Математика Яцкевич, Раевская 2012

Нулевой направленный отрезок считается сонаправленным с лю­ бым направленным отрезком; его длина равна нулю.

Два направленных отрезка АВ и CD называются эквивалентны­ ми, если они одинаково направлены и имеют одну и ту же длину. Множество всех направленных отрезков разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу отрезков.

О п р е д е л е н и е . Свободным вектором или просто вектором

называется класс эквивалентных направленных отрезков.

Для задания вектора достаточно указать какой-либо один направ­ ленный отрезок го этого класса. Обозначать векторы будем малыми

латинскими буквами со стрелкой сверху: а,Ъ,... или а = \а в \, указы­ вая при этом один из направленных отрезков, принадлежащих классу

вектора а . Иногда будем писать а =АВ и направленный отрезок АВ называть просто вектором.

О п р е д е л е н и е . Два вектора а и Ъ называются равными,■ если они совпадают как классы эквивалентных направленных отрез­

ков: а = Ь .

Если заданы вектор а и точка А, то существует единственная точ­

ка В, такая, что АВ - а . Операцию построения такой точки В будем называть откладыванием вектора а от точкиА

40

Д Это означает, что вектор а может быть отложен из любой точки пространства.

Длиной или модулем вектора а = |Zsj называется длина любого

его представителя, Обозначается ]о|; |а| = АВ

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным

вектором.

Углом между векторами а и b называется угол ф, не превы­ шающий %(развернутого угла), между представителями этих векторов, отложенными от одной точки (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Оп р е д е л е н и е . Векторы называются коллинеарными, ес­ ли образующие их направленные отрезки параллельны некоторой прямой.

Оп р е д е л е н и е . Векторы называются компланарными, если направленные отрезки, которые их определяют, параллельны некото­ рой плоскости.

Оп р е д е л е н и е . Векторы называются ортогональными, если

угол между ними прямой ( ф = —).

Можно считать, что нулевой вектор О ортогонален любому векто­ ру. Для коллинеарных векторов угол между ними равен нулю, если они сонаправлены, и развернутому, т. е. 180°, если они противополож­ нонаправлены.

Оп р е д е л е н и е . Линейными операциями над векторами на­ зываютсложение, вычитание и умножение вектора на число.

Оп р е д е л е н и е . Пусть заданы два вектора а и b . Возьмем

какую-либо точку О и отложим от нее вектор а = ОА. Далее от точ­

41

Заметим, что в случае а = 0,jaaj - |а| • \а\ - О, т. е. для любого век­

тора а произведение 0-5 = 0 .

Основные свойства линейных операций над векторами

Пусть даны произвольные векторы а, Ъ, с и действительные

числаа, (3.

1)а 4- b = b + а (коммутативный или переместительный закон);

2)а+ {р+с)= [a+ b)+c (сочетательный или ассоциативный закон);

3)а +б= а (закон поглощения нулевого вектора);

4)а +(- а)=б (существование противоположного вектора);

5)а{а + b)= аа + ab (распределительный или дистрибутивный

закон); 6) (а +р)а - аа ■+Ра (распределительный или дистрибутивный

закон);

7)(схр)3 = аф а) (сочетательный или ассоциативный закон);

8)15 = 5.

Теорема 1 (критерий коллинеарности). Для того, чтобы век­

торы а и b были коллинеарными, необходимо и достаточно, что­ бы один из них можно было представить как произведение другого начисло, т.е. чтобы существовало действительное число а такое, что a - a b , или существовало бы число р такое, что b - $ а .

Теорема 2 (критерий компланарности). Для того, чтобы три вектора были компланарными, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации

двух других, причем если векторы а и Ъ неколлинеарные, то вся­ кийтретий компланарный им вектор с может быть единствен­

ным способом представлен в виде с = аа +$Ь .

[ J Приме р 4.14. В треугольнике ABC дано: АВ =а;АС = Ь ; точка М - середина стороны ВС. Выразить вектор AM через век­

торы а и b .

43

Р е ш е н и е , Для векторов АВ = а, ВС и АС —Ъ справедлив)

равенство: АВ -+■ВС —АС (рис. 4.6). Отсюда ВС = АС —АВ. Так кш

Ш = Ж = - ^ ,т о Ш = МС = ]-{аС- Ав)=]-^ -а}.Попучйт

2

AM = A B + m = a + ^ ( b - a ) = a + ^ b - ^ a = ^ a + ^ b = ^ ( a + b).

