Математика Яцкевич, Раевская 2012
.pdf3. Если прямые Uи h заданы уравнениями с угловым коэффици ентом у = к1х +Ь1,у = к2х + Ь2,'то
tg<p= к2 -&1 1 + кхк2
Условие пересечения прямых: кхФк2; параллельности прямых:
кх=к2,Ъх ф Ь2;
совпадения прямых:
= к2; Ьх = Ь2;
перпендикулярности прямых:
кх ■к2 - -1, т. е. кх= ——.
Для нахождения точек пересечения прямых 1\ и /2 нужно решить систему уравнений
|
Х - Х х |
= У - У х ^ |
|
|
jAyX-i~ВхУ+ Cj —О, |
Щ |
«1 ’ |
\у =кхх + Ъх, |
(4.49) |
\Л2Х+ ^2У+ С2 = О, |
или |
у ~ у 2 |
или < |
|
х - х 2 |
I у = к2х + Ь2. |
|
||
|
т2 |
|
|
|
О п р и м е р 4.37. Найти острый угол между прямыми, определяе мыми уравнениями 9дс- Ъу + 7 = 0 и 6х + З у -4 = 0, Найти точку пересечения этих прямых.
Ре ше ние . Запишем векторы нормалей этих прямых й, (9;-3);
я2 (б;3) и воспользуемся формулой (4.40): |
|
|
|(Я1эйа]| _ |
|9-6 + (-3)-3| |
451л/2 |
coscp= jz |
J 92 + (-3)2 л /б Ч з7 V90-V45 л/2 |
2 |
N -Ы |
||
70
%
Следовательно, <р = — = 45°. Для того, чтобы наити точку пере- 4
сечения прямых, составим и решим систему уравнений (4.49):
26
" =Т?-
Ппример 4.38. Дана прямая Здс-4у = 7. Через точку Мо(3; 2) проведена прямая: а) параллельно данной прямой; б) перпендику лярно данной прямой. Составить ее уравнение.
Решение, а) й(3;-4) - вектор нормали исходной прямой.
В силу параллельности прямых его можно считать и вектором нор мали искомой прямой. Составляем уравнение прямой, проходящей черезточку М0(3; 2) перпендикулярно вектору Л(3; -4 ) (см. (4.33)):
3(x - 3 )+ (-4X y-2) = 0 , или 3JC—4>* —1 = 0. |
|
||
б) |
В силу перпендикулярности прямых вектор нормали й(3;-4) |
||
будет |
направляющим |
вектором для перпендикулярной |
прямой: |
s =й(3; - 4 ). Составим |
каноническое уравнение прямой, |
походя |
|
щей через точку А/0(3; 2) параллельно вектору s(3; - 4) (см. (4.36)):
х3 2
-— = —-------------------------=> -4х +12 = Зу - 6 => 4* + Зу -18 = 0- иск 3 - 4
уравнение.
4.13. Плоскость в пространстве
Будем считать, что в пространстве задана прямоугольная декар товасистема координат Oxyz.
4.13.1. Различные виды уравнения плоскости
Однозначное расположение плоскости определяется
1)либо фиксированной точкой |
A/0(jc0,>>0,z0), лежащей на этой |
|
плоскости, и ненулевым вектором |
п(А,В,С), перпендикулярным к |
|
плоскости, который называется нормальным вектором-, |
||
2) |
либо тремя точками Мх{хх>ух,г^), M2{x7ry2,z2) и М3{хг,j 3,z3), |
|
не лежащими на одной прямой. Рассмотрим эти случаи.
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0)
перпендикулярно вектору п(Л,В,С), А2 + В2 + С2 Ф0: |
|
А(х - *0)+ в (у - Уо)+c (z - zo)= 0 • |
(4.50) | |
Если раскрыть скобки, привести подобные члены, обозначить
D = -(AX0 + By0 + Cz0 ), то будем иметь уравнение |
|
Ax + By + Cz + D =0, А2 +В2 +С2 * 0 , |
(4.51) | |
которое называется общим уравнением плоскости.
