Математика Яцкевич, Раевская 2012
.pdfТа ось гиперболы, которую она пересекает, называется дейст вительной, а та, которую не пересекает - мнимой. Числа а и Ъна зываются полуосями гиперболы; (а - действительная, Ъ - мнимая
полуоси). Точка 0(0;0) называется центром гиперболы.
Прямые у - ±—х называются асимптотами гиперболы. При не
а
ограниченном удалении от начала координат гипербола бесконечно близко приближается к своей асимптоте, не пересекая ее. Гипербола (4.84) изображена на рис. 4.21.
Рис. 4.21
Эксцентриситетом гиперболы называется число е, равное от ношению половины расстояния между фокусами гиперболы к ее действительной полуоси:
(4.86)
Замечания. 1) Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу, то уравнение гиперболы имеет вид_________________________________
(4.87)
TI 90
Действительной осью гиперболы (4.87) является ось Оу, а мни мой - ось Ох. Гиперболы, заданные уравнениями (4.84) и (4.87), на зываются сопряженными. Сопряженные гиперболы имеют одинако вые асимптоты, а действительные оси их взаимно перпендикуляр-
ны. Для гиперболы (4.87) е = —. Она изображена на рис. 4.22.
Рис. 4.22
2) Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид
91
где (jc0,yQ) - координаты центра гиперболы.
4.16.4.Парабола
Оп р е д е л е н и е . Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки, назы ваемой фокусом F, и данной прямой /, называемой директрисой.
Если расстояние от фокуса F до директрисы / обозначить черезр, расположить фокус F на оси Ох, которая перпендикулярна дирек трисе /, а ось Оу - посередине между фокусом и директрисой паэаллельно последней, то парабола задастся уравнением
У2 = 2 р х , |
(4.89) I |
которое называется каноническим уравнением параболы (рис. 4.23).
Рис. 4.23
92
Число р, равное расстоянию от фокуса F до директрисы I, назы вается параметром параболы, точка 0(О;О) - ее вершиной, а ось
Ох - осью симметрии параболы. Уравнение директрисы I имеет вид: х = - - j . Эксцентриситет г параболы по определению счи тается равным 1: е = 1.
Замечания. |
1) Уравнение у 2 =-2рх также задает параболу, |
симметричную относительно оси Ох (рис. 4.24). Фокус F имеет ко- |
|
ординаты F |
, а уравнение директрисы: х = -Р |
2)Уравнения х"У- 2 ру; х"У= ~2ру также задают параболы, но сим
метричные относительно оси Оу. У параболы х = 2ру фокус р 0;,Р
уравнение директрисы у ■ Р (рис. 4. 25). Для параболы х - -2 ру
фокус F \ О;- у j >а уравнение директрисы У= (рис. 4.26).
93
Рис. 4.26
94
3) Уравнения парабол с осями симметрии, параллельными коор динатным осям, имеют вид:
(У~Уо? = ±2р(х-х0); (х - х0)2 =±2р(у- у0).
Известно, что для любой линии второго порядка на плоскости существует прямоугольная декартова система координат, в которой эта линия задается каноническим уравнением.
Покажем на конкретных примерах, как практически привести уравнение линии 2-го порядка, не содержащее члена с произведени ем переменных, т. е. 5 = 0 в (4.77), к каноническому виду.
Ппример 4.52. Линия второго порядка задана уравнением
Зу -12* - 6у +11 = 0. |
(4.90) |
Определить вид этой линии и нарисовать ее.
Решение. Уравнение (4.90) не является каноническим. Выделим полный квадрат, включающий в себя все слагаемые с переменной у, причемкоэффициент приу2 обязательно выносим за скобки.
з(у2 - 2у ) - 12jc +11 = 0 о з((у2 - 2j + 1) - 1) - 12х + 11= О
3(у- 1)2 - 3 -1 2л +11 = 0 о 3(j - 1)2 = 12JC- 8 |
(у - 1)2 = 4f |
2^ |
Применив преобразование параллельного |
переноса X = х - ^ ; |
|
Y-y-1, из последнего уравнения получаем каноническое уравне
ние Y2 = 4 Х . Отсюда видим, что рассматриваемая линия - парабо ла, симметричная относительно оси 0\Х.
Чтобы нарисовать эту линию, изобразим на одном рисунке обе системы координат Оху и 0\XY. При параллельном переносе коор динатные оси перемещаются параллельно самим себе, поэтому для определения их расположения достаточно определить положение
2
нового начала координат. В точке 0\ Х= 0 и Y= 0, значит,
( 2 |
Л |
проводим оси, сонаправленные осям Ох |
у = 1. Через точку Ох —; i |
|
95
и Оу, и получаем новую систему координат. В этой системе рисуем
параболу Y2 = 4 Х , вершина которой находится в начале координат, а ветви направлены в сторону положительного направления оси 0\Х симметрично этой оси (рис. 4.27).Щ
П п Р имер 4.53. Упростить уравнение 2хг +5у2-\2х+10у+13=0, пользуясь переносом начала координат. Построить линию, опреде ляемую этим уравнением.
Решение . Выделим полные квадраты по переменным х и у со ответственно.
