821
.pdfМинистерство сельского хозяйства Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
"Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова"
Н. В. Деменева
Аналитическая геометрия
Кривые второго порядка
Учебное пособие
Пермь
ИПЦ "Прокростъ"
2019
УДК 514.12 ББК 22.151.5 Д-30
Рецензенты:
И. К. Березин, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник (ИМСС УрО РАН).
В. В. Аюпов, кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой математики и физики (ФГБОУ ВО Пермский ГАТУ).
Д-30 Деменева, Н. В.
Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка : учебное пособие / Н. В. Деменева; Министерство сельского хозяйства Российской Федерации, федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Пермский государственный аграрно-технологический университет имени академика Д. Н. Прянишникова". – Пермь : ИПЦ "Прокростъ", 2019. – 310 с. : ил. ; 29 см. – Библиогр.: с.310. – 50 экз. – ISBN 978-5-94279-461-3.– Текст : непосредственный
В учебном пособии доступно и наглядно изложен математический аппарат кривых второго порядка, необходимый инженеру для решения профессиональных задач.
Учебное пособие содержит теоретический материал, примеры, прикладные задачи, в том числе задачи, ориентированные на профессиональную деятельность инженера, контрольные вопросы, упражнения, индивидуальные задания и тесты.
Учебное пособие предназначено для организации учебной и самостоятельной работы, а также текущего и итогового контроля знаний и умений обучающихся направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов, 20.03.01 Техносферная безопасность, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств.
УДК 514.12 ББК 22.151.5
Печатается по решению методического совета Пермского государственного аг- рарно-технологического университета имени академика Д. Н. Прянишникова (Протокол № 8 от 13.05.19.)
Учебное издание Деменева Надежда Валерьевна
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Учебное пособие
Подписано в печать 11.10.19. Формат 60x80 1⁄8 Усл. печ. л. 38,75. Тираж 50 экз. Заказ №150.
ИПЦ "Прокростъ"
Пермского государственного аграрно-технологического университета имени академика Д. Н. Прянишникова
614990, Россия, г. Пермь, ул. Петропавловская, 23 Тел. (342) 217-95-42
ISBN 978-5-94279-461-3 |
© ИПЦ "Прокростъ", 2019 |
|
© Деменева Н. В., 2019 |
2
Оглавление
Введение............................................................................................................. |
6 |
Глава 1. Окружность ......................................................................................... |
9 |
1.1. Определение окружности.......................................................................... |
9 |
1.2. Каноническое уравнение окружности ..................................................... |
9 |
1.3. Касательная к окружности ...................................................................... |
26 |
1.4. Полярное уравнение окружности ........................................................... |
34 |
1.5. Окружность в прикладных задачах ........................................................ |
36 |
Контрольные вопросы .................................................................................... |
39 |
Упражнения ..................................................................................................... |
39 |
Дополнительные упражнения ........................................................................ |
41 |
Прикладные задачи для самостоятельного решения................................... |
42 |
Индивидуальные задания ............................................................................... |
43 |
Тесты ................................................................................................................ |
65 |
Глава 2. Эллипс................................................................................................. |
68 |
2.1. Определение эллипса............................................................................... |
68 |
2.2. Каноническое уравнение эллипса .......................................................... |
68 |
2.3. Форма эллипса.......................................................................................... |
69 |
2.4. Построение эллипса ................................................................................. |
70 |
2.5. Эксцентриситет эллипса.......................................................................... |
87 |
2.6. Фокальные радиусы эллипса .................................................................. |
88 |
2.7. Директрисы эллипса ................................................................................ |
88 |
2.8. Касательная к эллипсу ............................................................................. |
91 |
2.9. Полярное уравнение эллипса .................................................................. |
95 |
2.10. Эллипс в прикладных задачах .............................................................. |
97 |
Контрольные вопросы .................................................................................... |
99 |
Упражнения ................................................................................................... |
100 |
Дополнительные упражнения ...................................................................... |
102 |
Прикладные задачи для самостоятельного решения................................. |
103 |
Индивидуальные задания ............................................................................. |
105 |
Тесты .............................................................................................................. |
125 |
Глава 3. Гипербола......................................................................................... |
127 |
3.1. Определение гиперболы ........................................................................ |
127 |
3 |
|
3.2. Каноническое уравнение гиперболы ................................................... |
127 |
3.3. Форма гиперболы ................................................................................... |
129 |
3.4. Предварительное построение гиперболы ............................................ |
129 |
3.5. Асимптоты гиперболы........................................................................... |
130 |
3.6. Построение гиперболы .......................................................................... |
131 |
