Математика Яцкевич, Раевская 2012

Бели функция х = q>(f) на интервале (а;р) имеет обратную

t = ф-1(х), то определена новая функция ,у(х)= ц/(ф_1(х)), называе­ мая функцией, заданной параметрически соотношениями (6.5). Дифференцируя ^(х)= vj/(cp_1(jc)) по х и используя формулу (6.4) имеем соотношение

130

6.5. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть функция у - /( х) диффереБдируема в точке х0 е(а;6). Тогда

Из последнего равенства получаем, что Ау(х0) -- f ( x 0) ■Ах + а(х) ■Ах. О п р е д е л е н и е . Произведение f'(x0) ■Ах , являющееся глав­ ной линейной частью приращения функции, называется дифферен­ циалом функции у - /(х) в точке х0, соответствующим прираще­

нию Ах и обозначается dy = /'(х0) • Дх , а для произвольной точки х

131

dy = /'(x)- Ax . Дифференциал независимой переменной x будет ра­

вен dx = 1 • Ах, поэтому

t

Основные свойства дифференциала аналогичны правилам диф­ ференцирования (п. 6.2).

1.d(C) =0;

2.d(Cu) = Cdu ;

3.d(u±v) = du±dv;

4.d(u-v) = v-du + u-dv;

6.d f (и) = f'(u)du, где и =<p(x).

Последнее свойство называется инвариантностью формы диф­ ференциала первого порядка.

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции у = f(x) (рис. 6.3) в точ­

ке М0{хо,уо) при приращении аргумента, равном Ах . Это следует

ЛВ

из того, что ----= /'(х 0)= tga , тогда АВ = /'(х 0 )Дх = dy. Здесь АВ - Ах

приращение ординаты касательной ТТ\.

132

При достаточно малых Дх Ay « dy, т. е. Ау » /'(х)Лх, а в точке х0 можно записать приближенную формулу

Я хо + Д*)* У(*о)■+/'(*о)Д* ■

133

О п р и ме р 6.11. Найти приближенное значение объема шара, ра­ диус которого равен 1,02 м.

V - 4%г2. Полагая г =1, Ьг = 0,02, получим V(1,02) » F(l) + Р"(1)0,02=

=-7i + 4TI0,02 «4,43 м3. # 3

6.6.Производные и дифференциалы высших порядков

Производной второго порядка функции у = fix ) называется

£ у

производная от ее производной у' =/'(* ), т.е. У*=~Гг - (УУ■ dx2

Аналогично определяются производные более высоких порядков

ут= {уяУ,...>/ п)=(у(г‘-1)У.

Дифференциалы высших порядков функции у = f(x) (х - неза­ висимая переменная) вычисляются по формулам

d 2y = /(d x ) 2,...idny =y^(d x)n.

П п р и м е р 6.12. Найти выражение для производной п-ro поряд­

ка функции у =—.

х

134

O n р и м е р 6.15. Найти дифференциалы 1-го, 2-го, ..., л-го по­ рядков функции у = (2х - З)3 .

Р е ш е н и е . dy = 3(2х -З)2 2dx - 6(2х -З)2 dx,

d 2y =12(2лг- 3)2(dx)2 = 24(2х - 3Xdx)2, d3y =48(d x f, d*y = Q(dxf =0,. ..,dny =0.

6.7. Приложения теорем Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя

Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [«;&],

дифференцируема на интервале (a; b) и f{a)= fib ) , то сущест­ вует хотя бы одна точка £,е {a;b) такая, что f t ) = o .

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке

м и дифференцируема на интервале (а;Ь), то существует точка 4 е (a; b) такая, что

Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрез­ ке [<з;b \ дифференцируемы на интервале (a;b) и g'(^)^0,Vxe М ), то существует точка \ е (а; Ъ) такая, что

<ф°рм>,лаКоши) (6Л2>|

Ппр и м е р 6.16. Доказать, что уравнение Зх5 + 15х-8 = 0 имеет только один действительный корень.

Р е ш е н и е . Поскольку функция f( x ) = Зх5 +15х - 8 непрерыв­ на и на концах отрезка [0; l] принимает значение разных знаков (/(0)<0,/(1)>0), то по первой теореме Больцано-Коши на ин­ тервале (0; l) уравнение /(x)= 0 имеет корень. Предположим, от противного, что это уравнение имеет два действительных корня х = а, х = b, f(a) = f{b)= 0.

136

Тогда по теореме Ролля на интервале (а;Ь) существовала бы

точка в которой /'(Д) - 0, Но /'(х) = 15х4 + 15^0 при действи­

тельных х. Полученное противоречие доказывает, что действитель­ ный корень ~ единственный.

О п р и м е р 6.17. Используя формулу Лагранжа, доказать нера­ венство |sinx2 - sin JCj| < |х2 --JCjj.

Р е ш е н и е . Функция /(x ) = sin x удовлетворяет условиям тео­ ремы Лагранжа на любом отрезке [jcj;jc2 ]; /'(*)= cos х. Поэтому

sinх2 - sin х{ - cos ^■(х2 - х 1). Отсюда, учитывая, что |cos£,| < 1, име­ ем |sinx2 -sinxjj = |cos4|x2 —jc£| < |x2 -Xj|.

х~*х0g(x) х->х0g(xj

приусловии, что существует предел отношения производных.

137

За м е ч а н и я :

1.Аналогичная теорема справедлива и в случае х0 = °о.

2. Если частное /'(х )/g'(x) в точке х0 также есть неопределен­

ность вида —или — и производные f ( x ) и g ‘(x) удовлетворяют

Ооо

соответствующим условиям, то можно перейти к отношению вто­ рых производных и т. д.

3. Неопределенности вида 0-м или со-оо алгебраическими преобразованиями функции приводятся к неопределенности вида -0

или — , и далее применяется правило Лопиталя.

оо

4. В случае неопределенности вида 0°, оо°, 1“ следует проло­ гарифмировать функцию и предварительно найти предел ее лога­ рифма.

О п р и м е р 6.19. Найти lim sin2x-sin3x *—►0 arcsinx

Р е ш е н и е . Используем формулу (6.13)

138

1 1

EJn р и м е р 6.21. Найти lim

Х-1 \пхJ

Р е ш е н и е . Имеем:

smjc\ П п р и м е р 6.22. Найти limf—

x-*0\ X

Р е ш е н и е . Здесь имеем неопределенность вида 1°°. Обозначим

1cosx-xsinx-cosx

=—lim -

Поскольку lim(lny)=-—, то limy = limf Sin- | =e 6. 0

x -*0 6 x_+0x->0VxJ

139