2(х2 - 6jc)+ 5(у2 + 2у)+13 = 0 о
l{x2 -6х + 9)-18 + 5(у2 +2>>+ l)-5 + 13 = 0<=>
2(х-3)2 + 5(у + 1)2 = 1 0 о
(х-3У |
, (у-ИУ ! |
5 |
2 |
96
Обозначая х - 3 - X, у + 1 = Y, получим каноническое уравнение
X 2 |
Y2 |
эллипса ---- + — = 1. Начало новой системы координат - точка |
|
5 |
2 |
0i(3, -1); оси 0\Х, 0\Y параллельны осям Ох и Оу соответственно.
Большая полуось эллипса а = V?, малая полуось Ъ= |
Изобра |
зим кривую на рис. 4.28.18* |
|
Пп р и м е р 4.54. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке vV(2;-5) и радиус, равный 4.
Решение . Подставим значения координат центра и радиуса в
уравнение (4.78), получим (х - 2)2 + (у +5)2 =16. 0
ПпР имер 4.55. Дано уравнение эллипса 24*2 + 49>>2 = 1176. Най ти: 1)дайны его полуосей; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет.
Решение . Приведем уравнение эллипса 24*л +49у 9 =1176 к каноническому виду (4.80), разделив обе части равенства на 1176:
х2 |
У2 |
1 |
—+— = 1, из которого вытекают следующие соотношения: |
||
1) |
а2 = 49,62 = 24, т. е. а = 7 - большая полуось; b = 2л/б - ма |
|
лаяполуось. |
||
2) |
Используя равенство (4.81), найдем с2=а2 -Ь2 =49-24= 25,с=5. |
|
Значит, |
Fj (5;0), F2(- 5;0). |
|
3) |
По формуле (4.82) в = — = —. |
|
|
|
а 7 |
97
О п р и м е р 4.56. Составить уравнение эллипса, проходящего че рез точки М[ (2;-4л/3 \ м г (- 1;2л/15).
2 |
у |
2 |
ДГ |
|
Решение . Уравнение эллипса ищем в виде (4.80): - у + -рг - 1 •
Так как эллипс проходит через точки Мх,М г , то их координаты
|
4 |
48 |
, |
удовлетворяют уравнению эллипса: |
-T + ~T=zl> |
||
а2 |
Ъ2 |
, |
|
|
1 |
60 |
|
|
а |
о |
|
Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым, нахо
дим: |
= -3 , т. е. Ъ2 = 64. Подставляя полученное значение Ь2 |
|
Ъ2 |
во второе равенство, получаем - у + — = 1, откуда а2 =16. Иско-
2 2
мое уравнение эллипса имеет следующий вид: — + — = 1 • ©
О п р и м е р 4.57. Дано уравнение гиперболы 16х2 - 9у 2 =144. Най ти: 1) длины полуосей гиперболы; 2) координаты фокусов; 3) эксцент
риситет; 4) уравнения асимптот.
Решение . Разделим обе части уравнения на 144, тем самым
2 |
2 |
X |
V |
приведя его к каноническому виду (4.84): —— у^- = 1 ■
1) Из последнего уравнения а2 =9, Ъ2 = 16, т. е. а = 3 - действи
тельная полуось, 6 = 4 —мнимая полуось.
2) |
Используя равенство (4.85): с2 = а2 + Ь 2 , получим: с2 = 25, а |
||
с = 5 |
. Значит, (5;0), F2 (- 5;0). |
|
|
|
с |
5 |
|
3) По формуле (4.86) е = —= —. |
|
||
|
а |
3 |
|
|
|
b |
г> |
4) Уравнения асимптот имеют вид; у - ± —х. |
В нашем случае |
||
у = ± ^ х . * 98
П п р и м е р 4.58. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси Оу и расстояние между ними равно 10, а длинадействительной оси равна 8.
Решение . Искомое уравнение имеет вид (4.87): |
у2 |
X2 |
|
||||||||
Ъ |
----- - = 1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
Согласно |
условию 26 = 8,2с = 10. Значит, |
Ь = 4,с = 5. |
Из |
(4.85) |
|||||||
У |
У |
"У |
|
*У |
“У |
|
*У |
'У |
У |
||
с = а |
+ Ь |
. Найдем мнимую полуось а : а |
=с —Ь |
|
=5 |
- 4 |
=9 , |
||||
т. е. а = 3. Искомое уравнение гиперболы: |
у |
2 |
X2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
- — = 1. |
|
|
|
|
||||||
Пп р и м е р 4.59. Дана парабола х2 =4у . Найти: |
1) координаты |
||||||||||
фокуса; 2) уравнение директрисы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение . Парабола задана каноническим уравнением х |
- 2 р у . |
||||||||||
Следовательно, 2р =4, р =2 . Откуда получаем: 1) F |
( |
|
р Л |
|
|
||||||
|
0;— |
=>F(0;l); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
2 ; |
|
|
|
2) у = - — => у =-1 - уравнение директрисы. А
2
Ппр и м е р 4.60. Составить уравнение параболы, если ее вершина совпадаетс началом координат, а фокус находится в точке F(2;0).
Решение . Так как фокус параболы находится всегда на ее оси симметрии, то в нашем случае осью параболы будет ось Ох, причем
у;0 j => F(2;0). Отсюда у = 2, значит, р =4. При этом канониче-
ским уравнением параболы будет у -2рх, т.е. в данном случае
}'2 =8х. Отметим, что уравнение директрисы д:= |
, т. е. х =-2. |
2
4.17. Поверхности второго порядка
Мы будем рассматривать в данном параграфе только прямоуголь ную систему координат Oxyz.
4.17.1. Цилиндры и конусы
Пусть в пространстве заданы некоторая линия L и прямая а, пере секающая L.
99