- •Глава I. Метод координат на плоскости.
- •Глава II. Прямая на плоскости.
- •Глава III. Векторное и смешанное произведения.
- •Глава IV. Плоскость в пространстве.
- •Глава V. Прямая в пространстве.
- •Глава VI. Метрические задачи на сочетание
- •Глава VII. Кривые второго порядка на плоскости.
- •Системы координат
- •§ 2. Полярная система координат на плоскости
- •§3. Декартова система координат в пространстве
- •§4. Цилиндрическая система координат в пространстве
- •§5. Сферическая система координат в пространстве
- •Аналитическая геометрия Линии на плоскости
- •Линии первого порядка. Прямые на плоскости.
- •Угол между прямыми
- •Общее уравнение прямой
- •Неполное уравнение первой степени
- •Уравнение прямой “в отрезках”
- •Совместное исследование уравнений двух прямых
- •Нормаль к прямой
- •Угол между двумя прямыми
- •Каноническое уравнение прямой
- •Параметрические уравнения прямой
- •Нормальное (нормированное) уравнение прямой
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение пучка прямых
- •Примеры задач на тему «прямая на плоскости»
- •Векторное произведение векторов
- •Свойства векторного произведения Геометрические свойства
- •Алгебраические свойства
- •Выражение векторного произведения через координаты сомножителей
- •Смешанное произведение трёх векторов
- •Геометрический смысл смешанного произведения
- •Выражение смешанного произведения через координаты векторов
- •Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра».
- •Поверхности в пространстве
- •Плоскость
- •Неполные уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости в «отрезках»
- •Угол между плоскостями
- •Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой
- •Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду
- •Примеры задач на тему «Плоскость».
- •Линии в пространстве. Прямая в пространстве
- •Канонические уравнения прямой в пространстве
- •Параметрические уравнения прямой
- •Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки
- •Угол между двумя прямыми в пространстве
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Условие принадлежности двух прямых одной плоскости
- •Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей
- •Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия»
- •Кривые второго порядка
- •Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
- •Вывод уравнения эллипса
- •Гипербола
- •Парабола
- •Примеры решения задач на тему «Кривые второго порядка».
Кривые второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка в декартовой системе координат имеет вид
,
A, B, C– одновременно не равны нулю.
Важнейшие случаи общего уравнения кривой II порядка.
Эллипс: , (). При- окружность.;
Гипербола: , () с полуосямии;
Парабола: , ();
Пара пересекающихся прямых: , ()
, ;
Пара параллельных или совпадающих прямых: , ()
;
Точка: .
Могут быть случаи, когда нет точек, удовлетворяющих уравнению:
- мнимая кривая IIпорядка (эллипс мнимый);
- пара мнимых параллельных прямых.
Пример приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду
(*)
В большинстве формул теории линий второго порядка коэффициенты входят деленными на 2, т. е. буквыобозначают половину коэффициента. Первые три члена уравнения называются старшими членами.
Можно записать уравнение (*) следующим образом:
Пусть дано общее уравнение IIпорядка (*). Требуется упростить это уравнение путём перехода к другой системе координат (с более выгодным расположением осей):
добиться, чтобы число членов первой степени стало наименьшим;
в группе старших членов избавиться от слагаемого с произведением координат;
избавиться от свободного члена.
Для этого воспользуемся параллельным переносом и поворотом координатных осей.
Выведем формулы преобразования координат при параллельном переносе и повороте осей. Пусть точка имеет координатыв «старой системе координат» и– в новой системе координат, полученной путем параллельного переноса и последующего поворота осей.
Параллельный перенос координатных осей
(1)
Поворот координатных осей
Пусть ,
.
,
.
(2)
Формулы (1) и (2) задают старые координаты точки через ее координаты в новой системе.
Рассмотрим приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду на примере.
Пусть дано общее уравнение второго порядка:
. (3)
Произведем параллельный перенос координатных осей в точку по формулам (1):.
(3’)
Чтобы избавиться от членов первого порядка, приравняем коэффициенты при них к нулю:
Решив систему, найдем координаты точки S, нового начала координат:S. Подставим эти координаты в уравнение (3’). В новых координатах уравнение примет вид:
(4)
Геометрический смысл преобразования – перенести начало координат в центр кривой.
Осталось повернуть оси, чтобы они совпали с осями симметрии кривой. Воспользуемся формулами поворота координатных осей (2).
(5)
Подбираем угол так, чтобы коэффициент при произведениистал равен нулю, т. е. решаем уравнение
.
,
.
Определяем и подставляем в (5):
.
Приводим уравнение к каноническому виду, разделив все коэффициенты на 20:
. (6)
Уравнение (6) – это каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 (по оси О) и 1(по оси О).
Эллипс
Определение.Эллипс– это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскостииесть постоянная величина. Точкииназываются фокусами.
и - фокальные радиусы точки.
, ,
следовательно ,
.
Вывод уравнения эллипса
Дано: эллипс с фокусами и,– большая полуось,– половина расстояния между фокусами.
Возьмем за ось абсцисс прямую , а точкупоместим на середине отрезка. Пусть– произвольная точка плоскости. Пусть,.
По определению эллипса точка принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда
. (7)
Координаты фокусов равны соответственно ,, следовательно
, .
Подставим ив (7):
+=. (8)
(8) – уравнение эллипса в заданной системе координат. Преобразуем его к виду =и возведем в квадрат обе части уравнения:
.
;
;
; возведем в квадрат еще раз:
;
;
.
Обозначим , получим.
После приведения к каноническому виду уравнение эллипса запишется так:
. (9)
Эллипс, определяемый уравнением , симметричен относительнои.- центр эллипса,и- большая и малая полуоси эллипса.
При получаем- уравнение окружности.
Определение.Эксцентриситетэллипса – отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси:. (10)
Так как , следовательно< 1.
, следовательно, .
Определение.Две прямые, перпендикулярные к большей оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянииот него, называетсядиректрисамиэллипса.
Их уравнения: и. Так как, следовательно,.