Если в (4.51) все коэффициенты не равны нулю, то путем деле ния обеих частей уравнения (4.51) на (-£>) получим уравнение
х |
у |
z . |
(4.52) | |
—+— + - = 1, |
|||
а |
Ъ |
с |
|
которое называется уравнением плоскости в отрезках. Здесь а, b,
с - абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с координатными осями Ох, Оу, и Oz соответственно.
2. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
М{(хъуь гх\ M2(x2,y2,z2) и Мг{хг,уг,гъ), имеет вид: |
|
||
х - х х |
у-■У\ |
z ~ z { |
|
х2 - х х |
У2'~У\ |
z2 ~ z\ = 0. |
(4.53) |
*з-*1 |
Уг~У\ |
z3-z , |
|
72
Если вычислить этот определитель, то мы придем к уравнению вида (4.51), т. е. к общему уравнению плоскости.
Уравнением первой степени с тремя переменными называют уравнение
Ax + By + Cz + D =О, А2 +В2 +С2 * 0.
Вывод. Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется уравнением первой степени с тремя переменными
Ax + By + Cz + D = 0,A2 +В2 +С2 *0 .
И наоборот, каждоеуравнение первой степени относительно х,у, z определяет некоторую плоскость в пространстве.
4.13.2, Взаимноерасположение плоскостей
Пусть две плоскости заданы своими общими уравнениями
Ахх + Вху + Cxz + Z>j = 0, |
(4.54)Jj |
А2х + В2у + C2z *fD2 —0. |
(4.55) j| |
Различают следующие случаи взаимного расположения плоско стей: 1) пересекаются по прямой; 2) параллельны; 3) совпадают.
Условие пересечения', соответствующие коэффициенты при х, у, z в (4.54), (4.55) не пропорциональны, т. е. п(%п2, здесь
п2(А2,32,С2). При этом условие перпендикулярности
плоскостей имеет вид:
A]A2 + BXB2+ C\C2 - о .
Условия параллельности плоскостей (4.54) и (4.55):
A |
= A |
= £ l * А . |
а 2 |
в 2 |
с 2 D 2 |
(4.56) I
(4.57) |
совпадения плоскостей:
73
Углом между плоскостями (4.54) и (4.55) называется угол меж ду их нормальными векторами пх(Л},B},Cj) и п2(А2,В2,С2).
Поэтому косинус угла <р между ними находится по формуле
|
AJA2+ в1в2+q c 2 |
|
cos<р = cos |
|
4.59) |
ftl-N |
J A ?+B?+C? ■^A2 +B%+cf |
|
Величина меньшего угла между плоскостями вычисляется по |
||
формуле |
|
|
----------------------------------------------------------------------------------- |
|
1 |
COS4>=7 2 V" ' 2 |
I 2 |
2 ...2 |
-у Aj 4- В^ + Cj • у А2 |
+ $2 + ^2 |
|
Расстояние d от точки |
M0(xQ,y0,z0) |
|
Ax + By + Cz + D =0 находится по формуле: |
||
_ \Ах0 + Ву0 + Сг0 + Р\
4 а 1 + в 2 + с 2
■(4'60)
до плоскости
(4.61)
Пп р и м е р 4.39. Составить уравнение плоскости, которая прохо дит через точку М0(2; 1; -1) перпендикулярно вектору » (1; - 2; 3).
Р е ше ние . Воспользуемся формулой (4.50):
1.(х _2)+(-2)(у-1)+3(г -(-1)) = 0.
Отсюда x - 2 - 2 y + 2 + 3z + 3 = 0, а значит, x - 2 y + 3z + 3 = 0 - общее уравнение искомой плоскости. 0
Пп р и м е р 4.40. Составить уравнение плоскости, проходящей че рез точку Мо(-2; 3; 1) параллельно плоскости Оху.
74
Решение. В качестве вектора нормали плоскости Оху можно взять базисный вектор к = (0;0;l)= п , который будет служить и век тором нормали искомой плоскости. Далее по формуле (4.50) 0 (x+ 2 )+ 0 -(y -3 )+ l-(z -l) = 0 или z - 1= 0.
