Раздел IV. Задачи для самостоятельной работы
§1. Упражнения на составление математических моделей
1.1.Требуется наилучшим образом вложитьbдолларов в акции трех акционерных предприятий (АП), не более чем поbiдолл. в каждое. Цены акций известны:c1,c2,c3;дивиденды составляют:a1>0,a2>0,a3=0.Известно также, что с вероятностьюpцена акции третьего АП может вырасти к концу расчетного периода до величиныc3*>c3.
Какой капитал следует вложить в каждое АП, чтобы получить максимальный суммарный доход?
1.2.В морском порту имеются предметы (грузы)nвидов. Предметj-го вида имеет массуajи ценностьcj.
Требуется загрузить корабль грузоподъемностью bтак, чтобы ценность груза была наибольшей.
1.3.Под посевnкультур отведеноmземельных участков площадьюa1,...,anга. Средняя урожайность j-йкультуры наi-участке составляет аijцентнеров с га. Выручка за один центнер j-йкультурыpj руб.
Какую площадьна каждом участке следует отнести под каждую из культур, чтобы получить максимальную выручку, если по плану должно быть собрано не менееbjцентнеров j-йкультуры?
1.4.Нефтеперерабатывающийзавод располагает двумя сортами нефти: А - 10ед., В - 15ед. При переработке из нефти получается бензин (Б) и мазут (М). Имеется три варианта технологического процесса переработки:
I: 1 ед.А + 2 ед.В дает З ед.Б + 2 ед.М;
II: 2 ед.А + 1 ед.В дает 1 ед.Б + 5 ед.М;
III: 2 ед.А + 2 ед.В дает 1 ед.Б + 2 ед.М;
Цена мазута - 1долл. заединицу, цена бензина-10долл. за единицу.
Найти наиболее выгодный технологический процесс переработки имеющегося количества нефти.
1.5. Для отопления дома в зимнее время летом производится закупка угля. В случае нормальной зимы для отопления дома требуется 15тонн угля, но в годы мягкой зимы достаточно 10 тонн, а в случае суровой зимы необходимо 20тонн. Цены на уголь зимой в случае мягкой, нормальной и суровой зимы разные - соответственно 10,15,20ед. стоимости за тонну. Летом уголь можно купить по 10 ед. стоимости за тонну.
Следует ли покупать летом весь уголь на зиму или только его часть, докупив зимой недостающую часть, учитывая при этом, что излишек угля после зимы до следующего сезона сохраниться не может?
§2. Упражнения на решение задач линейного программирования
2.1. Изобразить на плоскости многогранники. задаваемые следующими системами неравенств и найти все их вершины:
а) 2x1 + x2 ≤ 8, б)x1 +x2 ≤ 6,
2x1 - 5x2 ≤ 20, -3x1 + x2 ≤ 9,
-x1 +x2 ≤ 2,x1 + 2x2 = 4;
x1 ≥ 5;
в)-3x1+ 6x2≤ 13, г)-3x1+ 2x2≤ 0,
3x1+x2≤ 9,x1-x2≤ -1,
-x1+ 2x2= 4; -x1+ 2x2≤ 4;
2.2.Используя графический метод, найти решения следующих задач:
а) x1+x2→maxб) 2x1 + x2 → max
при ограничениях при ограничениях
3x1– 2x2≤ 6, -x1+x2≤ 2,
-x1+ 2x2≤ 4,x1+ 2x2≤ 7,
3x1+ 2x2≤ 12; 4x1– 3x2≤ 6;
x1≥ 0;x1,x2≥ 0;
2.3.Ограничения следующих задач привести к диагональной форме и исключить базисные переменные из целевой функции:
а) 8x1– 2x2–x3→max, б)x1+x3– 7x4+x5→max
при ограничениях при ограничениях
x1+ 3x2+x3≤ 4,x1–x2+ 6x4– 2x5= -7,
7x1-x3≤ 16,x2–x3– 4x4+ 6x5= 24,
2x1–x2–x3= 2,x1+x2–x3– 4x4+ 7x5=32,
xj≥ 0,j= 1,2,3xj≥ 0,j= 1,…,5
2.4.Следующие задачи решить симплекс-методом:
а) –x1 + x2 + 2x3 + 3x4 + x5 →max,
при ограничениях
x1 + 2x2 -x3 - 2x4 +x5≤3,
x1 +x2 -x3 - 2x4 -x5≥-1,
2x1 +x2 +x3 -x4 ≤1,
xj≥0,j=1,…,5.
б) x1+x2+x3– 2x4→min,
при ограничениях
2x1 -x2 +x4 ≤ 3,
x1 +x2 +x3 -x4 ≤ 1,
x1 + 2x2 -x3 ≤ 1,
x1 + 3x2 - 2x3 +x4 ≤ 1,
xj ≥ 0,j= 1,…,4.
2.5.Следующие задачи решить двойственным симплекс-методом:
а) –2x1+ 2x2+x3+ 2x4– 3x5→max,
при ограничениях
2x1 +x2 -x3 -x4 = 1,
x1 -x2 + 2x3 +x4 +x5= 4,
-x1 +x2 -x5 = 4,
xj≥ 0,j= 1,…,5.
б) 2x1+x2–x3+ 3x4– 2x5→min,
при ограничениях
8x1 + 2x2 + 3x3 + 9x4 + 9x5 = 30,
5x1 +x2 + 2x3 + 5x4 + 6x5 = 19,
x1+x2 + 3x4 = 3,
xj≥ 0,j= 1,…,5.
2.6.Следующие транспортные задачи решить методом потенциалов:
|
a) a1= 300, b1 = 100, a2 = 200, b2 = 180, a3 = 200, b3 = 120, b4 = 140, b5 = 160,
б) a1 = 300, b1 = 170, a2 = 150, b2 = 110, a3 = 250, b3 = 100, b4 = 120, b5 = 200, |
|