3.7. Эксцентриситет гиперболы................................................................... |
148 |
3.8. Фокальные радиусы гиперболы............................................................ |
149 |
3.9. Директрисы гиперболы ......................................................................... |
149 |
3.10. Касательная к гиперболе ..................................................................... |
154 |
3.11. Полярное уравнение гиперболы ......................................................... |
158 |
3.12. Гипербола в прикладных задачах....................................................... |
159 |
Контрольные вопросы .................................................................................. |
162 |
Упражнения ................................................................................................... |
163 |
Дополнительные упражнения ...................................................................... |
165 |
Прикладные задачи для самостоятельного решения................................. |
166 |
Индивидуальные задания ............................................................................. |
167 |
Тесты .............................................................................................................. |
187 |
Глава 4. Парабола........................................................................................... |
190 |
4.1. Определение параболы .......................................................................... |
190 |
4.2. Каноническое уравнение параболы ..................................................... |
190 |
4.3. Форма параболы ..................................................................................... |
191 |
4.4. Построение параболы ............................................................................ |
191 |
4.5. Эксцентриситет параболы..................................................................... |
194 |
4.6. Касательная к параболе ......................................................................... |
210 |
4.7. Полярное уравнение параболы ............................................................. |
215 |
4.8. Парабола в прикладных задачах........................................................... |
215 |
Контрольные вопросы .................................................................................. |
219 |
Упражнения ................................................................................................... |
220 |
Дополнительные упражнения ...................................................................... |
222 |
Прикладные задачи для самостоятельного решения................................. |
223 |
Индивидуальные задания ............................................................................. |
224 |
Тесты .............................................................................................................. |
243 |
Глава 5. Исследование общего уравнения кривой второго порядка ... |
245 |
5.1. Инварианты кривой второго порядка .................................................. |
245 |
5.2. Центр кривой второго порядка ............................................................. |
248 |
4 |
|
5.3. Приведение к каноническому виду центральной кривой второго |
|
порядка ........................................................................................................... |
252 |
5.4. Приведение к каноническому виду кривой второго порядка, не |
|
имеющей центра или имеющей бесконечно много центров .................... |
263 |
Контрольные вопросы .................................................................................. |
270 |
Упражнения ................................................................................................... |
271 |
Дополнительные упражнения ...................................................................... |
272 |
Индивидуальные задания ............................................................................. |
272 |
Тесты .............................................................................................................. |
275 |
Ответы .............................................................................................................. |
277 |
Ответы к Упражнениям ................................................................................ |
277 |
Ответы к Дополнительным упражнениям .................................................. |
296 |
Ответы к Прикладным задачам для самостоятельного решения ............. |
305 |
Ответы к Тестам ............................................................................................ |
306 |
Заключение .................................................................................................... |
308 |
Глоссарий ....................................................................................................... |
309 |
Список литературы ....................................................................................... |
310 |
5
Введение
Учебное пособие "Аналитическая геометрия. Кривые второго порядка" предназначено для организации учебной и самостоятельной работы, а также текущего и итогового контроля знаний и умений обучающихся ин- женерно-технических направлений подготовки бакалавриата по разделу Аналитическая геометрия дисциплин Математика и Высшая математика.
Цель учебного пособия состоит в доступном и наглядном изложении математического аппарата кривых второго порядка, необходимого инженеру для решения профессиональных задач.
В предлагаемом учебном пособии рассматриваются окружность, эллипс, гипербола и парабола, которые называют кривыми второго порядка, поскольку координаты любой точки кривой связаны алгебраическим уравнением второй степени.
Кривые второго порядка находят широкое применение в науке, технике и повседневной жизни. Так в машиностроении и приборостроении значительная часть деталей в поперечном сечении имеют эллипс. В связи с этим на различных этапах проектирования встаёт вопрос построения эллипса с заданным эксцентриситетом. В теории механизмов и машин рассматривается антипараллельный кривошип, где точка пересечения равных звеньев, в зависимости от закрепеления малого или большого звена, описывает эллипс или гиперболу. В строгальных и долбёжных станках, дыропробивочных прессах, формовочных машинах используются эллиптические колёса, обеспечивающие медленный, но мощный рабочий ход и быстрый холостой ход.
