4. Экстремумы фнп

4.1. Локальные максимумы и минимумы фнп.

Говорят, что функция z=f (x, y) имеет локальный максимум в точке (x₀, y₀), если существует окрестность точки (x₀, y₀), в которой выполнено неравенство f (x₀, y₀) > f (x, y) для всех (x, y) из этой окрестности: .

Если же f (x₀, y₀) < f (x, y) для всех (x,y) из некоторой окрестности точки (x₀, y₀), то функция имеет локальный минимум ФНП в точке (x₀, y₀): .

Максимуми минимумназываютлокальными экстремумами ФНП.

Необходимое условие экстремума ФНП: если функцияимеет экстремум в точке(x₀, y₀), то каждая частная производная первого порядка функцииz в точке(x₀, y₀) равна нулю или не существует.

Необходимое условие не является достаточным. Точки из ООФ, в которых необходимое условие выполнено, называютсякритическими точками, или точками, подозрительными на экстремум.

Если(x₀, y₀)– это такая критическая точка, в которойи, то она называется ещёстационарной точкой функции.

4.2 Нахождение наибольшего и наименьшего значений фнп в замкнутой области

Область D называется замкнутой областью, если она включает в себя свою границу, и открытой областью, если не включает свою границу.

Непрерывная ФНП z = f (x, y) в замкнутой ограниченной областидостигает своих наибольшего и наименьшего значенийz_наиб = М_. и z_наим = m, называемыхглобальными экстремумамиФНП в областиD.

По свойствам непрерывных функций z_наиб. и z_наим. в этой области существуют и достигаются они или в точках локальных экстремумов функцииz = f (x, y) внутри областиD, или на границе этой области.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения дифференцируемой ФНП в замкнутой ограниченной области D, необходимо:

1. найти все стационарные точки функции f (x, y), лежащие внутри области D и вычислить в них значения функции;

2. найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области;

3. выбрать среди всех найденных значений наибольшее и наименьшее значения функции в области D.

Поскольку на границе области аргументы x и y связаны между собой уравнением границы, то граничное значение функции f (x, y) является функцией одной переменной, и ее исследование проводят по правилам нахождения наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на замкнутом промежутке.

Если граница области D является кусочно-заданной, то необходимо исследовать граничное значение функции f (x, y) отдельно на каждом участке границы.

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Графиком функции 2-х переменных z = f (x, y) является поверхность, проектирующаяся на плоскостьXOYв область определения функцииD.

Рассмотрим поверхность σ, заданную уравнениемz = f (x, y), гдеf (x, y) – дифференцируемая функция, и пустьM₀(x₀, y₀, z₀) – фиксированная точка на поверхностиσ, т.е. z₀ = f (x₀, y₀).

Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М₀ называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М₀.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точке M₀(x₀, y₀, z₀) имеет вид:

. (5)

Вектор называетсявектором нормали к поверхности σ в точке М₀. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.

Нормалью к поверхностиσв точкеМ₀называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора.

Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f (x, y), в точкеM₀(x₀, y₀, z₀), гдеz₀ = f (x₀, y₀), имеют вид:

. (6)