)Ea?S =4 щ => EjrfSj +E2^S2 =4kodS.

s

Отсюда следует первое граничное условие: (Ej - Е 2)в =4жт,

или, что эквивалентно,

If; © Т

Рис. 1.3.3. К выводу условий на границе раздела сред

2) Применяя теорему о циркуляции к бесконечно малому прямо­ угольному контуру, проходящему на бесконечно малом расстоянии над и под поверхностью раздела сред (рис. 1.3.3 справа), получаем

Потенциал поля в точке А (рис. 1.3.4) складывается из потенциалов полей, создаваемых зарядами (-q) и (+#):

(рЛ^<р(г) = <р \<р,.

Рис. 1.3.4. К расчёту потенциала диполя

Пусть г_ и г+ — радиус-векторы точки наблюдения относительно поло­ жительного и отрицательного зарядов диполя. Поскольку г_ = r+ +1, то,

обозначая г =г+ и вводя вектор дипольного момента р =ql, получаем в пределе точечного диполя (/«?•):■

1.3.10.П оле си ст ем ы за р я д о в н а бол ьш ом р а сст о я н и и

Рассмотрим систему зарядов {<^}, занимающую конечную область

в пространстве. Найдём поле, создаваемое этой системой на расстояни­ ях, много больших размера этой области. Пусть гг — радиус-вектор г'-го заряда, а г — радиус-вектор точки наблюдения. Тогда потенциал поля в точке наблюдения равен сумме потенциалов, создаваемых всеми заря­ дами:

Величина |г—г,| в знаменателях есть расстояния от г-го заряда до точки наблюдения. Для преобразования этого выражения учтём, что г » rt. Поэтому

33

1

M l ^ (r - r ,-)2 ~ <jr2 -2rr,. r

Подстановка этого выражения в (1.3.11) даёт

/. \

точечного заряда Q. Второе же слагаемое в (1.3.12) убывает быстрее с ростом расстояния г. Если же Q = 0, то поле оказывается таким же, как

поле точечного диполя р (см. (1.3.10)):

<z>(r)=£L, Е(г) =-grad у (г) = Р- -• (1.3.13)

г3

1.3.11.Э н ер ги я ж ё ст к о г о ди п о л я в эл ек т р и ч еск ом п о л е

Пусть вектор дипольного момента составляет угол в с направлени­ ем поля. Тогда момент сил, действующих на диполь, равен

М = -pE sm d .

Знак «—» здесь означает, что момент сил стремится уменьшить угол в, ориентируя диполь по направлению поля.

Работа сил поля по повороту диполя от начального угла во до угла в равна

о

А = j M d6 =рЕ (cos в - cos в0) =U(0O) - U(0).

Выбирая в качестве начала отсчёта в0 =я/2, U(<90) =0, получаем

(рис. 1.3.5). Тогда силы, действующие на его компоненты, не равны по величине, и возникает сила, действующая на диполь как целое. Найдём эту силу:

F = (+?)Е++(~#)Е_.

34

Перепишем последнее выражение, введя вектор дипольного момента

Если поле однородное, то F =0. Если же поле неоднородное, то в общем случае сила отлична от нуля.

Выберем ось Z вдоль вектора напряжённости: Е |OZ. Предполо­ жим, что дипольный момент ориентирован по направлению поля. Тогда сила направлена поэтой же оси, причём F =Fz=pdE jdz.Отсюда сле­

дует, в частности, что при dE/dz >0 окажется F > 0. Это значит, что диполь втягивается в область сильного поля.

Формула для энергии точечного диполя (1.3.14) в электростатике применима и в случае неоднородно поля. При этом силу можно вычис­

Эквивалентность формул (1.3.16) и (1.3.17) связана с тем, что напря­

Перестановка порядка дифференцирования даёт окончательно

35

Отметим, что тождество grad(pE) =(pV)E справедливо только для

случая потенциального шля Е =—grad^p.

1.3.13. Э н ерги я у п р у го го ди п о л я в эл ек т р и ч еск ом п о л е

Выше мы нашли энергию жёсткого диполя, т.е. диполя с неизмен­ ным расстоянием между образующими его зарядами. Однако может оказаться, что расстояние между зарядами пренебрежимо мало, но рас­ тёт под действием внешнего электрического поля. Таким способом формируется дипольный момент у ряда веществ, имеющих неполярные молекулы. Найдём энергию такого упругого диполя, считая, что в от­ сутствие поля дипольный момент равен нулю.

Рассмотрим модель, в которой диполь (молекула) состоит из заря­ дов, соединённых пружиной с жёсткостью к (это допущение справедли­ во при не слишком сильных полях). Тогда под действием электрическо­ го поля длина пружины увеличивается на такую величину I, что сила со стороны поля уравновешивается силой упругости пружины:

к1 - qE.

Отсюда находим, что дипольный момент p =ql зависит от приложен­

ного поля по закону

p —^ - — = fiE .

к

Коэффициент /?называется поляризуемостью молекулы. Потенциальная энергия деформации пружины равна

W 2 '

£/ = — .

2

Исключая отсюда жёсткость к пружины по формуле K =qE jl, получим

_ к12 _ qEl _ рЕ

Здесь вектор дипольного момента, индуцированный внешним полем, параллелен электрическому полю. Поэтому последнюю формулу можно переписать в векторной форме:

36

I

1.4.Проводники в электрическом поле

1.4.1.Э л ек т р о ст а т и ч еск ое п о л е в п р оводн и к а х

Проводниками называют вещества, обладающие малым сопротив­ лением. В них имеются свободные заряды (электроны), которые могут перемещаться под действием сколь угодно слабых полей.

