Примеры решения задач

1. Человек массой 60 кг спускается по лестнице длиной 15 м, расположенной под углом 30º к горизонтальной плоскости. Найдите работу силы тяжести.

Дано: m = 60 кг; s = 15 м/с; α = 30º; g = 9,8 м/с2;	Решение: Работа силы тяжести равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и косинус угла α между вектором силы и вектором перемещения: . Угол α нужно брать 30º, поэтому работа равна Дж.
A – ?

Ответ: A = 4410 Дж.

2. Вычислите работу силы упругости при изменении деформации пружины жесткостью 300 Н/м от x_l = 4 см до x₂ = 8 см.

Дано: k = 300 Н/м; x1 = 4 м/с; x2 = 8 м/с;	Решение: По закону Гука проекция вектора силы упругости ось ОХ, направленную по вектору перемещения конца пружины при ее деформации, равна . Так как сила упругости изменяется пропорционально
A – ?

деформации, то для вычисления работы можно найти среднее значение ее проекции при изменении деформации пружины от 4 см до 8 см:

;

Н.

Работа силы упругости равна произведению модуля среднего значения силы на модуль перемещения и косинус угла между этими векторами:

а.

При растяжении пружины вектор силы упругости направлен противоположно вектору перемещения, поэтому угол α между ними равен 180º, а cos α = –1. Тогда работа силы упругости будет равна

Дж.

Работа силы упругости может быть найдена и по изменению потенциальной энергии пружины:

.

Дж.

Ответ: A = – 0,72 Дж.

3. Кран поднимает груз массой 1,5 т на высоту 36 м за 4 мин. Найдите механическую мощность. Силами трения пренебречь.

Дано: m = 1500 кг; h = 36 м; t = 240 с;	Решение: Механическая мощность равна , Механическая работа A внешних сил при подъеме груза равна изменению его потенциальной энергии (примем начальный уровень h1 = 0):
N – ?

Поэтому механическая мощность равна

;

Вт.

Ответ: N = 2205 Вт.

4. Самолет Ил-62 имеет четыре двигателя, сила тяги каждого 110 кН. Какова полезная мощность двигателей при полете самолета со скоростью 936 км/ч?

Дано: ʋ = 260 м/с; F = 110000 Н;	Решение: Полезная мощность N двигателей равна отношению механической работы А ко времени t: ,
N – ?

Механическая работа при совпадении направлений вектора силы и перемещения равна

.

Отсюда для механической мощности имеем

.

Так как при равномерном прямолинейном движении

, то ;

Вт.

Ответ: N = 28,6·10⁶ Вт = 28,6 МВт.

5. На высоте 2,5 м от поверхности Земли мяч имел скорость 24 м/с. С какой скоростью будет двигаться мяч у поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения принять равным 9,8 м/с².

Дано: ʋ1 = 24 м/с; h1 = 2,5 м; h2 = 0 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Хотя в условии задачи не указаны направление вектора скорости мяча и масса мяча, задача имеет однозначное решение. Так как на мяч действует только сила тяготения со стороны Земли, к замкнутой системе «Земля – мяч» применим закон сохранения механической энергии. Согласно этому закону полная механическая энергия
ʋ2 – ?

системы «Земля – мяч» остается неизменной, а изменение кинетической энергии мяча равно изменению его потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

.

Обозначим массу мяча m, получим

.

Разделим обе части равенства на m и умножим на 2:

.

Отсюда скорость ʋ₂ мяча у поверхности Земли равна

;

;

Ответ: ʋ₂ = 25 м/с.

6. Крупнейшая в мире Саяно-Шушеиская гидроэлектростанция будет вырабатывать 23,5 млрд. кВт·ч электроэнергии в год. Сколько воды должно проходить за год через гидротурбины станции? Высота плотины – 222 м. Считать, что потенциальная энергия воды полностью превращается в электрическую энергию.

Дано: E = 2,35·1010 кВт·ч; ρ = 103 кг/м3; h1 = 222 м; h2 = 0 м; g = 9,8 м/с2;

Решение: По закону сохранения энергии электроэнергия, вырабатываемая гидроэлектростанцией, получается за счет превращения кинетической энергии движущейся воды в энергию электрического тока. Кинетическая энергия воды, в свою очередь, получается в результате превращения потенциальной энергии воды у вершины плотины в кинетическую у основания плотины. Если не учитывать потери, то вся выработанная гидроэлектростанцией электроэнергия Е равна изменению

ʋ2 – ?

потенциальной энергии ΔE_p воды, прошедшей через гидроагрегаты станции, взятому с противоположным знаком:

.

Массу m воды выразим через ее объем V и плотность ρ:

m = ρV.

Из равенств (1) и (2) найдем выражение для объема воды, прошедшей через гидроагрегаты станции:

;

м³ = 39 км³.

Ответ: V = 39 км³.

7. Определите минимальное значение тормозного пути автомобиля, начавшего торможение на горизонтальном участке шоссе при скорости движения 63 км/с. Коэффициент трения равен 0,5.

Дано: ʋ0 = 63 км/с; ʋ1 = 0 м/с; μ = 0,5 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Тормозной путь автомобиля будет иметь минимальное значение при максимальном значении силы трения. Модуль максимального значения силы трения равен . Отсюда найдем модуль ускорения торможения .
smin – ?

Вектор силы трения при торможении направлен противоположно векторам скорости и перемещения .

Для определения тормозного пути воспользуемся формулой

.

м.

Ответ: s_min = 31,25 м.

Оглавление