X10,x20.

Условия неотрицательности переменных следует из смысла величин x₁и x₂ - это дополнение модели недостающими сведениями. Полученную задачу запишем более компактно:

max c₁ x₁ + c₂ x₂,

при ограничениях

a₁₁x₁ +a₂₁x₂b₁,

a₁₂ x₁ + a₂₂ x₂ b₁,

a₁₃ x₁ + a₂₃ x₂ b₁,

X10,x20.

Это есть задача математического программирования (см. определение во введении) с целевой функцией c₁x₁ +c₂x₂и множеством допустимых решений X, которое описывается пятью неравенствами (на плоскости это есть многогранник, образованный пересечением пяти полуплоскостей).

Мы рассмотрели модель одной частной задачи принятия решения. Для выяснения общей структуры таких задач введем общие обозначения.

Обозначим через Nмножество сторон, принимающих участие в данной конкретной задаче принятия решения:

N={1,2,...,n},

где каждый элемент iмножества Nназывается лицом, принимающим решение (ЛПР), например, отдельная личность, фирма, плановый орган большого концерна, правительства и др. Каждый элементiNхарактеризуется своими возможностями. Обозначим через Х_iмножество всех его допустимых решений (стратегий, альтернатив). Предположим, что такие множества математически описаны для всех участников:

X₁,X₂,...,X_n.

После этого процесс принятия решения всеми ЛПР сводится к следующему формальному акту: каждое ЛПР выбирает конкретный элемент x₁X₁,x₂X₂,…,x_nX_nиз своего допустимого множества решений. В результате получается набор х =(x₁,...,x_n) выбранных решений, который мы называем ситуацией.

Формализация целей принятия решения осуществляется по следующей схеме. Тем или иным способом строятся аналитические законы (функции) f₁,....,f_n, ставящие в соответствие каждой ситуацииxнабор изnчисел

f₁(x),f₂(x),...,f_n(x).

Функция f_i(x) ==f_i(x₁,...,x_n) называется критерием качества i-гоЛПР. Числоf_i(x) является количественной оценкой ситуацииxдляi-гoЛПР с точки зрения преследуемой им цели. Поэтому в модели цель i-roучастника формализуется так: выбрать такое свое решениеx_iX_i, чтобы добиться возможно большего значения функцииf_i.Однако достижение этой цели полностью от него не зависит в виду наличия других сторон, влияющих на общую ситуациюxс целью достижения своих собственных целей. Этот факт пересечения интересов (конфликтность) отражается в том, что функцияf_iпомимоx_i зависит и от остальных переменныхx_j(ij). Поэтому в моделях принятия решения со многими участниками применяются более сложные принципы оптимального поведения, чем прямая максимизация или минимизация критерия качества.

Наконец, пусть каким-то образом (математически) описаны все те условия, при которых происходит принятие решения. Совокупность всех этих условий, выступающих в модели в виде некоторых уравнений связи, обозначим одним символом Σ Математически система Σ содержит описание связей между управляемыми и неуправляемыми переменными, описание влияния случайных факторов, учет динамических характеристик и др.

Таким образом, общая структура задачи принятия решения со многими участниками выглядит так:

<N;X₁....,Xn;f₁....fn; Σ > (1)

Цель математического моделирования -для поставленной специалистами конкретной задачи получить конкретное описание элементов структуры(1).Надо заметить, что математическое моделирование -эта весьма сложная задача, требует от разработчиков больших трудозатрат, навыков, знаний и может быть выполнена лишь при наличии необходимого объема предварительной содержательной информации.

Резюмируя, можем сказать, что основными элементами математической модели любой задачи принятия решения являются:

1.Множество ЛПР (N).

2.Критерии качества (f₁,...,fn).

3.Множества допустимых решений (X₁,...,Xn).

4.Ограничения на параметры задачи, предпосылки, уравнения связи (Σ).

Конкретизируя эти элементы, их характеристики и свойства, мы получаем тот или иной конкретный класс задач (класс моделей) принятия решения. Так, если Nсостоит только из одного элемента (n=1), а все условия и предпосылки исходной реальной задачи можно описать в виде множества допустимых решений этого единственного ЛПР, то из (1)получаем структуру задач оптимизации (экстремальных задач):

<Х,f> (2)

В схеме (2)ЛПР может рассматриваться как планирующий орган, множество допустимых решении Х задается при помощи ограничений на возможности ЛПР, а критерий качестваfназывается целевой функцией. Задача оптимизации ставится так:

maxf(x) (f(x)→max) (3)

^{xX xX}

min f(x) (f(x)→min) (4)

^{xX xX}

Это различная форма записи одной и той же задачи: (3) -задача на максимум, в которой требуется найти точку максимума x*функцииfна множестве X; (4) -задача на минимум, в которой требуется найти точку минимума x**функцииfна множестве X.Решениями (оптимальными) этих задач называются пары x*,f(x*) иx** ,f(x**) соответственно.