Свойства векторного произведения Геометрические свойства

1. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны:

||.

Доказательство. Пусть угол между векторами иравен.

a) Докажем, что .

или 180⁰ .

б) Докажем, что .

если .

Если , или.

2. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство. Из курса геометрии

Из свойства 2 следует, что , где– единичный вектор, перпендикулярный векторамии образующий с ними правую тройку:

а) =1,

б) ,,

в) ,,– правая тройка.

Алгебраические свойства

3. Антикоммутативность: =

Доказательство. Модули векторов иравны по определению векторного произведения. Проверим их направление:

а) ||равенство выполняется;

б) ине параллельны. Но||по определению векторного произведения, тогда либо, либо. Пусть, а. Тройка векторовправая, а тройка– левая. Следовательно,и = .

4. Ассоциативность относительно умножения на число.

проверяем модуль:

а),,

где – угол между векторамии, а– угол между векторамии.

=>

поверяем направление:

б) если

если и .

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Теорема 1. Пусть векторы иимеют координаты

.

Векторное произведение этих векторов имеет координаты

. (16)

Можно расписать определители:

(16’)

или представить в виде

. (16’’)

Доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных векторов:

(17)

.

Разложим векторы ипо базису:

.

На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно:

с учетом формул (17).

Пример 1. Найти координаты векторного произведения векторов

.

Решение. Пусть .

.

Пример 2: Даны три точки: .

Найти площадь треугольника АВС ().

Решение.

.

Найдем координаты векторов .

.

.

Смешанное произведение трёх векторов

Даны при произвольных вектора .

Определение. Если результат векторного произведения скалярно умножить на вектор , то – это смешанное произведение векторов .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 2. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенному на приведённых к общему началу векторах, взятому со знаком <+>, если – правая тройка векторов, и со знаком <->, если тройка– левая.

Если векторы – компланарны, то объем равен нулю, и .

Доказательство. Пусть S – площадь параллелограмма, построенного на векторах , – единичный вектор, перпендикулярный к векторам и образующий с ними правую тройку. (Вектор– орт векторного произведения .)

Из геометрического свойства 2 векторного произведения

(18)

–высота параллелепипеда, построенного на векторах , с основанием S.

, а , если правая тройка, то есть той же ориентации, что и .

, а , если тройка левая.

Если векторы – компланарны, то .

Следствие 1. .

Доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно, следовательно

.

По теореме 2: , .

Далее будем обозначать смешанное произведение , так как .

Следствие 2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема 3. Пусть векторы имеют в ортонормированном базисе координаты . Тогда смешанное произведение этих векторов можно представить в виде

.

Доказательство. .

По теореме о векторном произведении:

.

Умножим векторное произведение скалярно на вектор :

.

По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:

компланарны.

Пример 3. Даны четыре точки: . Найти объем тетраэдраАВСD.

Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с теми же основанием и высотой:

.

Координаты векторов .

По теореме 3

.