6.3. Соленоидальное векторное поле

Векторное поле называетсясоленоидальным, если существует такое векторное поле, для которого поле является полем его роторов:. Поленазываетсявекторным потенциаломвекторного поля .

Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области Vдивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

Решение примерного варианта контрольной работы

Задача 1. Используя двойной интеграл, вычислить статический момент относительно оси Ox тонкой однородной пластинки, имеющей форму области D, ограниченной заданными линиями: . Построить чертеж области интегрирования.

Указание. Считать плотность вещества .

Решение.

Область D (рис. 8) представляет собой криволинейный треугольник MNK, где . Для определения ординаты точкиМ решаем систему уравнений:

Область D – правильная в направлении оси Oх, она задается системой неравенств: где– это уравнения линий, ограничивающих область слева и справа.

Найдем статический момент пластинки MNK относительно оси Ox по формуле (1):

.

Для вычисления двойного интеграла сводим его к повторному интегралу в соответствии с системой неравенств, задающих область D:

Ответы: M_x = 4,125 ед. стат. момента; область интегрирования на рисунке 8.

Задача 2. Используя тройной интеграл в цилиндрической системе координат, вычислить массу кругового цилиндра, нижнее основание которого лежит в плоскости xOy, а ось симметрии совпадает с осью Oz, если заданы радиус основания R = 0,5, высота цилиндра H = 2 и функция плотности , где  – полярный радиус точки.

Решение.

Массу кругового цилиндра можно вычислить, используя тройной интеграл по области V, по формуле (2):

,

где – функция плотности, аV – область, соответствующая цилиндру.

Переходя к трехкратному интегралу в цилиндрических координатах, получаем:

,

где область интегрирования V (круговой цилиндр) можно задать системой неравенств: приR = 0,5 и H = 2.

Для определения массы цилиндра нужно вычислить трехкратный интеграл:

.Вычислим внутренний интеграл по переменной z: .

Затем находим интеграл по переменной :

Третий этап – вычисление внешнего интеграла по переменной φ:

.

Ответ: ед. массы.

Задача 3. Вычислить работу силы при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой L: от точки B до точки C, если значения параметра t в точках B и C заданы: .

Решение.

Для вычисления работы используем криволинейный интеграл II рода (формула (3)): .

Составленный криволинейный интеграл сводим к определенному интегралу, используя параметрические уравнения кривой ВС:

.

Для заданной кривой получаем:

Таким образом, для нахождения работы нужно вычислить определенный интеграл:

Сделаем замену переменной в определенном интеграле:

, ,

тогда получим: .

Используем прием «подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции»:

Ответ: ед. работы.

Задача 4. Задан радиус-вектор движущейся точки:

. Найти векторы скорости и ускорения движения этой точки через 2 минуты после начала движения.

Решение.

Вектор-функция задана в координатной форме: .

Найдем первые и вторые производные ее проекций x(t),y(t)z(t) по аргументуt:

Найдем векторы скорости и ускорения движения точки по формулам (4) и (5):

.

Через 2 минуты после начала движения векторы скорости и ускорения будут:

,.

Ответы: ,.

Задача 5. Дано векторное поле и уравнение плоскости: 3x + y + 2z – 3 = 0. Требуется:

1. найти поток поля через плоскость треугольникаАВС где А, В, и С – точки пересечения плоскости  с координатными осями, в направлении нормали плоскости, ориентированной «от начала координат»; построить чертеж пирамиды ОАВС, где О – начало координат;

2. используя формулу Остроградского-Гаусса, вычислить поток поля через полную поверхность пирамидыОАВС в направлении внешней нормали.

Решение.

1. Чтобы вычислить поток поля через плоскость треугольникаАВС используем формулу (6): П_АВС =, где D – проекция треугольника АВС на плоскость xOy, F – функция, задающая плоскость , которой принадлежит треугольник АВС.

Для построения чертежа найдем точкиА, В, и С пересечения плоскости  с координатными осями:

.

Построим чертеж пирамиды, отложив на координатных осях точки А, В, С и соединив их с началом координат O (рис. 9).

Из уравнения плоскости : 3x + y + 2z – 3 = 0, которое имеет вид F(x, y, z) = 0, находим .

Поскольку все три проекции градиента положительные, то этот вектор образует с координатными осями острые углы, т.е. направлен «от начала координат» по отношению к плоскости . Это означает, что вектор и орт «внешней» нормали, указанный в задаче, совпадают по направлению, поэтому вычисление потока через плоскость треугольникаАВС сводится к вычислению двойного интеграла: П_АВС = + (перед интегралом ставим знак «+»), где AOВ – проекция треугольника ABC на плоскость xOy.

Для расстановки пределов интегрирования по треугольнику AOВ (рис. 10) найдем уравнение прямой АВ на плоскости xOy:

Вычислими получим подинтегральную функцию, подставив= 2 и(из уравнения плоскости):

.

Таким образом, поток поля через плоскость треугольникаАВС:

.

Вычислим внутренний интеграл по переменной y:

Вычислим внешний интеграл по переменной х:

.

2) Чтобы вычислить поток поля через полную поверхность пирамидыОАВС, воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:

.

Найдем дивергенцию этого поля по формуле (7): . Для поляполучаем:

.

Вычислим поток поля через полную поверхность пирамидыОАВС:

, где – объем пирамидыОАВС. Этот объем можно вычислить, следующим образом:

.

В результате получаем: .

Ответы: П_ABC = 8,5, рисунок 9; 2) П_ОАВС = –2,25.

Задача 6. Проверить, является ли векторное поле силы потенциальным или соленоидальным. В случае потенциальности поля найти его потенциал и вычислить с помощью потенциала работу силы при перемещении единичной массы из точкиM(0,1,0) в точку N(–1,2,3).

Решение.

Для проверки потенциальности векторного поля найдем его ротор по формуле (9):

Следовательно, поле потенциально.

Для проверки соленоидальности поля найдем его дивергенцию по формуле (7):

.

Следовательно, поле не соленоидально.

Для нахождения потенциала U(x, y, z) векторного поля возьмем фиксированную точкуВ(0, 0, 0), текущую точкуС(x, y, z) и вычислим криволинейный интегралпо ломанойВEKC, звенья которой параллельны осям координат иE(x, 0, 0),K(x, y, 0) (см. рис. 7). По формуле (10) получим:

Получили потенциал поля , гдеС – произвольная постоянная. Для проверки решения найдем градиент потенциала : . Следовательно, потенциал поля силы найден верно.

Найдем работу векторного поля при перемещении единичной массы из точкиM(0,1,0) в точку N(–1,2,3) по формуле (11):

.

Ответы: поле потенциально, не соленоидально;, гдеС – произвольная постоянная; работа А = –10.