- •Оглавление
- •Введение
- •Задания на контрольную работу по теме «Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Векторный анализ. Элементы теории векторного поля»
- •Содержание теоретического материала и ссылки на литературу
- •Справочный материал к выполнению контрольной работы
- •1. Двойной интеграл
- •1.1. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •1.3. Некоторые приложения двойных интегралов
- •2. Тройной интеграл
- •2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
- •2.3. Некоторые приложения тройных интегралов
- •3. Криволинейный интеграл II рода (по координатам)
- •4. Векторная функция скалярного аргумента
- •5. Векторное поле
- •5.1. Поток векторного поля через поверхность
- •5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
- •6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
- •6.1. Ротор векторного поля
- •6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал
- •6.3. Соленоидальное векторное поле
- •Решение примерного варианта контрольной работы
- •Рекомендуемая литература
5.2. Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по областиV, ограниченной этой поверхностью:
.
Пусть – векторное поле, заданное в областиVxOyz.Дивергенцией векторного поля называется скалярная функция
, (7)
которая характеризует наличие источников (если div> 0) и стоков (если div< 0), или их отсутствие (если div= 0) векторного поля в точке М.
Используя выражения для дивергенции и для потока вектора через замкнутую поверхность σ, можно записать формулу Остроградского-Гаусса в векторном виде:
, (8)
т.е. поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали (рис. 6) равен тройному интегралу от дивергенции этогополя по областиV, ограниченной поверхностьюσ.
6. Потенциальные и соленоидальные векторные поля
6.1. Ротор векторного поля
Ротором (вихрем) векторного поляназывается вектор
.
Ротор – это векторная величина, которая является дифференциальной характеристикой векторного поля. Всякое векторное поле сопровождается другим векторным полемего роторов.
Для вычисления ротора удобно использовать его запись в форме определителя:
,(9)
где вектор – это векторно-дифференциальный оператор, называемыйоператором Гамильтона или оператором«набла». При вычислении определителя умножению его элементовна функцииP,Q,Rсоответствует операция дифференцирования:,и т.д.
6.2. Потенциальное векторное поле и его потенциал
Векторное поле называетсяпотенциальным, если существует такая скалярная функцияU(x, y, z), что. ФункцияUназываетсяпотенциаломвекторного поля .
Из определения следует, что потенциальное векторное поле – это поле градиентов некоторого скалярного поля U(M) =U(x, y, z).
Пусть векторное поле задано в некоторой области V.
Область V называется односвязной, если любой замкнутый контур (кривую), лежащий в ней, можно путем непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя за пределы данной области. Для плоской области D односвязность означает, что для любого замкнутого контура, лежащего в ней, ограниченная этим контуром часть области целиком принадлежит D.
Потенциальность векторного поля, заданного в односвязной области V, определяется при помощи его ротора: если во всех точках областиVротор векторного поля – нулевой вектор, то это векторное поле является потенциальным.
Важное свойство потенциальных полей заключается в том, что если – потенциальное векторное поле, заданное в некоторой односвязной областиV, то выражение
является полным дифференциалом функцииU(x, y, z). В этом случае криволинейный интеграл вида
вдоль любой кривой ВС, принадлежащейV, не зависит от формы кривой и равен разности потенциалов в конечной и начальной точках:
.
Это свойство можно использовать для нахождения потенциала векторного поля при помощи криволинейного интеграла IIрода. Для этого нужно взять фиксированную точкуВ(x0, y0, z0) и произвольную (текущую) точкуС(x, y, z) и вычислить криволинейный интеграл по путиВС:
.
При этом получаем потенциалU(x, y, z) векторного поля с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
В качестве пути интегрирования ВСобычно выбирают ломануюВEKC (рис. 7), звенья которой параллельны осям координат иE(x, y0, z0),K(x, y, z0). В этом случае потенциалU(x, y, z) находят по формуле:
. (10)
Если в односвязной области задано потенциальное векторное поле силы , то с помощью потенциала можно найти работу силы при перемещении единичной массы из одной заданной точкиM этой области в другую точку N как разность значений потенциалов в этих точках:
. (11)