Поверхность Земли принимают за тело, называемое геоидом, для аппроксимации которого используют эллипсоид вращения, получаемый при вращении эллипса вокруг его малой оси. В математической картографии используют эллипс искажений или индикатрису Тиссо, позволяющую определить характер искажений в какой либо точке проекции.
Если вращать гиперболу вокруг её оси симметрии, не пресекающей её ветвей, то получится поверхность, называемая однополостным гиперболоидом. Русский инженер В. Г. Шухов предложил использовать эту поверхность в строительной технике. Конструкции, выполненные в виде однополостного гиперболоида являются наиболее прочными. При строительстве зданий и сооружений используются параболические арки. Так в некоторых арочных мостах несущая конструкция пролётного строения выполняется по параболической кривой.
Это лишь немногие факты, подтверждающие важную роль кривых второго порядка в подготовке инженеров, в частности инженеров для агропромышленного комплекса.
Содержание учебного пособия соответствует рабочей программе по дисциплине Математика для направлений подготовки: 35.03.06 Агроинженерия, 23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов, 21.03.02 Землеустройство и кадастры, 08.03.01 Строительство, 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих
6
производств; по дисциплине Высшая математика для направления подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность.
Изучение данного учебного пособия направлено на формирование следующих компетенций:
по направлению подготовки 35.03.06 Агроинженерия:
–способность к использованию основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности (ОПК-2);
–готовность к обработке результатов экспериментальных исследований (ПК-3);
по направлению подготовки 23.03.03 Эксплуатация транспортнотехнологических машин и комплексов:
–готовность применять систему фундаментальных знаний (математических, естественнонаучных, инженерных и экономических) для идентификации, формулирования и решения технических и технологических проблем эксплуатации транспортно-технологических машин и комплексов
(ОПК-3);
по направлению подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность:
–способность использовать законы и методы математики, естественных, гуманитарных и экономических наук при решении профессиональных задач (ПК-22);
по направлению подготовки 21.03.02 Землеустройство и кадастры:
–способность использовать основы экономических знаний в различных сферах деятельности (ОК-3);
–способность к самоорганизации и самообразованию (ОК-7);
по направлению подготовки 08.03.01 Строительство:
–способность решать задачи профессиональной деятельности на основе использования теоретических и практических основ естественных и технических наук, а также математического аппарата (ОПК-1);
–способность вести обработку, анализ и представление информации
впрофессиональной деятельности с использованием информационных и компьютерных технологий (ОПК-2);
по направлению подготовки 35.03.02 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств:
–способность применять систему фундаментальных знаний (математических, естественнонаучных, инженерных и экономических) для идентификации, формулирования и решения технологических проблем лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств (ОПК-2);
–способность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ПКП-5).
Врезультате изучения аналитической геометрии, в частности кривых второго порядка, обучающиеся должны:
знать
–уравнения, свойства и виды кривых второго порядка;
–возможности применения кривых второго порядка в различных сферах деятельности, в том числе технической;
7
уметь
–составлять уравнения кривых второго порядка по их заданным свойствам;
–выявлять свойства кривых второго порядка по их заданному урав-
нению;
–по заданному алгебраическому уравнению второй степени строить кривые второго порядка, определяемые этими уравнениями;
–уметь применять теорию кривых второго порядка к решению прикладных задач, в том числе задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера;
владеть
–техникой исследования свойств и вида кривых второго порядка.
Отличительная особенность данного учебного пособия от других учебных изданий состоит в ориентированности на обучающегося и на профессиональную деятельность инженера, что проявляется в следующем:
–доступность изложения материала, когда формирование основного понятия не ограничивается его строгим определением, а сопровождается подробными пояснениями;
–наглядность, когда изложение материала сопровождается большим числом пояснительных рисунков, особое внимание уделено построению кривых по их заданному каноническому уравнению;
–изложение материала сопровождается большим числом разнообразных примеров, упражнений и прикладных задач, в том числе задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера;
–индивидуальный подход к обучающимся, что проявляется в наличии трёхуровневых индивидуальных заданий и тестов;
–все примеры и упражнения упорядочены по принципу от простого
ксложному, что делает пособие доступным для обучающихся с различным уровнем математической подготовки.
