3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Общий вид криволинейного интеграла II рода(по координатам):

,

где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением,  P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.

В двумерном случае: , гдеBCxOy.

Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси Ox и Oy вектора переменной силы , то

(3)

– это работа силы при перемещении точки ее приложения вдоль участка дуги BC.

Пусть кривая BC задана параметрически: причем функцииx (t) и y (t) – непрерывны и дифференцируемы по t, а t_B, t_C – значения параметра для начала и конца кривой (в точках B и C). Тогда

и вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла по переменной t:

.

4. Векторная функция скалярного аргумента

Если каждому значению параметра tиз некоторого промежуткаставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что заданавектор-функция скалярного аргументаt:.

Откладывая векторы приот начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемуюгодографом вектор-функции .

Проекции вектора на оси координат являются функциями аргументаt, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:

,

где векторы – это орты координатных осейOx, Oy и Oz.

Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции находят дифференцированием ее проекцийx(t),y(t) иz(t) по аргументуt:

,

.

Если параметр t– это время, то векторное уравнениеназываютуравнением движенияточки, а годограф вектор-функцииявляется траекторией движения. Тогда вектор-производная называетсяскоростью движения точки в момент времени t:

. (4)

Скорость движения – это вектор, направленный по касательной к траектории движения (годографу) в соответствующей точке в сторону возрастания параметра t.

Вектор

(5)

называется ускорением движения точки в момент времени t.

5. Векторное поле

5.1. Поток векторного поля через поверхность

Если в любой точке M(x, y, z) областиVxOyzзадан вектор, то говорят, что в областиVзадановекторное поле .

Примеры: силовое поле, поле скоростейтекущей жидкости, поле электростатических напряженностей.

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция от координат точкиM(x, y, z). Как правило, функцию задают в координатной форме:,

где P (x, y, z),Q (x, y, z),R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные поx, y, zв областиV (областьV может совпадать со всем пространством).

Аналогично определяют плоское векторное поле в двумерной области D: .

Пусть в области VxOyzзадана двусторонняя поверхностьσ, в каждой точке которой определенорт внешней нормали– единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.

Поток векторного поля через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора на орт нормалик поверхности (рис. 5):

.

Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростейтекущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.

Если поверхностьσзадана уравнениемF(x,y,z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность:, следовательно, орт нормали.

Для вычисления поверхностного интеграла поверхностьσ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область DxOy. Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:

, (6)

где знак «+» следует брать в случае, когда вектор и орт «внешней» нормали, указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».

При вычислении двойного интеграла нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.

Поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали обозначают .