Угол между прямыми

Пусть существуют две прямые, неперпендикулярные оси Ох; k₁ и k₂ – угловые коэффициенты этих прямых. Пусть φ – угол между заданными прямыми.

α₁ – угол наклона первой прямой к оси Ох;

α₂ – угол наклона второй прямой к оси Ох.

.

tg φ = tg =,

т. к. и =>

(6)

При =(прямая перпендикулярна оси Ох) формула (6) теряет смысл.

1. Условие параллельности двух прямых. Обозначим две прямые и.| |.

2. Условие перпендикулярности двух прямых:

.

Общее уравнение прямой

Теорема. В декартовой системе координат каждая прямая определяется уравнением первой степени и обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Доказательство. Пусть существует прямая . Еслине перпендикулярна оси Ох, то она определяется уравнением первой степениy = kx + b. Если прямая перпендикулярна оси Ох, то для всех точек, принадлежащих прямой, выполняется равенствоx = a, что также является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано уравнение

Ax + By + C = 0. (7)

а). Если B≠0, то можно записать или.

Обозначим и. Тогда– уравнение прямой.

б). Если В = 0, то А ≠ 0. =>x = .

Пусть ≡a => х = а – уравнение прямой, параллельной оси Oу.

Уравнение Ах + Ву + С = 0 называется общим уравнением прямой, поскольку определяет все виды прямых без исключения.

Неполное уравнение первой степени

Рассмотрим три случая, когда уравнение является неполным.

1. С = 0 => Ах + Ву = 0 – прямая проходит через начало координат.

2. В = 0 (А ≠ 0) => Ах+ С = 0 – прямая параллельна оси Оу.

3. А = 0 (В ≠ 0) => Ву + С = 0 – прямая параллельна оси Ох.

Уравнение прямой “в отрезках”

Пусть дано уравнение Ах + Ву + С= 0, гдеА≠ 0, В≠ 0,С≠ 0.

Преобразуем его к виду Ах + Ву = -Си разделим на (-С):

или.

Обозначим а ≡ ,b ≡ .

–уравнение прямой в отрезках. (8)

Числа a и b в уравнении (8) имеют геометрический смысл. Это величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях.

Убедимся в этом. Найдем координаты точки пересечения прямой с осью Ох:

у=0 х = а, у = 0.

Аналогично находится длина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Совместное исследование уравнений двух прямых

Каждое уравнение определяет прямую на плоскости. Совместное решение этих уравнений определяет общую точку этих прямых.

1). Пусть . Определитель системы, система имеет единственное решение.

Это значит, что прямые пересекаются в одной точке. Координаты точки пересечения находятся по формулам Крамера.

2). Пусть . Тогда возможны два случая:

а) => общих точек нет, прямые параллельны;

б) => уравнения равносильны, т.е. определяют одну и ту же прямую.

Два уравнения определяют одну прямую, если их коэффициенты пропорциональны.

Нормаль к прямой

Пусть прямая L задана общим уравнением:

Ах + Ву + С = 0. (9)

Пусть т. М₀ (х₀, у₀) L . =>

Ах₀ + Bу₀ + C = 0. (10)

Вычтем (10) из (9):

А(х - х₀) + В(у - у₀) = 0 (11)

Выражение (11) можно рассматривать как скалярное произведение двух векторов: и. Так как, то, и векторявляется нормалью к прямойL.

Угол между двумя прямыми

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями:

А₁х + В₁у + С₁ = 0 и А₂х + В₂у + С₂ = 0.

Нормали к прямым: и.

Угол между прямыми можно определить как угол между нормалями к этим прямым:

Тогда условие параллельности прямых – это условие коллинеарности нормалей:

.

Условие перпендикулярности прямых – это перпендикулярность нормалей:

=> А₁А₂ + В₁В₂ = 0.