Уравнение пучка прямых

Определение. Совокупность всех прямых, проходящих через некоторую точку S (х₀, у₀), называется пучком прямых с центром S.

Теорема. Пусть и– уравнения двух прямых, пересекающихся в точкеS ,

α и β – числа не равные нулю одновременно. Тогда

α(А₁х + В₁у + С₁) + β(А₂х + В₂у + С₂) = 0 (*)

– это уравнение прямой, проходящей через точку S.

Доказательство.

Докажем, что соотношение (*) является уравнением 1-ой степени.

Запишем его в виде

и покажем, что ине обращаются в ноль одновременно.

Докажем от противного: пусть . Тогда

и .

Следовательно, . Но этого не может быть, т. к. по условию прямые пересекаются. Наше предположение оказалось неверно,ине равны нулю одновременно, т. е. равенство (*) – уравнение с двумя переменными (х,у). Это уравнение 1-ой степени, которое определяет прямую.

Остается доказать, что эта прямая проходит через точку S. Пусть х₀, у₀ – координаты точки S. Они удовлетворяют каждому из двух уравнений прямых, следовательно, для любых значений ивыполняется равенство

α(А₁х₀ + В₁у₀ + С₁) + β(А₂х₀ + В₂у₀ + С₂) = 0. (**)

Значит, все прямые, определяемые уравнением (*) при различных значениях и, проходят через точкуS. Теорема доказана.

Пусть требуется найти прямую пучка (*), проходящую через заданную точку М*(х*, у*). Должно выполняться равенство

α (А₁х*+В₁у*+С₁) + β (А₂х*+В₂у*+С₂) = 0.

Для любого значения можно принять. Тогда из уравнения

А₁х*+В₁у*+С₁+ λ (А₂х*+В₂у*+С₂) = 0 можно найти , а уравнение

А₁х+В₁у+С₁ + λ (А₂х+В₂у+С₂) = 0 определяет искомую прямую.

Примеры задач на тему «прямая на плоскости»

Задача 1. Расстояние от точки до прямой.

Пусть прямая L задана уравнением . Точка М*(4, 3) – произвольная точка плоскости. Найти отклонение и расстояние точки М* от прямой L.

Решение. Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель:

.

Умножив уравнение прямой на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение прямой:

.

Подставив в нормальное уравнение прямой координаты точки М*, получим отклонение точки от прямой:

. Расстояние .

Задача 2. Проекция точки на прямую.

Найти проекцию точки Р(4, 9) на прямую, проходящую через точки А(3, 1) и В(5, 2).

Решение.

1). Построим прямую L₁ , проходящую через две заданные точки:

.

2). Через точку Р(4, 9) проведем прямую L₂ , перпендикулярную прямой L₁ .

Используем уравнение . Угловой коэффициентk найдем из условия перпендикулярности прямых:

.

Уравнение прямой L₂: .

3). Найдем точку пересечения прямых L₁ и L₂ . Для этого решим систему уравнений, задающих эти прямые.

=> .

Проекцией точки Р на прямую L₁ является точка P₁ (7, 3).

Задача 3. Дана прямая . Составить уравнение прямойL «в отрезках».

Решение. Уравнение прямой преобразуем к виду

и разделим на (-15):

.

Точки пересечения данной прямой с координатными осями (-5, 0) и (0, 3).

Векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.

Определение. Векторным произведением вектора на векторназывается вектортакой, что:

1) ,

2) и, (14)

3) образуют правую тройку векторов.

Понятие векторного произведения также пришло из механики: если – это сила, приложенная в точке М, вектор=, то векторное произведение– это момент силыотносительно точки О.

(15)

M

O