Примеры решения задач

1. Вычислите работу, совершаемую одним молем идеального газа при изобарном нагревании на 1 К.

Дано: p1 = p2 = p; ν = 1 моль; ΔT = 1 К;	Решение: При изобарном нагревании идеального газа работа A, совершаемая газом, равна A = pΔV.
A – ?

Так как по условию задачи не даны значения давления р газа и изменения его объема ΔV, выразим эти величины через известное изменение ΔT температуры газа. Для этого воспользуемся уравнением состояния идеального газа

, .

Из этих уравнений получаем

, или pΔV = νRΔT.

Отсюда для работы газа при изобарном нагревании будем иметь

A = νRΔT;

А = 1·8,31·1 = 8,31 Дж.

Таким образом, молярная газовая постоянная R равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при изобарном нагревании 1 К.

Ответ: A = 8,31 Дж.

2. Определите максимальный КПД тепловой машины, если температура нагревателя равна 227 ºС, а температура холодильника равна 27 ºС.

Дано: T1 = 500 К; T2 = 300 К;	Решение: Максимальный КПД тепловой машины определяется выражением ;
ηmax – ?

.

Ответ: η_max = 0,4.

3. Карбюраторный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из четырех последовательно происходящих процессов: адиабатного сжатия из состояния А в состояние В, изохорного перехода из состояния В в состояние С в результате нагревания воздуха при сжигании горючей смеси, адиабатного расширения из состояния С в состояние D и изохорного перехода из состояния D в исходное состояние А (см. рис.). Вычислите КПД двигателя для случая, если бы воздух был идеальным одноатомным газом при значениях температуры в состояниях А, В, С и D соответственно Т_А = 300 К, Т_B = 524 К, Т_C = 786 К и Т_D = 450 К.

Решение:

Значение КПД теплового двигателя определяется уравнением

,

здесь Q₁ – количество теплоты, переданное за цикл рабочему телу от нагревателя; Q₂ – количество теплоты, полученное за цикл холодильником от рабочего тела.

Во время осуществления адиабатических процессов расширения и сжатия нет теплообмена рабочего тела ни с холодильником, ни с нагревателем. Следовательно, весь процесс теплоотдачи количества теплоты Q₁ от нагревателя осуществляется при переходе газа из состояния В в состояние С, а процесс передачи количества теплоты Q₂ холодильнику – при переходе газа из состояния D в состояние А. При изохорическом переходе газа из состояния В в состояние С работа внешних сил равна нулю: А = 0, так как поршень неподвижен. Из первого закона термодинамики для этого процесса следует

, A = 0, .

Мы получили, что количество теплоты, полученное газом от нагревателя за весь цикл, равно изменению внутренней энергии газа при переходе из состояния В в состояние С:

.

Аналогично количество теплоты Q₂, переданное холодильнику при изохорическом переходе газа из состояния D в состояние А, равно

.

Подставляя полученные выражения для Q₁ и Q₂ в уравнение для определения КПД, получаем

.

Найдем численное значение КПД:

.

Ответ: η = 0,43.

4. В теплоизолированном сосуде находятся вода и лед при температуре 0 ºС. Массы воды и льда соответственно равны 0,5 кг и 60 г. В воду впускается водяной пар массой 10 г при температуре 100 ºС. Какой станет температура воды в сосуде после установления теплового равновесия? Теплоемкость сосуда в расчетах не учитывать.

Дано: m1 = 0,5 кг; m2 = 0,06 кг; m3 = 0,01 кг; T1 = 273 К; T2 = 373 К; r = 2,26·106 Дж/кг; λ = 3,3·105 Дж/кг; c = 4,23·103 Дж/(кг·К);	Решение: Проверим сначала, достаточно ли выделяющегося при конденсации пара количества теплоты Q3 для плавления льда. При конденсации пара выделяется количество теплоты Q3: . Для плавления льда требуется количество теплоты Q2:
T3 – ?

.

Дж.

Дж.

Сравнение количеств теплоты Q₃ и Q₂ показывает, что Q₃ > Q₂. Это означает, что лёд расплавится полностью, но значения количеств теплоты отличаются незначительно, следовательно, пар конденсируется полностью. Поэтому уравнение теплового баланса имеет вид:

.

Теплота выделяется при конденсации пара массой m₃ и остывании сконденсировавшейся воды от температуры Т₂ до некоторого значения T₃, а поглощается при плавлении льда массой m₂ и нагревании воды массой (m₁ + m₂) от температуры Т₁ до равновесного значения T₃. Обозначив T₃ – T₁ = ΔТ, для разности T₂ – T₃ получим

T₂ – T₃ = T₂ – T₁ – ΔТ = 100 – ΔТ.