Пособие состоит из пяти глав: окружность, эллипс, гипербола, парабола, исследование общего уравнения кривой второго порядка. Каждая глава содержит теоретический материал, контрольные вопросы, упражнения, дополнительные упражнения, прикладные задачи для самостоятельного решения, в том числе задачи, ориентированные на профессиональную деятельность инженера, индивидуальные задания и тесты. Теоретический материал сопровождается большим числом подробно разобранных примеров, фактами применения кривых второго порядка в науке, технике и повседневной жизни, подробным решением прикладных задач, в том числе задач, ориентированных на профессиональную деятельность инженера. К упражнениям, прикладным задачам для самостоятельного решения и тестам приведены ответы.
Прикладные задачи и факты применения кривых второго порядка в науке, технике и повседневной являются механизмом повышения мотивации обучающихся к изучению не только кривых второго порядка, но и в целом дисциплин Математика и Высшая математика, а также технических дисциплин.
8
Глава 1. Окружность
В этой главе будет рассмотрен такой простейший геометрический объект как окружность. Окружность – это линия, уравнение которой может
быть записано в виде 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + = 0, где , , ,
, , – некоторые числа, причём 2 + 2 + 2 ≠ 0 и − 2 > 0. Указанное уравнение является общим уравнением второй степени. Этому уравнению удовлетворяют координаты и любой точки, лежащей на окружности, и не удовлетворяют координаты и ни одной точки, не лежащей на окружности.
1.1. Определение окружности
Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой её центром. Пусть точка ( 0; 0) – центр окружности, – расстояние от любой точки окружности до её центра (это расстояние называют радиусом окружности), (; ) – произвольная точка окружности. Сделаем чертёж (рис. 1.1).
0
0
Рис. 1.1. Окружность с центром в точке (0; 0) радиуса
1.2. Каноническое уравнение окружности
По определению окружности = (рис. 1.1). Найдём по формуле расстояния между двумя точками: = √( 2 − 1)2 + ( 2 − 1)2, где
( 1; 1) – одна точка, ( 2; 2) – другая точка. В наших условиях 1 = 0,
1 = 0, 2 = , 2 = . Подставляем: √( − 0)2 + ( − 0)2 = . Возве-
дём обе части последнего равенства в квадрат:
( − ) + ( − ) = .
Полученное уравнение называется нормальным уравнением окруж-
ности.
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение
окружности принимает вид:
+ =
и называется каноническим (простейшим) уравнением окружности
(рис. 1.2).
9
Рис. 1.2. Окружность с центром в начале координат радиуса
Уравнение окружности с центром в точке ( 0; 0) можно привести к уравнению окружности с центром в начале координат с помощью формул
преобразования координат при параллельном сдвиге осей: { ′ = − 0,′ = − 0.
Здесь ( 0; 0) – новое начало координат; – старая система координат, ′ ′ – новая система координат; , – старые координаты; ′, ′
– новые координаты. Подставим в уравнение окружности с центром в точке( 0; 0) формулы преобразования координат. Получаем: ′2 + ′2 = 2
(рис. 1.3).
′
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
0 |
|
|
0
Рис. 1.3. Окружность с центром в точке (0; 0) радиуса
Пример 1.1. Составить каноническое или нормальное уравнение
окружности с центром в точке радиуса : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(0; 0), = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) |
|
2) (0; 0), = √14 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) (0; 0), = |
8 |
|
; |
|
4) (0; 0), = |
√7 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5) |
(−2; 5), = 6 ; |
6) (−1; −7), = √ |
3 |
; |
||||||||||||||||||
7) (8; −8), = |
|
5 |
; |
8) ( |
9 |
; − |
3 |
), = |
1 |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
4 |
|
|
6 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9) |
(−4; 0), = |
|
2 |
; |
10) (0; − |
18 |
), = |
9 |
. |
|||||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
Решение.
1)Воспользуемся каноническим уравнением окружности радиуса :
2 + 2 = 2. В условиях примера = 2. Подставляем это значение в ка-
ноническое уравнение окружности. Получаем: 2 + 2 = 22. Преобразуем:
2 + 2 = 4.
10