Ответ: АМ = —iei + b). &

2 ' '

П п р и м е р 4.15. Какому условию должны удовлетворять ненулевые векторы а и Ъ,чтобы имело место соотношение а + Ь а -Ь

Решение. Построим на векторах а и b , отложенных от точки 0, параллелограмм OADB (рис. 4.7). Тогда OD = a +b,ВА = а -Ь . Равен­ ство а + Ь = |а - 6| означает, что длины диагоналей параллелограмм!

равны, т. е. ~АВ =|<Э£^ ■Отсюда следует, что данный параллелограмм есть прямоугольник. Следовательно, векторы а. и b перпендикулярны

A D

Рис. 4.7

Опр и м е р 4.16. Дан треугольник ABC. Найти вектор, опреде­ ляющий направление биссектрисы внутреннего угла при вершине А,

если АВ = а,АС = Ь .

Р е ш е н и е . Найдем единичные векторы еь е2, сонаправлен-

ные с векторами а,Ь :

Тогда вектор е = ех + е2 будет определять направление биссек­ трисы внутреннего угла при вершине А, т. к. диагонали ромба делят

его угол пополам (рис. 4.8), т. е. е = Д- +-Д-.

И \ъ

П п Р им ер 4.17. Векторы а + Ь и а -Ь -коллинеарны. Дока­ зать, что векторы а и Ъ коллинеарны.

Р е ше н и е . Так как векторы а + Ь и а -Ь - коллинеарны, то

согласно критерию коллинеарности вектор а + Ь можно выразить че­ резвектор а - Ъ , т. е. записать в виде а + Ь = а{а -b ). Далее преобра­ зуем это выражение, пользуясь свойствами суммы векторов и произ­ ведения векторов и скаляров: а + Ь = аа-аЬ , (1-а)й = (-1 -а)б .

Если а *1, то вектор а можно выразить через Ь , умножая обе час-

45

а = 1,то b =б и тогда b = б• о . Таким образом, по критерию кол

линеарности векторов векторы а и Ъ коллинеарны. © О п р е д е л е н и е . Базисом на прямой называется любой не­

нулевой вектор на этой прямой, базисом на плоскости - упорядо­ ченная пара (ех,ё2) двух неколлинеарных векторов этой плоскости,

базисом в пространстве - упорядоченная тройка {е1ге2,е3) неком­

планарных векторов.

О п р е д е л е н и е . Базис называется ортонормированным,

если образующие его векторы единичной длины и попарно

ванной точки О пространства и ортонормированного базиса i ,j,к

векторов ( е,,е2,е3 ) называется правой, если поворот по кратчайше­ му пути от первого вектора ех ко второму вектору <?2 из конца век­ тора е3 виден против часовой стрелки. В противном случае эта

тройка называется левой (рис. 4.9). Соответствующие системы ко­ ординат называются правыми или левыми.

В дальнейшем мы будем пользоваться только правыми система­ ми координат.

левая тройка;

Рис. 4.9

Если i,],k - единичные векторы (орты) координатных осей Ох; Оу, Oz соответственно прямоугольной системы координат Oxyz, xoj

46

Имеет место равенство: cos2 a + cos2 р +cos2 у = 1.

Для единичного вектора а0, имеющего направление вектора а, имеем:

И

Рис. 4.11

Пусть даны два вектора a(xl,y1,zl) и b(x2,y2,z2). Тогда:

1) векторы а и Ъ равны тогда и только тогда, когда равны ш соответствующие координаты, т. е.

*1 = *2

а= Уу -Уг ■ zx =z2

48

2) при сложении векторов их одноименные координаты склады­ ваются, при вычитании - вычитаются, при умножении вектора на число - умножаются на это число:

а±Ь = (xj + х2;Ух ± у2;*\ ± 22), аа =(ax,ay,ctz).

3) векторы а и Ъ коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т. е.

х2 Уг 2г

Оп р е д е л е н и е . Вектор г - О М , соединяющий начало ко­ ординат с произвольной точкой пространства, называется радиусвектором точки М.

Оп р е д е л е н и е . Координатами точки М называются ко­

ординатыее радиус-вектора г =(х,у, z) или г = xi +yj + zk .

Если вектор а = АВ задан точками A(xl,yl,zl) и B{x2,y2,z2), то его координаты равны разности соответствующих координат ко­ нечнойи начальной его точек:

При этом

Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны две точки

A{xx,yx,zx) и В{хг,у2,г2), и пусть точка C(x,y,z) такая, что

АС=А,СВ . Тогда координаты точки С находятся по формулам

49