§ 3. Этапы математического моделирования.

Примеры.

Для построения математической модели конкретной задачи рекомендуется выполнить следующую последовательность работ:

1.Изучение условия задачи (предметной области).

2.Определение важнейших факторов (см. §2).

3.Выделение известных и неизвестных параметров.

4.Выявление управляемых и неуправляемых параметров.

5.Дополнение условия задачи недостающими сведениями.

6.Введение системы обозначений.

7.Составление математической модели задачи (математическое выражение важнейших факторов, соотношений и связей между параметрами).

В приведенных ниже примерах составления моделей проследите эти этапы, которые мы выполним без комментариев (см. по этому поводу Пример 1.).

Пример 2.(Размещение заказов). Фирма получила заказ ни несколько тысяч новых изделий, собирающихся из отдельных блоков. Руководство фирмы приняло решение разместить заказы на изготовлениеnблоков и выбралоnфирм-поставщиков. Каждый заказ настолько велик, что фирма-поставщик не может выполнить более одного заказа. Каждому поставщику предложено определить стоимость выполнения заказа, т.е. цену, по которой он готов поставить фирме различные блоки. Фирма должна заключитьnконтрактов на поставку ейnвидов блоков, минимизировав при этом свои общие затраты на приобретение комплектующих узлов со стороны.

Обозначим: i -номер (название) блока,i =1,....n; j -номер (название) фирмы-поставщика, j=1,...,n; с_ij -стоимость выполненияi-roблока j-ойфирмой (заданное число). Кроме того, введем для каждого i иjчисло.

Целевая функция, имеющая смысл общих затрат на покупку комплек­тующих блоков, запишется так

Ограничения задачи (на переменные х_ij) имеют следующий смысл:

1)каждый i-йблок должен быть выполнен (каким-либо поставщиком);

2)каждая фирма-поставщик jдолжна выполнить один (какой-либо) блок .

Математически эти условия запишутся соответственно:

x_i1+x_i2 +…+ x_in = 1,

x_ij+x_2j +…+ x_nj = 1.

Таким образом, приходим к следующей оптимизационной задаче (модели):

при ограничениях

x_ij= 0 или 1 для всехi,j.

Пример 3(Выбор портфеля ценных бумаг). Специалисту по финансовому анализу, работающему в банке (или в страховой компании) требуется определить наилучший набор акций, облигации и других ценных бумаг на выделенную сумму с целью минимизации риска, связанного с приобретением набора ценных бумаг.

Прибыль к концу планового периода на каждый доллар, вложенный в бумагу j-го вида, характеризуется двумя показателями: аj - фактическая прибыль (случайное число), j - ожидаемая прибыль. Требуется, чтобы ожидаемая прибыль на доллар инвестиций была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b.

Для получения модели примем все средства, выделенные на покупку ценных бумаг, равными единице и обозначим через x_j - долю от всех средств, выделяемую для приобретения ценных бумаг вида j.

Риск учитывается при помощи ковариации (см. теорию вероятностей)

_ij =М (а_i, - _i) (а_j - _j)

прибыли для ценных бумаг вида i и вида j.

Математическая модель имеет вид:

при ограничениях

x_j0,j=1,…,n

Здесь n - число разновидностей ценных бумаг. Целевая функция имеет смысл дисперсии фактической прибыли (рассеивание фактической прибыли от ожидаемой), первое ограничение есть условие на ожидаемую прибыль, а последнее - непревышение средств, выделенных на покупку ценных бумаг.

Пример 4(Задача о рекламе). Фирма планирует проведение радиорекламной кампании по сбыту автомобилей в одном из регионов, где расположеноsрадиостанций, в течение двух недель. Фирма оценила предварительно, что если радиостанцииjвыделить у_jдолларов, то чистый доход от увеличения сбыта равенR_j(y_j) (R_j -функция реализации дохода от объема финансирования рекламы). На рекламу выделена общая сумма, равная Nдолларам. Число рекламных объявлений в день не должно превышать M. Если фирма выделилаj-й радиостанции у_jдолларов, то число рекламных объявлений будетK_j(y_j) (K_j- функция, которая каждой выделенной сумме ставит в соответствие количество рекламных объявлений в день, считается известной). Как нужно финансироватьsрадиостанций, чтобы получить суммарную максимальную прибыль от реакции сбыта на рекламу ?

Очевидно, что математическая модель имеет вид:

при ограничениях

y_j0,j= 1,…,s.

Пример 5(Задача управления производством). Фирма должна разработать календарную программу выпуска некоторого вида изделий на плановый период, состоящий из Т отрезков (недель, месяцев, кварталов, лет). Предполагается, что для каждого из этих отрезков имеется точный прогноз спроса на выпускаемую продукцию. Время изготовления партии изделий настолько мало, что им можно пренебречь. Для разных отрезков спрос неодинаков; кроме того, на экономические показатели производства влияют размеры изготовляемых партий. Хранение возникающих при этом запасов (превышение выпуска над спросом на некоторых отрезках) связано с определенными затратами.

Требуется разработать такую программу, при которой общая сумма затрат на производство и содержание запасов минимальна при условии полного удовлетворения спроса на продукцию.

Обозначим:

x_t- выпуск продукции в течение некоторого отрезкаt;

y_t- уровень запасов на конец отрезка t;

D_t -спрос на продукцию для отрезка t;

Затраты на отрезке t(обозначим их С_t) зависят от выпускаx_tи уровня запасовy_t, т.е. являются функцией от этих неизвестных величин:c_t =c_t(x_t,y_t).

