Принципы организации порядковых систем счисления

Системой счисления называется совокупность цифровых знаков и правил их записи, применяемая для однозначного представления чисел.

Позиционные и непозиционные

Системы счисления подразделяются: позиционные и непозиционные.

Непозиционными называются такие системы, в которых неограниченное количество цифр, причем значение каждой цифры не зависит от её позиции в числе. Примером непозиционной является римская система счисления.

Пример: В римской системе используются латинские буквы

I V X LC D M

1 5 10 50 100 500 1000

Запись идет слева направо в порядке убывания. В таком случае из значения складываются, но если, же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то из значения вычитаются.

Пример: CCXXXXII=232

Непозиционные системы используются довольно редко, а в вычислительной техники практически совсем не используются, т.к. не удобны.

Позиционные называются такие системы, в которых применяется ограниченный набор цифр, причем значение каждой цифры находится в строгой зависимости от её позиции в числе.

Число 222 цифра 2 встречается трижды, но самая правая означает две единицы, вторая справа – два десятка (двадцать) и третья – две сотни (двести).

Так одна и также цифра получает различные числовые значения в зависимости от её места в записи числа. Первая, вторая, третья и т.д. цифры числа, если считать справа налево, называются единицами первого, второго, третьего и т.д. разрядов. Цифрой 0 - нуль обозначают отсутствие единиц соответствующего разряда. Десять единиц какого-нибудь разряда составляют единицу высшего разряда. Поэтому считается, что мы пользуется десятичной системой счисления.

Любое натуральное число можно представить в виде

N = , где- цифры от 0 до 9, причем≠0.

Каждая система счисления использует конкретный алфавит, с помощью которого она представляет числа в виде определенной совокупности символов, а именно цифр: 0.1,2,3.4,5,6.7.8,9 и букв латинского алфавита A,B,C,D,…,Z.

Самой распространенной системой счисления является двоичная (0,1), шестнадцатеричная (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F),восьмеричная (0,1,2,3,4,5,6,7), десятичная (0,1,2,3,4,5,6,7.8,9).

Двоичная система используется для внутреннего представления чисел в ЭВМ. Шестнадцатеричная используется программистами, т.к. из нее очень легко переводить числа в двоичную систему (компактная запись двоичных чисел).

Количество используемых различных цифр применяемых в данной системе называется ее основанием.

Для записи чисел в позиционной системе счислении с произвольным основанием р нужно иметь алфавит из произвольных цифр. Если р<10 используют р первых арабских цифр, при р> 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы(английский алфавит).

Примеры алфавитов нескольких систем

Р=2 двоичная 0 1

Р=3 троичная 0 1 2

Р=8 восьмеричная 0 1 2 3 4 5 6 7

Р= 16 шестнадцатеричная 0 12 3 4 5 6 7 8 9 ABCDEF

Основание системы записывается как нижний индекс.

Правила перехода из системы в систему Алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием р в систему с основаниемq:

• Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

• Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

• Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

• Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Пример. Перевести десятичное число 152₁₀в восьмеричную систему счисления:

152	8
0	19	8
	3	2

Ответ: 152₁₀=230₈.

Пример. Перевести десятичное число 173₁₀в шестнадцатеричную систему счисления:

173	16
13	10
(D)	(А)

Ответ: 173₁₀=AD₁₆.