Если рассматривается стационарное состояние, когда нет токов, то в объёме проводника электрическое поле Е =0. Действительно, если бы имелось ненулевое поле, Е Ф 0, то возникло бы упорядоченное дви­ жение зарядов, т.е. ток. Ток будет течь до тех пор, пока заряды не рас­ положатся так, чтобы поле отсутствовало всюду в объёме вещества.

В состоянии равновесия

1) поле в объёме вещества равно нулю: Е® =0;

2) поскольку р ———div Е ^ , а Е® =0, то объёмная плотность за- „ Ап

рядов в веществе равна нулю: р =0. Это значит, что свободные заряды могут располагаться только на поверхности.

1.4.2.Г р а н и ч н ы е у сл о в и я н а п ов ер х н ост и п р ов од н и к а

1)Пусть среда 1 — вакуум, а среда 2 — проводник (рис. 1.4.1). Применяя теорему Гаусса к бесконечно малому прямоугольному парал­ лелепипеду, охватывающему часть границы раздела двух Сред, имеем:

2) Применяя теорему о циркуляции к бесконечно малому контуру, проходящему над и под поверхностью раздела сред (см. рис. 1.4.2), по­

Поскольку dl2 =—dl1, сЛ1=td l, Е2 =0, то

37

Таким образом, поле вблизи поверхности проводника направлено по нормали к поверхности и пропорционально поверхностной плотно­ сти заряда.

Рис. 1.4.1. К выводу граничного усло­ вия на поверхности проводника: прямоугольный параллелепипед охватывает поверхность dS металла

Рис. 1.4.2. К выводу граничного условия на поверхности проводника: прямоугольный кощур проходит над

ипод поверхностью металла

1.4.3.М ет о д зеркал ьн ы х и зо б р а ж ен и й

Пусть имеется система зарядов:

{?}+{?'}» {q}= {qi,q2,-,q„}, {q'} = {q{, q^ -> q’m}

Проведём мысленно эквипотенциальную поверхность S (на кото­ рой потенциал принимает значение <р = (р0), разделяющую пространство на две области: I и II. В этих областях находятся соответственно группы зарядов {q} и {</'} (рис. 1.4.3).

областей. Иными словами, поле в этой области (и только здесь!) не из­ менится, если заменить систему зарядов {q'} другой системой {q”},

если только эта новая система создаёт (совместно с зарядами {q}) на поверхности S тот же потенциал <р =<рй. Это значит, что для расчёта

38

поля в области I можно, например, заменить группу зарядов {q'} про­ водящей поверхностью, имеющей потенциал <р=<р0.

Обратно, если имеется группа зарядов {q} и проводящая поверх­ ность S с потенциалом (р =<р0, то для расчёта поля можно заменить эту поверхность такой группой зарядов {q’}, которая совместно с зарядами

{q} создаёт в точках поверхности S требуемый потенциал (р=(р0.

Фиктивные заряды {q } в этом случае называются изображениями зарядов {q}.

1.4.4.П рим еры

1)Точечный заряд над плоской поверхност ью металла

Изображением точечного заряда q в этом случае является заряд

q' =—q, расположенный симметрично относительно плоскости

(рис. 1.4.4). При этом в точках плоскости потенциал равен

гг

Вобъёме металла напряжённость поля равна нулю, а вне металла сов­

падает с полем диполя {q, q'} .

Рис. 1.4.4. Расчёт поля, созда­ ваемого точечным зарядом, на­ ходящимся над плоской поверх­ ностью металла

2) Заряд вблизи проводящ ей сф еры

а) Пусть сфера имеет потенциал q>=О (сфера заземлена).

Расположим заряд-изображение q\ заменяющий сферу, нарасстоя-

нии b =R2/d от центра сферы (рис. 1.4.5).

Тогда окажется, что треугольники OBq и Bq’q подобны, причём

39

Ъ

б) ЕслИ сфера изолирована и несёт заряд q0, то её потенциал ока­

зывается ненулевым. В этом случае изображение образуется двумя за­ рядами: первый находится на расстоянии Ъ=R1jd от центра сферы и

имеет заряд q =—q — (аналогично случаю заземлённой сферы). Кроме

а

того, добавляется второй заряд-изображение q", который находится в центре сферы и имеет величину

R

я я =Ч о -д ' =<1о+ч—-

а

Этот второй заряд оставляет сферическую поверхность эквипотенци­ альной, .но делает суммарный заряд области, ограничиваемой внешней поверхностью сферы, равным q0: q" +q' = q0. Потенциал сферы оказы­

вается равным <p = q"/R.

1.4.5. Э л ек т р ост а т и ч еск а я за щ и т а

Идея электростатической защиты основана па теоремах Фарадея.

Теорема 1. Пусть заряды q находятся внутри металлической о б о ­ лочки (рис. 1.4.6). Тогда сумма зарядов, индуцированных на внутренней ст ороне оболочки, равна по величине и противоположна по знаку сумме зарядов, находящихся внутри оболочки: q +q' =0.

Д оказат ельст во. Выберем поверхность S, Целиком проходящую в объёме оболочки. Так как оболочка проводящая, то на этой поверхности поле всюду равно нулю. Поэтому на основании теоремы Гаусса имеем

(j)EJS =4ж(д +q') =0.

40