5. Динамика вращательного движения формулы

Равномерное движение по окружности:

; ; ;

; ; S = φR;

;

_;

,

здесь ν – частота (количество оборотов за 1 секунду), N – количество оборотов, t – время вращения, T – период обращения (время одного полного оборота), υ – скорость движения по окружности, R – радиус окружности, ω – циклическая частота или угловая скорость вращения, φ – угол поворота, a_τ – тангенциальное ускорение; a_цс (a_n) – центростремительное ускорение или нормальное ускорение, ε – угловое ускорение.

Кинематическое уравнение равномерного вращения (ω = const):

,

Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (ε = const):

,

здесь φ₀ – начальное угловое перемещение, ω₀ – начальная угловая скорость.

Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения:

,

здесь r – радиусвектор, направленный от оси вращения к точке приложения силы F, ℓ – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, α – угол между радиусвектором и силой;

Момент инерции относительно оси вращения материальной точки:

,

здесь m – масса материальной точки, r – расстояние от оси вращения до материальной точки;

Момент инерции относительно оси вращения твердого тела:

,

здесь Δm_i – масса i-го элемента тела, r_i – расстояние от этого элемента до оси вращения;

Теорема Штейнера:

,

здесь I – момент инерции тела относительно произвольной оси, I₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси, ℓ – расстояние между осями, m – масса тела;

Момент импульса вращающегося тела относительно оси:

;

Закон сохранения момента импульса

;

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

;

Работа момента силы, действующего на вращающееся тело:

,

здесь φ – угол поворота тела;

Кинетическая энергия вращающегося тела:

,

здесь φ – угол поворота тела;

Оглавление

Примеры решения задач

1. К концу нити, намотанной на блок с моментом инерции I = 0,08 кг·м² и радиусом R = 0,1 м, привязали тело массой m = 2 кг и отпустили. Найти угловое ускорение тела.

Дано: I = 0,08 кг·м2; R = 0,1 м; m = 2 кг; g = 9,8 м/с2;	Решение: Запишем второй закон Ньютона для тела: и основное уравнение динамики вращательного движения для блока (T – сила натяжения нити) . С учетом соотношения
a – ?

получим выражение для вычисления ускорения a:

м/с².

Ответ: a = 1,96 м/с².

2. Вычислите момент инерции шара массой 0,2 кг и радиусом 0,05 м относительно оси, которая проходит на расстоянии 0.1 м от центра шара.

Дано: ℓ= 0,1·м; R = 0,05 м; m = 0,2 кг;	Решение: Момент инерции однородного шара, относительно оси, которая проходит через центр масс шара: . Момент инерции относительно оси, не проходящей через центр масс, вычислим с помощью теоремы Штейнера: .
I – ?

Таим образом, момент инерции шара равен:

кг·м².

Ответ: I = 2,2·10^-3 кг·м².

Оглавление