Примеры решения задач

1. Длина маятника, демонстрирующего вращение Земли в Исаакиевском соборе в Ленинграде, равна 98 м. Определите период его свободных колебаний.

Дано: ℓ = 98 м; g = 9,8 м/с2;	Решение: Так как амплитуда колебаний маятника и размеры тела на подвесе малы по сравнению с длиной подвеса, его колебания можно считать гармоническими и для описания колебаний применить формулу периода колебаний математического маятника:
T – ?

с.

Ответ: T = 20 с.

2. При подвешивании груза массой 1 кг стальная пружина в положении равновесия удлинилась на 1 см. С каким периодом будет совершать колебания этот груз на пружине после смещения его по вертикали из положения равновесия?

Дано: m = 1 кг; x = 1 см; g = 9,8 м/с2;	Решение: Под действием силы упругости пружины тело массой m совершает гармонические колебания с периодом, определяемым по формуле ,
T – ?

здесь k – жесткость пружины.

Жесткость пружины можно найти по ее удлинению под действием силы тяжести груза массой m. По закону Гука

.

Для модуля силы упругости в положении равновесия выполняется равенство

,

следовательно,

.

Подставляем полученное выражение в формулу для вычисления периода колебаний:

.

Мы получили, что для решения задачи достаточно было знать только удлинение пружины в положении равновесия, так как масса тела не входит в окончательную расчетную формулу.

Ответ: T = 0,2 с.

3. Шарик, подвешенный на пружине, отвели из положения равновесия вертикально вниз на 3 см и сообщили ему начальную скорость 1 м/с, после чего шарик стал совершать вертикальные гармонические колебания с циклической частотой 25 рад/с. Найдите амплитуду этих колебаний.

Дано: x = 3 см; υ = 1 м/с; ω = 25 рад/с;	Решение: Запишем для шарика закон сохранения энергии ,
A – ?

здесь слева записана кинетическая энергия и потенциальная энергии для заданных первоначальных условий, справа записана максимальная потенциальная энергия для наибольшего смещения шарика, k – жесткость пружины, m – масса шарика. Отсюда получаем

м.

Ответ: A = 5 см.

4. На поверхности воды плавает в вертикальном положении цилиндр массой 120 г с площадью основания 75 см². С какой циклической частотой будут происходить вертикальные гармонические колебания цилиндра, если его слегка сместить из положения равновесия?

Дано: m = 0,12 кг; S = 75 см2; g = 9,8 м/с2; ρ = 1000 кг/м3;	Решение: В положении равновесия сила тяжести уравновешивается силой Архимеда. При вертикальном смещении цилиндра на x возникает возвращающая сила, равная изменению силы Архимеда ,
ω – ?

здесь ΔV – изменение объема подводной части цилиндра, ρ – плотность воды.

Согласно дифференциальному уравнению гармонических колебаний

,

возвращающая сила пропорциональна смещению, коэффициент пропорциональности (эффективная жесткость колебательной системы) равен k_эф = ρgS. Циклическая частота колебаний равна

рад/с.

Ответ: ω = 25 рад/с.

5. На концах тонкого стержня длиной ℓ = 1 м и массой m₃ = 400 г укреплены шарики малых размеров массами m₁ = 200 г и m₂ = 300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его середину. Определить период колебаний, совершаемых стержнем.

Дано: m1 = 200 г; m2 = 300 г; m3 = 400 г; ℓ = 1 см; g = 9,8 м/с2;	Решение: Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением , здесь I – момент инерции маятника относительно оси колебаний, k – его масса, ℓC –расстояние от центра масс маятника до оси (рис. 6.2).
T – ?

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков I₁ и I₂ и стрежня I₃

I = I₁ + I₂ + I₃.

Принимая шарики за материальные точки и, учитывая, что ось колебаний проходит через центр стержня, получим выражение для момента инерции маятника

Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня:

m = m₁ + m₂ + m₃ = 0,9 кг.

Расстояние ℓ_C от оси колебаний до центра масс маятника найдем по формуле центра масс, поместив точку отсчета в центр стержня и направив ось x вдоль стержня

.

Вычисления дают результат

ℓ_C = 5,55 см.

Произведем расчеты для периода колебаний

с.

Ответ: T = 11,2 с.

6. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениям x₁ = A₁cos(ω(t + τ₁)), x₂ = A₂cos(ω(t + τ₂)), здесь A₁ = 1 см, A₂ = 2 см, τ₁ = 1/6 с, τ₂ = 1/2 с, ω = π с^-1. 1) Определить начальные фазы составляющих колебаний. 2) Найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Дано: A1 = 1 см, A2 = 2 см, τ1 = 1/6 с, τ2 = 1/2 с, ω = π с-1;	Решение: 1) начальные фазы первого и второго колебаний φ1 = ω τ1 = π/6 рад, φ2 = ω τ2 = π/2 рад. 2) Амплитуда A результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле: .
φ1, φ2 – ? A, φ – ?

Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

.

Вычислим амплитуду суммарного колебания

см.

Фаза φ результирующего колебания равна

рад.

Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

x = 2,65∙cos(πt + 0,394π).

Ответ: 1) φ₁ = π/6 рад, φ₂ = π/2 рад,

2) A = 2,65 см, φ = 0,394π рад, x = 2,65∙cos(πt + 0,394π).

7. Летучая мышь летит перпендикулярно к стене со скоростью u = 6,0 м/с, издавая ультразвук частотой ν₀ = 45 кГц. На какой частоте летучая мышь будет слышать звук, отраженный от стены? Скорость распространения звука в воздухе c_зв = 340 м/с.

Дано: u = 6,0 м/с; ν0 = 45 кГц; cзв = 340 м/с;	Решение: Частота звука будет изменяться потому, что источник и приемник двигаются относительно друг друга ,
ν – ?

здесь ν – частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом), ν₀ – частота звука, испускаемого источником, c_зв – скорость звука в среде, u_пр – скорость приемника относительно среды, u_ист – скорость источника звука относительно среды.

В нашем случае летучая мышь – источник звука, стена – приемник, соответственно, частота звука, который будет фиксироваться каким-либо прибором на стене

.

Звук отражается от стены и доходит до летучей мыши, которая теперь уже играет роль двигающегося приемника, а стена – неподвижного источника

.

Объединяя эти выражения, получаем

Гц.

Ответ: ν = 46,6 Гц.

7. Молекулярное строение вещества. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярно-кинетическая теория. Элементы статистической физики

Формулы

Молекулярное строение вещества. Уравнение состояния идеального газа

Количество вещества:

,

здесь N – количество частиц (молекул или атомов), N_A = 6,022∙10²³ моль^–1 – постоянная Авогадро, m – масса вещества, M – молярная масса (масса одного моля вещества);

Масса одной молекулы или одного атома:

;

Молярная масса смеси газов

,

здесь ν_i, m_i, M_i – соответственно количество вещества, масса и молярная масса i-го компонента смеси, k – число компонентов смеси.

Уравнение состояния идеального газа:

,

здесь p – давление газа, V – объем, занимаемый газом, R = 8,31 Дж∙моль^–1∙К^–1 – универсальная газовая постоянная (молярная газовая постоянная), T – термодинамическая температура;

Изопроцессы:

Изотермический процесс: T = const, p₁V₁ = p₂V₂;

Изобарический процесс: p = const, V₁T₂ = V₂T₁;

Изохорический процесс: V = const, p₁T₂ = p₂T₁;

Закон Дальтона:

;

здесь p – давление смеси газов, p_i – парциальное давление i-го компонента смеси.