^ П р и м е р 4.41. Написать уравнение плоскости, проходящей че
рез три точки |
(l;0;—l), М2(2;2;3\ M3(0;-3;l). |
|
|||||
Р еш ение. Используя формулу (4.53), получим |
|
||||||
х-1 |
у - 0 |
Z + 1 |
х —1 У |
Z + 1 |
|
|
|
2-1 |
2 -0 |
3 + 1 = 0=> 1 |
2 |
4 |
= 0 => |
|
|
0-1 |
1 U) 1 о |
1 + 1 |
-1 |
-3 |
2 |
|
|
|
2 |
- у . 1 |
4 |
|
|
= 0 => |
|
■(х-1)• -3 |
-1 |
2 + (* + !)• |
|
|
|
||
=>1б(х- l)—6у —(Z + 1)=0=>16jc —6у —z —17 = 0 |
- |
||||||
общее уравнение искомой плоскости. |
|
|
|
||||
Ппр и м е р 4.42. Найти |
угол |
между |
двумя |
плоскостями: |
|||
х-2у - z +\ =0,x + 3z —l = 0. |
|
|
|
|
|||
Решение. Нормальный вектор первой плоскости |
«j(l;-2;-l), |
||
второйЯ2(1;0;3). Следовательно, по формуле (4.59) |
|
||
cosq> = cos |
|
|
|
ы - ы |
|
|
|
11 + ( - 2 ) 0 + (-1)-3 |
|
|
|
4 \г + (-2 )2 + (-1)2 -л/l2 + 02 +32 |
л/б-л/ю |
у[\5 |
|
Значит, угол ф тупой, ф = arccos |
= ж- arccos—JL-. Острый |
||
|
VT5 |
л/15 |
|
|
1 |
|
1 |
угол находится из соотношения: соБф = ~г=; |
ф= arccos— . ж |
||
|
л/Г5 |
|
л/15 |
75
О п р и м е р 4.43. Вычислить расстояние между параллельными; плоскостями: x - 2 y - 2 z - l2 =0 ,x - 2 y - 2 z - 6 =0 .
Р е ш е н и е . w(l;-2;-2) - вектор нормали обеих плоскостей. Дм
решения задачи найдем какую-либо точку на первой плоскости и вычислим расстояние от этой точки до второй плоскости. Для этого положим в первом уравнении х = 0,у = 0, тогда -2 z -1 2 = 0. От сюда z = -6 . Следовательно, М0(0; 0; -6) - точка, лежащая на пер вой плоскости. Тогда по формуле (4.61) имеем:
, | 1 - 0 - 2 0 - 2 - ( - б ) - б | 6 , |
d =2. ® |
:2,т. е. |
4.14.Прямая в пространстве
4.14.1.Различные уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве однозначно определяется:
1) заданием точки M0(xQ,y0,z0) этой прямой и ненулевого век тора s(m,n,p), параллельного прямой, который называется направ ляющим вектором прямой;
2) заданием двух точек Af1(jfj,.>'],Zj) и M2(x2,y2,z2) на эт™
прямой; 3) пересечением двух непараллельных плоскостей.
Канонические уравнения прямой, проходящей через точку
Mti(x0,y0,zQ) параллельно вектору S(m,n,p),s* 0 , имеют следую щий вид:
а ее параметрическиеуравнения'. |
|
х = XQ +mt |
|
- y = y0 +nt, te R , |
(4.63) |
z =z0 + pt, |
|
76
Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки м\{хьУ \^\) и М2{х2>Уг>*г)> имеют вид
x ~ xi |
У~У\ |
__ z ~ zt |
(4.64) |
*2“ *1 |
У2 -У 1 |
Z2 -Zl |
|
Общими уравнениями прямой называется система уравнений
Агх + В}у + Cxz + £)| = О,
(4.65)
А2 Х+ B jy + |
+ D2 “ О, |
т. е. прямая задается пересечением двух плоскостей. Направляющий вектор прямой (4.65) находится по формуле:
1 J |
к |
|
?=[«1>й2]= 4 |
Су |
(4.66) |
а2 в2 с2
4.14.2.Взаимное расположение прямых в пространстве
Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
Х-Ху |
У -УХ 2 -2, |
(4.67) |
1 |
||
Щ |
«1 |
А |
|||
|
|
||||
* “ ■*2 |
У-У2 _Z-*2 |
(4.68) |
I |
||
w2 |
И2 |
Р2 |
|||
|
|
||||
Возможны следующие случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве: 1) прямые параллельны; 2) совпадают; 3) пересекаются в одной точке; 4) прямые скрещиваются.
