Экзаменационный билет №21

Вопрос №1: Закон Видемана-Франца. Затруднения классической теории электропроводимости.

Видеман и Франц установили в 1853 году эмпирический закон (из опыта): При постоянной температуре для всех металлов отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности является величиной постоянной. k / σ = const. При изменении температуры, данное отношение изменяется пропорционально термодинамической температуре. Так как теплопроводность металлов гораздо выше, чем у диэлектриков, то предположили, что теплопередача в металлах осуществляется в основном не кристаллической решёткой, а свободными электронами. Учитывая электроны как одноатомный газ, запишем коэффициент теплопроводности

n – концентрация электронов, m – масса электрона, ʋ – скорость электронов, λ – длина свободного пробега, c_V – удельная теплоёмкость при V = const. Учтём, что удельная теплоёмкость при постоянном объёме

и удельная электропроводность

Закон Видемана-Франца

Недостаточность (затруднения) классической теории 1) При выводе формулы

Друде не учитывал распределение максвелла электронов по скоростям. Лоренц учёл распределение по скоростям и получил формулу которая плохо согласуется с экспериментом.

2) Согласно формуле

сопротивление должно расти как

но экспериментальная зависимость удельного сопротивления имеет следующий вид

3) Электронный газ должен обладать молярной теплоёмкостью 3/2R, если добавить молярную теплоёмкость кристаллической решётки металлов 3R, то получим 9/2R, что в 1,5 раза больше теплоёмкости диэлектриков, в действительности они почти равны. 4) Классическая теория не может объяснить самого главного – почему электроны в металлах оказываются свободными.

Вопрос №2: Уравнение Максвелла, для электромагнитного поля, их физический смысл. Материальные уравнения.

Дополнив основные факты из области электромагнетизма установлением магнитных действий токов смещения, Максвелл написал систему фундаментальных уравнений электродинамики: 1) Магнитное поле порождается электрическим током и переменным электрическим полем.

2) Электрическое поле порождается переменным магнитным полем, по сути, выражение закона электромагнитной индукции Фарадея: 3) Электрические заряды являются источниками электростатического поля: 4) Магнитных зарядов в природе не существует: Уравнения дополняются материальными уравнениями, чтобы учитывать свойства среды

ε – диэлектрическая проницаемость, μ – магнитная проницаемость, σ – электрическая проводимость, ε0, μ0 – электрическая, магнитная постоянные.

Экзаменационный билет №22

Вопрос №1: Электроны в металлах. Функция распределения Ферми-Дирака. Энергия и уровень Ферми.

Квантовая теория для объяснения электропроводности металлов учла все особенности новых свойств электронов: 1) электрон отрицательно заряженная частица q_e =  1,610^{- 19} Кл; 2) электрон имеет массу покоя m_e = 9,1110^{- 31} кг;

3) заряд электрона инвариантен и не зависит от скорости движения; 4) электрон имеет двойственную корпускулярно-волновую природу; 5) электрон относится к тождественно-неразличимым частицам; 6) электрон имеет собственный момент импульса L_sz ≠ 0;

7) электрон имеет спиновое магнитное число m_s =  1/2 (спин S =1/2); 8) электроны имеют собственный магнитный момент р_ms ≠ 0; 9) электроны описываются статистикой Ферми-Дирака, являются фермионами с полуцелым спином.

В квантовой механике состояние электрона описывается набором квантовых чисел: главное квантовое число n = 1, 2, 3, ...; характеризует энергию электрона в атоме; орбитальное квантовое число ℓ = 0, 1, 2, 3, ..., n  1; характеризует энергию взаимодействия электронов; магнитное квантовое число m_ℓ = 0, 1, 2, 3, ...,  ℓ; характеризует проекцию момента импульса; спиновое квантовое число m_S =  1/2 (спин S =1/2). При заполнении электронами энергетических состояний для фермионов выполняется принцип Паули: В данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Заполнение электронами энергетических уровней происходит при одновременном выполнении трех условий: а) электроны должны иметь вполне определенные значения квантовых чисел: n, ℓ, m_ℓ, m_s; б) соответствовать минимуму энергии; в) подчиняться принципу запрета Паули. Электроны проводимости находится в трёхмерной потенциальной яме. В квантовой механике доказывается, что энергия таких частиц может иметь только квантовые значения. Электроны являются фермионами и их распределение по энергиям описывается формулой Ферми-Дирака:

Бозоны – частицы с целым спином, в некотором квантовом состоянии может находиться неограниченное число частиц. Формула Бозе-Эйнштейна:

При абсолютном нуле электроны располагаются попарно на самых низких, доступных для них уровнях.

Энергия Ферми при абсолютном нуле: h = 6,626·10^–34 Дж·с – постоянная Планка; n ≈ 10²⁸ – 10²⁹ м^–3 – концентрация электронов. Температура Ферми: T_F = W_F(0)/k_Б, Средняя энергия электронов

Средняя энергия (в эВ) свободных электронов при абсолютном нуле

Уровень Ферми слабо, но всё же зависит от температуры.

Средняя энергия теплового движения, равная по порядку величины k_БT, составляет при комнатной температуре 1/40 эВ. Такая энергия может возбуждать только электроны, находящиеся на самых верхних уровнях, примыкающих к уровню Ферми. Остальная масса электронов поглощать энергию не будет.

Вопрос №2: Электромагнитные волны. Вектора E, B, v. Волновое уравнение, уравнение волны.

Существование электромагнитных волн было предсказано Фарадеем, а затем Максвелл обосновал их существование. Если возбудить с помощью колеблющейся системы переменное электромагнитное поле, то в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимно превращающихся друг в друга переменных электрических и магнитных полей, распространяющихся от точки к точке в виде электромагнитных волн. Этот процесс является периодическим во времени и в пространстве. Вектора E, B, ʋ ортогональны и образуют правовинтовую систему.

Вектора Е, D, B и Н связаны следующими уравнениями Система СИ: Система Гаусса: В любой момент времени магнитная энергия равняется электрической (WE = WH) Система СИ:

Здесь с – скорость света в вакууме (с = 2,99 • 108 м/с), ε0, µ0 – электрическая и магнитная постоянные, ε – электрическая проницаемость среды, µ – магнитная проницаемость среды, ʋ – скорость света в среде Вектора Е, Н, ʋ ортогональны и образуют правовинтовую систему. Волновое уравнение плоской электромагнитной волны:

Решение этих уравнений есть волновое уравнение синусоидальной или монохроматической волны

здесь ω – циклическая частота, k = ω/ʋ = 2π/λ – волновой вектор, λ – длина волны Электрический и магнитный вектора всегда колеблются в одинаковых фазах. Уравнения Максвелла обладают симметрией в непроводящих средах: если в некоторый момент времени изменить на противоположное направление магнитного вектора во всех точках пространства, то при отсутствии проводящих тел электромагнитное поле повторит свою историю в обратном порядке, с той только разнице, что вектор Н в соответствующие моменты времени будет направлен противоположно по сравнению с его направлением в исходном процессе.