Примеры решения задач

1. Человек массой 65 кг катается на карусели. Найдите значение силы упругости, действующей на человека при его движении в горизонтальной плоскости со скоростью 12 м/с по окружности радиусом 15 м.

Дано: m = 65 кг; ʋ = 12 м/с; R = 15 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Движение человека по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, происходит под действием равнодействующей сил тяжести и упругости . Вектор лежит в горизонтальной плоскости и направлен к центру окружности. По второму закону Ньютона модуль равнодействующей равен
Fy – ?

.

Так как вектор перпендикулярен вектору , то вектор является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами и . Модуль вектора силы упругости равен

;

Н.

Ответ: F_y = 892 Н.

2. Велосипедист массой 90 кг движется со скоростью 12 м/с по вогнутому мосту, траектория его движения является дугой окружности радиусом 30 м. Определите силу упругости, действующую на велосипедиста в нижней точке моста.

Дано: m = 90 кг; ʋ = 12 м/с; R = 30 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Движение велосипедиста по дуге окружности является движением с центростремительным ускорением , равным по модулю . В нижней точке моста вектор центростремительного ускорения
Fy – ?

направлен вертикально вверх. Это ускорение по второму закону Ньютона определяется равнодействующей векторов силы тяжести

,

_{направленной вертикально} вниз, и силы упругости , действующей со стороны моста и направленной вертикально вверх:

.

Направим ось OY вертикально вверх и запишем это уравнение в проекциях на эту ось

.

Проекции векторов и на эту ось положительны, а проекция вектора отрицательна, поэтому уравнение для модулей сил имеет вид

.

Отсюда получаем формулу для вычисления модуля силы упругости

;

Н.

Ответ: F_y = 1314 Н.

3. Труба массой 200 кг лежит на двух горизонтальных опорах. Длина трубы 12 м, одна опора находится у конца трубы, вторая на расстоянии 2 м от второго конца трубы. Определите силы реакции опор.

Дано: m = 200 кг; L = 12 м; ℓ = 2 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Изобразим все действующие на трубу силы. Сила тяжести направлена вертикально вниз и приложена к центру масс трубы, находящемуся на равных расстояниях от концов трубы. Силы реакции опор и направлены вертикально вверх. Так как труба не движется поступательно, геометриче­ская сумма векторов сил, действующих на трубу, равна нулю: .
N1 – ? N2 – ?

Н аправим ось OY вертикально вверх. Тогда для проекций сил на эту ось имеем равенство

,

а для модулей –

.

Так как труба не вращается, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на нее, равна нулю для любой оси вращения. Выберем в качестве оси вращения горизонтальную прямую, проходящую через центр масс трубы перпендикулярно плоскости чертежа. На основании правила моментов запишем равенство

.

Так как вектор силы тяжести проходит через ось вращения (ℓ₃ = 0), момент этой силы равен нулю. Вектор силы реакции опоры создает вращение против часовой стрелки, поэтому вращательный момент этой силы взят с отрицательным знаком. Таким образом, для решения задачи мы получили систему из двух уравнений

,

.

Решаем эту систему:

,

,

.

Из условия задачи следует ℓ₁ = L/2 = 6 м, ℓ₂ = L/2 – ℓ = 4 м, поэтому

Н.

Н.

Ответ: N₁ = 1176 Н, N₂ = 592 Н.

Оглавление