77
Условия параллельности прямых (4.67) и (4,68):
11*2 : — |
= — = — ; н вект°р МхМ2(х2 - х х,у2 - y i,z 2 ~ zt) не |
|
т2 |
п2 |
р2 |
коллинеарен векторам sx(mii,щ,рх) и s2(m2,n2,p2). Условия совпадения прямых:
5, II52 \\МХМ2 .
Условия пересечения прямых:
х2 ~ х\ У2~У\ |
z2 ~ z\ |
|
тх |
пх |
рх= 0 (условие компланарности векторов |
т2 |
п2 |
р2 |
sx,s 2 и |
МХМ2 ) и |
векторы Sj(тх,пх,рх) и s2(m2,n 2, p 2) некол- |
линеарны.
Условия скрещивающихся прямых (т. е. прямые не лежат в од
ной плоскости): |
|
|
*2“ *1 |
У2 ~У\ |
z2 ~ "1 |
тх |
пх |
рхФ0 (условие некомпланарности векто |
т2 |
п2 |
рг |
ров sx,s2 и М ХМ2 ). |
||
Заметим, что |
,s2,МХМ2)= 0 является условием того, что пря |
|
мые (4.67) и (4.68) лежат в одной плоскости.
Под углом между прямыми (4.67), (4.68) понимают угол между направляющими векторами sx{mx,nx,p^) и s2(m2,rt2>p2). Величина
этого угла ф определяется формулой: |
|
|
rF. m fo .S z)- |
тхт2+щп2 + рхр2 |
_ (469) |
Ы ’Ы |
д/т[ + пх + р \ • 7 т\ + «2 + Рг |
|
Условие перпендикулярности двух прямых: (?!,52) = 0,т.е. тхт2 +пхп2+рхр2 = 0.
78
О п р и м е р 4.44. Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Мо(4; 3; -2) параллель-
. |
ч |
Гx + 3 y + z - 6 - 0 , |
но 1) вектору s (3; - 6; 5); 2) прямой < |
||
|
|
(2jc - у - 4z +1 = 0. |
Решение . 1) Вектор s(3;-6;5) является направляющим век
тором искомой прямой, проходящей через точку М0. Тогда по фор
муле (4.62) |
канонические уравнения прямой примут вид: |
х - 4 _ у - 3 _ z + 2 |
|
~ Т ~ ~ |
- 6 ~ 5 |
Используя (4.63), параметрические уравнения прямой запишутся
ввиде:
х= 4 + 3t
y = 3 -6 t , t e R . i = —2 + 51
2) Направляющий вектор |
заданной в условии прямой находим |
|||||||
поформуле (4.66): |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
] |
к |
|
|
|
|
|
|
*1 1 |
3 |
1 = i 3 |
1 |
—j |
1 |
1 |
+ £ 1 |
3 = -11/ + 6J - 7к , |
2 |
-1 |
- I |
- 4 |
|
2 |
- 4 |
2 |
-1 |
- 4 |
|
|
|
|
|
|
||
т. е. J, =(-11; 6;-7 ). |
|
|
|
|
|
|
||
Вектор 5i |
может служить направляющим вектором и искомой |
|||||||
прямой, т. к. прямые параллельны. Получаем канонические урав нения:
х - 4 у - 3 _ z + 2
-И 6 - 7
а параметрические уравнения имеют ввд:
х = 4 -1 \t,
• у = 3 + 6t , t e R .4^1 z =-2 -7 t,
79