- •2007 Г.
- •Оглавление
- •Состав теоретического материала и ссылки на литературу
- •Справочный материал к выполнению контрольной работы
- •Функции нескольких переменных и ее частные производные
- •1.1. Определение функции нескольких переменных.
- •1.2. Частные производные фнп.
- •1.3. Полное приращение и полный дифференциал фнп.
- •1.4. Производные фнп высших порядков.
- •2. Частные производные фнп, заданной неявно
- •3. Производная сложной фнп. Полная производная
- •4. Экстремумы фнп
- •4.1. Локальные максимумы и минимумы фнп.
- •4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений фнп в замкнутой области
- •5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
- •7. Функции комплексной переменной
- •7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной.
- •7.2. Дифференцирование фкп. Аналитические фкп.
- •Решение примерного варианта контрольной работы
- •Рекомендуемая литература
6. Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению
Говорят, что в области задано скалярное поле, если в каждой точке M(x, y) D задана скалярная функция координат точки:
U(M) = U(x, y).
Пример:скалярное поле температурT(x, y)в областиD.
Линии уровня скалярного поля– это такие линии, на каждой из которых функцияU(x,y)сохраняет постоянное значение.
Уравнения линий уровня скалярного поля:U(x, y) = const.
Геометрически линии уровня получаются, если поверхность z= U(x, y) пересекать горизонтальными плоскостями z=С и проектировать линии пересечения на плоскость XOY.
Градиентом скалярного поля U(x, y) в фиксированной точке называется вектор, проекции которого на оси координат совпадают с частными производными функции, вычисленными в точке М0:
, (7)
где векторы – это орты координатных осей.
Вектор градиента направлен перпендикулярно касательной к линии уровня, проходящей через точкуМ0. Направление градиента указывает направление наибольшего роста функции U(x, y) в точке М0 .
Отложим от фиксированной точки M0(x0, y0) некоторый вектор .
Скорость изменения скалярного поля U(x, y) в точке М0 в направлении вектора характеризует величина, называемаяпроизводной по направлению.
Если в прямоугольной системе координат XОY вектор имеет направляющие косинусы cos и cos, то производная по направлению вектора в точкеМ0 – число – можно найти по формуле:
, (8)
Напомним формулы для вычисления направляющих косинусов вектора :, где модуль вектора:.
Аналогично определяют скалярное поле U(M) в трехмерной области V:
U(M) = U(x, y, z) . Поверхности уровня скалярного поля– это такие поверхности, на каждой из которых функцияU(x, y, z)сохраняет постоянное значение.Уравнения поверхностей уровня скалярного поля:U(x, y, z) = const.
Градиент скалярного поля U(x, y, z) в произвольной точке M(x, y, z):
, (9)
где векторы – это орты координатных осей.
Вектор направлен параллельно нормали к поверхности уровняU(x, y, z) = const в точке М.
7. Функции комплексной переменной
7.1. Определение и свойства функции комплексной переменной.
Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой – множество D комплексных чисел , гдеi – мнимая единица (), на второй – множествоG комплексных чисел .
Если каждому числу по некоторому правилуf поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что на множествеD задана однозначная функция комплексной переменной (ФКП), отображающая множество D в множество G. Обозначается: .
Множество D называется областью определения ФКП.
Функцию можно представить в виде
,
где u(x, y) – действительная часть ФКП, v(x, y) – мнимая часть ФКП, обе они – действительные функции от x, y.
Пример 1. . Здесь– число, сопряженное числу.
Выделим действительную и мнимую части ФКП:
Вычислим значение функции w в точке z1 = 2 – 3i:
.
Тот же результат получаем непосредственной подстановкой:
.
Говорят, что ФКП имеет предел в точке z0, равный числу A = a + ib, если . Обозначается:.
Существование предела ФКП прив означает существование двух пределов:.
ФКП называетсянепрерывной в точке z0, если выполняется условие: .
Непрерывность ФКП в точкеz0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x, y) и v(x, y) в точке (x0,y0).