1.3. Полное приращение и полный дифференциал фнп.

Полным приращением функции двух переменныхв точке (х,у), вызванным приращениями аргументови, называется выражение .

Функция называетсянепрерывной в точке(х,у), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если обозначить– расстояние между близкими точкамии (х, у), то– этоопределение непрерывности ФНП на языке приращений.

Если функциянепрерывна в любой точке (х, у)D, то она называетсянепрерывной ФНП в области D.

Функция, полное приращениеzкоторой в данной точке(x, y)может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительнои, и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно, называетсядифференцируемой функцией в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называетсяполным дифференциалом ФНП.

Если , где–бесконечно малые при, то полный дифференциал функциивыражается формулой: , или:

(1)

(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: х=dx,y=dy).

Из определения полного дифференциала следует его связь с полным приращением: при малыхи с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно.

Полный дифференциал функции зависит как от точкиM(x₀,y₀), в которой он вычисляется, так и от приращенийи.

1.4. Производные фнп высших порядков.

Пусть функция z = f (x, y) имеет в точке (x, y) и её окрестности имеет непрерывные частные производные первого порядкаи. Так какиявляются функциями тех же аргументовx и y, то их можно дифференцировать поxи поy. При этом возможны следующие 4 варианта:

– эти частные производные называютсячастными производными второго порядкаот функции.

Частные производные иназываютсясмешанными частными производными второго порядка.

Пример.Дана ФНП. Вычислим все её частные производные второго порядка.

Основное свойство смешанных частных производных: если функцияz = f (x, y)и её частные производные,,иопределены и непрерывны в точке(x, y)и некоторой её окрестности, то в этой точке=, то есть смешанные частные производные при условии их непрерывности не зависят от порядка, в котором производится дифференцирование.

2. Частные производные фнп, заданной неявно

Если каждой паре чисел(x, y)из некоторой областисоответствует одно или несколько значенийz, удовлетворяющих уравнению, то это уравнение неявно определяет функцию 2-х переменных.

Если существуют частные производные функции F(x, y, z):и, то существуют частные производные от функцииz (x, y), которые можно вычислить по формулам:

.(2)

Пример.Дано:. Найтии.

Здесь . По формулам (2) находим:

Уравнение неявно определяет еще две функции 2-х переменных:и. Частные производные этих функций можно найти по формулам, аналогичным формуле (2), например:

. (3)

3. Производная сложной фнп. Полная производная

Пусть функция z= f (x, y, t) – функция трех переменныхx,y иt, причемxиy, в свою очередь, являются функциями независимой переменнойt, тогда– это сложная функция одной переменнойt, аxиy – промежуточные переменные.

Полной производной по переменной t сложной ФНПназывается её производная, вычисленная как производная функции одной переменнойtв предположении, что переменныеxиy также являются функциями от t, то есть приx=x(t) иy = y(t):

. (4)

Здесь – это полная производная функцииzпо переменнойtпри условии, что все другие переменные зависят отt, а– это частная производная функцииzпо переменнойtпри условии, что у функции есть другие независимые переменные, кромеt. При ее нахождении зависимость переменныхx,y от t не учитывается.

В полученный ответ следует подставить функции x = x(t) и y = y(t), чтобы выразить полную производную через независимую переменную t.