Требование удовлетворения спроса в пределах каждого временного отрезка означает, что уровень запасов на конец отрезка t (т.е. yt) должен равняться сумме - уровня запасов и начало отрезка t (т.е. yt-1) и выпуска продукция на отрезке t (т.е. xt) минус спрос на отрезке t (т.е. Dt).

Отсюда получаем следующую модель:

при ограничениях

уt-1 + xt - yt = Dt, t==1,2,…T;

yT = 0, xt, yt 0 для всех t.

Здесь y₀ -заданный уровень запасов на начало планового периода, аy_T -уровень запаса на конец периода. -

Пример 6 (Оптимизация схемы обслуживания). Система обслуживания состоит изnтипов различных приборов (напр. кассы в магазинах, телефонные линии, автозаправочные колонки и пр.). Каждый прибор в любой момент времени обслуживает не более одной заявки (напр. покупателя, телефонного разговора, автомобиля и пр.). Известно количество приборовj-го типа и число заявок i-го типа, прибывших в систему в момент времени t.Известна также эффективностьj-гоприбора при обслуживании заявки i-говида.

Требуется распределить свободные приборы по заявкам так, чтобы суммарная эффективность была наибольшей.

Для составления модели сначала введем обозначения свободных величин:

N_j -количество приборовj-го типа,

d_i^t -число заявок i-го типа в момент времениt.

μ_ij -эффективностьj-го прибора при обслуживании заявкиi-го вида. Обозначим искомую величину:

x_ij -число приборовj-го вида, отведенных для обслуживания заявок i-го типа.

Этих данных достаточно для составления математической модели задачи:

при ограничениях

x_ij -целые неотрицательные числа для всех i,j, здесь mиnзаданные числа видов заявок и приборов.

Пример 7(Выбор оптимального вида посевной культуры). Фермер может посеять одну из трех культур:A₁, А₂или А₃.Урожаи этих культур во многом зависят от погоды. Требуется установить, какую из этих культур сеять, чтобы обеспечить наибольший доход, если известны цена а_iодного центнера культурыA_i,i = 1,2,3,и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (будет ли лето засушливым нормальным или дождливым). Достоверный прогноз погоды отсутствует.

Обозначим через h_ij -урожайность i-йкультуры при погодных условиях j (здесьj=1 - обозначение засушливого лета,j=2 - нормального лета,j=3 – дождливого лета). Числаh_ij, как и числаa_i, заданы (известны). Реально может иметь место только одна из ситуаций (i,j),i=l,2, 3; j=l, 2, 3.Причем (i,j) означает, что посеяна культураA_j, а погода находится в состоянии j.Всего таких ситуаций девять. JIПР (фермер) может выбрать только вид культуры, состояние погоды от него не зависит.

Если фермер засеял культуру A₁, то он может получить (в зависимости от состояния погоды) один из следующих доходов:

a₁h₁₁,a₁h₁₂,a₁h₁₃

соответственно для культуры A₂ :

a₂h₂₁, a₂h₂₂,a₂h₂₃

и для культуры А₃:

a₃h₃₁,a₃h₃₂,a₃h₃₃

Напишем все эти исходы в одну таблицу (матрицу):

Эта матрица и есть математическая модель исходной задачи. В ней действие фермера сводится к выбору одной из строк матрицы (одной из трех стратегий). Его доход зависит от "выбора" природой одного из своих состояний (одного яд трех столбцов матрицы). Например, если фермер посеял культуру A₂, а лето получилось дождливым, то доход фермера равенa₂h₂₃.

Пример 8(Выбор ассортимента товаров). На базе торговой организации имеетсяnтипов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типаjбудет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыльp_j, если же он не будет пользоваться спросом -убытокq_j.

Составить математическую модель этой задачи в условиях неопределенного покупательского спроса.

Руководствуясь формализацией задачи примера 7,обоснуйте, что искомая модель имеет вид:

Объясните задачу магазина на этой модели.

Пример 9. (Планирование оптимального срока окончания проекта). Компания должна реализовать проект строительства объекта, состоящий из n операций (работ). Руководители комплекса оценили продолжительность выполнения каждой операции и установили последовательность операций, т.е. точно определили, какие операции обязательно должны быть закончены, чтобы могла начаться любая из операций, входящих в комплекс.

Руководству компании нужно выяснить, какова наименьшая возможная продолжительность реализации всего проекта, т.е. наиболее ранний из всех возможных сроков его завершения.

При составлении математической модели предположим (для простоты), что проект состоит из пяти операция А,В,С,Д,Е. По условию задачи известны последовательность операций и их продолжительность. Пусть эти данные для наших пяти операций таковы:

операции	непосредственно предшествующие операции	продолжительности операций
А	-	tA
В	-	tB
С	А	tC
D	А	tD
Е	B,D	tE
F	С,Е	-

Фиктивная операция F,начинающаяся в момент завершения проекта, вводится для удобства (см. ниже). Второй столбик таблицы означает, что операциюС нельзя начать, прежде чем незакончена операция А и т.д.

Примем, что переменными являются сроки начала операции (введем лишь те из них, которые нужны для решения задачи):

y_CD -момент начала операций С и Д;

y_E -момент начала операции Е;

y_F -момент начала операции F.

Здесь, y_Fна самом деле есть момент завершения всего комплекса. Моментыy_A иy_B -это моменты 0начала операций, т.к. операции А и В не имеют предшествующих. Модель имеет вид:

min y_F

при ограничениях

y_CD≥ t_A

y_E≥ t_B

y_E≥ t_D+ y_CD

y_F≥ t_C+ y_CD

y_F≥ t_E+ y_E