Уравнение теплового баланса приобретает вид

;

.

Откуда

;

К.

Тогда T₂ = 273 К + 3 К = 276 К.

Ответ: T₂ = 276 К.

5. Идеальная холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, использует в качестве холодильника тающий лед при температуре 0° С, а в качестве нагревателя – кипящую воду при 100° С. Какая масса льда образуется получении от сети энергии 25 кДж? Удельная теплота плавления льда λ = 3,25∙10⁵ Дж/кг.

Дано: T1 = 273 К; T2 = 373 К; A = 25 кДж; λ = 3,25·105 Дж/кг;	Решение: При работе идеальной тепловой машины в обратном направлении все происходит в обратно порядке: машина забирает теплоту Q2 у холодильника и отдает теплоту Q1 нагревателю, потребляя при этом работу A (в виде энергии, полученной от сети). Соотношение между работой A, потребленной холодильной машиной, и теплотой Q1, отданной ей нагревателю, такое же, как в прямом цикле Карно
m – ?

,

здесь T₁ и T₂ – абсолютные температуры нагревателя и холодильника. Учитывая, что Q₁ = Q₂ + A, получим соотношения

и .

Для получения массы льда m надо забрать теплоты (λ – удельная теплота плавления). Выражая из этих соотношений 1массу льда, получаем

кг.

Ответ: m = 210 г.

6. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянных объеме (c_V) и давлении (c_p), принимая эти газы за идеальные. Вычислите удельную теплоемкость смеси этих двух газов при постоянном объеме. Масса неона m₁ = 6 г, масса водорода m₂ = 10 г.

Дано: R = 8,31 Дж/(моль·К); M1 = 0,020 кг/моль; M2 = 0,002 кг/моль; m1 = 0,006 кг; m2 = 0,010 кг;	Решение: Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами ; Для неона (одноатомный газ – i = 3)
cV1, cV2 – ? cp1, cp2 – ? cVсм – ?

Дж/(кг·К);

кДж/(кг·К).

Для водорода (двухатомный газ – i = 5)

кДж/(кг·К);

кДж/(кг·К).

Удельная теплоемкость смеси газов определяется отношением молярной теплоемкости C_см к массе m_см этой смеси

.

Теплоемкость вещества есть величина аддитивная, поэтому для двух газов можно написать

,

здесь C₁, C₂ – теплоемкости газов, m₁, m₂ – их массы.

Теплоемкость газа при постоянном объеме определяется соотношением

.

Окончательные расчеты дают следующее значение для смеси

кДж/(кг·К).

Ответ: c_V1 = 624 Дж/(кг·К), c_V2 = 1,04 кДж/(кг·К), c_p1 = 10,4 кДж/(кг·К), c_p2 = 14,6 кДж/(кг·К), c_Vсм = 6,73 кДж/(кг·К).

7. В цилиндре под поршнем находится водород массой неона m = 0,02 кг при температуре T₁ = 300 К. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру T₂ в конце адаибатного расширения и работу A, совершенную газом. Изобразить процесс графически.

Дано: R = 8,31 Дж/(моль·К); T1 = 300 К; m = 0,02 кг; V1/V2 = 5;	Решение: Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением ,
T2 – ? A – ?

здесь γ – показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа γ = 1,4).

Отсюда получаем выражение для конечной температуры

К.

Работа A₁ газа при адиабатном расширении определяется по формуле

Работу A₂ газа при изотермическом сжатии можно выразить формулой

Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами. Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах,

A = A₁ + A₂ = 29,50 + (– 21,13) = 8,37 кДж.

График процесса приведен на рис. 8.3

Ответ: T₂ = 158 К, A = 8,37 кДж.

8. Найти изменение ΔS энтропии при нагревании воды массой m = 0,1 кг от t₁ = 0 °С до температуры t₂ = 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Дано: R = 8,31 Дж/(моль·К); m = 0,1 кг; t1 = 0 °С; t2 = 100 °С; M = 0,018 кг/моль; λ = 3,25·105 Дж/кг; c = 4,2·103 Дж/(кг·К);	Решение: Найдем отдельно изменение энтропии ΔS՛ при нагревании воды и изменение энтропии ΔS՛՛ при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой ΔS՛ и ΔS՛՛. Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой .
m – ?

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ = mcdT, здесь m – масса тела, c – его удельная теплоемкость. Изменение энтропии при нагревании воды

При вычислении изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температура T выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

,

здесь Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры. С учетом теплоты парообразования Q = λm, здесь λ – удельная теплота парообразования, получим

Полное изменение энтропии при нагревании воды и последующем превращении ее в пар

Ответ: ΔS = 737 Дж/К.