Математика Яцкевич, Раевская 2012

Заметим, что и произведение В ■А существует:

4.2. Определители. Миноры и алгебраические дополнения

Каждой квадратной матрице А порядка п можно поставить в со­

Вычисление определителя 2-го порядка изображается схемой:

+ а 12а 23а 3\ ~ а 3\а 22а 13 ~ а 21а \2а 33 ~ а 32а 23а П

20

и обозначается М. Оставшиеся элементы матрицы образуют опре­ делитель, который называется дополнительным к минору М и обо­ значается через М'. Так, например, для матрицы

строки, первый и четвертый столбец. Тогда минором второго по-

Каждый элемент матрицы 4-го порядка является минором пер­ вого порядка. Дополнительный минор является определителем 3-го порядка, обозначаемый М у, соответствующий элементу ау.

О п р е д е л е н и е . Алгебраическим дополнением Ау элемен­

та ау называется дополнительный минор Му, умноженный на

(~l)'+7, т. е.

Тогда будем считать по определению, что определитель матрицы четвертого порядка

= а й А п + a i2A i2 + a i3A i3 + a i4A i4, i = 1,4.

22

Формула (4.7) называется разложением определителя четвер­ тогопорядка по элементам /-й строки. Можно показать, что

(разложение определителя по элементам j-го столбца). Анало­ гично можно ввести понятие определителя «-го порядка.

Назовем строки и столбцы матрицы еерядами.

Теорема (о разложении определителя по элементам ряда).

Определитель квадратной матрицы порядка п(п>\) равен сумме

произведений элементов некоторого ряда на их алгебраические дополнения, т. е. справедлива формула

«nl « „ 2 • • «пи

Для « = 3 и i -1 формула (4.9) примет вид

где

23

Приведем некоторые свойства определителей:

1) Определитель матрицы равен определителю транспонирован­

ной матрицы, т. е. det А - det Ат.

2)Если поменять местами два столбца (две строки) определите­ ля, то он изменит знак на противоположный.

3)Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю.

4)Определитель, имеющий два одинаковых параллельных ряда, равен нулю.

5)Общий множитель элементов какого-либо ряда можно выне­ сти за знак определителя.

6)Если соответствующие элементы двух параллельных рядов определителя пропорциональны, то он равен нулю.

7)Если к элементам одного ряда определителя прибавить эле­ менты другого параллельного ряда, умноженные на число X е R , то величина определителя не изменится.

24

4.3. Обратная матрица

Пусть А - квадратная матрица «-го порядка

О п р е д е л е н и е . Квадратная матрица А называется невы­ рожденной, если ее определитель не равен нулю, т. е. Д = detА Ф0, Если А = det А = 0, то матрица А называется вырожденной.

Матрица А~1 называется обратной к квадратной матрице А, если выполняется равенство

гдеЕ- единичная матрица.

Теорема. Для невырожденной матрицы А существует единст­

венная обратная матрица А~1.

В случае квадратной матрицы «-го порядка обратная матрица

где Ау - алгебраические дополнения элементов а(]- матрицы А. Для

квадратной матрицы третьего порядка формула (4.12) имеет сле­ дующий вид:

26

то Х-Е = В- A~l =>X = В ■А~1, Найдем обратную матрицу А~1 по формуле(4.12) при п - 2 .

1) d et(^ -1) = — -— ;

1 ’ d et А

2){А-В)~х = В~1 ■А~х\

3)и г

27

4.4.Ранг матрицы

Оп р е д е л е н и е . Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры мат­ рицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным нулю.

Обозначения: rang А;гл,г.

О п р е д е л е н и е . Базисным минором матрицы называется отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Для ненулевой матрицы существует базисный минор, вообще

нор 1-го порядка, отличный от нуля (например, |2| = 2 * 0 ), а все

миноры 2-го порядка равны нулю (в силу пропорциональности строк). Базисным минором является каждый минор 1-го порядка.

ственный базисный минор матрицы В совпадает с ее определите-

1 2

лем

34

Оп р е д е л е н и е . Минором, окаймляющим минор М поряд­ ка к матрицы А, называется минор порядка (кч-1) этой матрицы,

содержащий минор М.

О п р е д е л е н и е . Элементарными преобразованиями мат­ рицы назовем следующие операции:

1) умножение строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

2)прибавление к одной строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), умноженной на произвольное число;

3)перестановку местами двух строк (столбцов) матрицы.

Известно, что при элементарных преобразованиях матрицы ееранг не изменяется.

Ранг матрицы можно найти следующими способами.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга мат­ рицы состоит в том, что любую ненулевую матрицу с помощью

28

элементарных преобразований можно привести к трапециевидной, т. е. к матрице вида

Ранг полученной матрицы равен г - числу ненулевых строк. Следо­ вательно, гв = г , а значит, и гА = г . Базисным минором в матрице В

ОО

Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы ос­ нованна следующем утверждении.

Теорема. Если в матрице А имеется минор М порядка г, отлич­ ный от нуля, а все миноры, окаймляющие минор М (если они суще­ ствуют), равны нулю, то гА= г.

Для нахождения ранга матрицы А необходимо:

1) Найти какой-нибудь минор М1 1-го порядка (т. е. элемент матрицы), отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица А нулевая и гА =0 .

2) Вычислять миноры 2-го порядка, окаймляющие минор Мг до тех пор, пока не найдется минор М2 , отличный от нуля. Если тако­ го минора нет, то гА =1; если есть, то ^ > 2 .ит. д.

Процесс нужно продолжать до тех пор, пока либо все окайм­ ляющие миноры будут равны нулю, либо миноры (£ + 1) порядка у данной матрицы не существуют. В этом случае rA = k .

29