821
.pdfПреобразуем:
4 − 6√3 + 8 = 3 ( − 3+42√3), 8 − 12√3 + 16 = 3(2 − 3 − 4√3),
8 − 12√3 + 16 = 6 − 9 − 12√3, 6 − 8 − 25 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через точки 1 и 2, составлено. Сейчас можно найти расстояние от точки до хорды, используя формулу
нахождения расстояния от точки до прямой: = | 0+ 0+ | . Выражение
√ 2+ 2
под знаком модуля представляет собой левую часть общего уравнения прямой, в которую подставлены координаты точки. В знаменателе и – ко-
эффициенты при и в общем уравнении прямой. Подставляем: =
= |6∙6−8∙(−8)−25| = 75 = 7,5
√62+(−8)2 10 .
Ответ: 7,5.
Уравнение касательной к окружности с центром в произвольной точке.
Пусть точка 0( 0; 0) лежит на окружности ( − )2 + ( − )2 = = 2. Составим уравнение касательной к этой окружности в точке 0.
Решение аналогично составлению уравнения касательной к окружности с центром в начале координат. Касательную обозначим через 0, центр окружности обозначим через ( ; ). Через точку касания и центр окружности проведём прямую, которая, как известно из элементарной геометрии, перпендикулярна касательной. Эту прямую обозначим через . Выполним схематичный чертёж (рис. 1.22).
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.22. Вывод уравнения касательной к окружности |
||
( − )2 + ( − )2 |
= 2 |
Запишем угловой коэффициент прямой : = |
0− |
. Тогда угловой |
||||||||
0− |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
коэффициент перпендикулярной ей прямой 0: |
|
|||||||||
|
= − |
1 |
= − |
1 |
= − |
0− |
. |
|
||
|
− |
|
|
|||||||
0 |
|
0 |
|
− |
|
|||||
|
|
|
|
0− |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Составим уравнение касательной 0: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
31 |
|
|
− 0 = − 0− ( − 0).
0−
Преобразуем:
( 0 − )( − 0) = −( 0 − )( − 0),0 − 02 − + 0 + 0 − 02 − + 0 = 0,
0 − + 0 + 0 − + 0 = 02 + 02.
Так как точка 0( 0; 0) лежит на окружности ( − )2 + ( − )2 = = 2, то координаты точки удовлетворяют уравнению окружности. Полу-
чаем:
( 0 − )2 + ( 0 − )2 = 2.
Раскроем скобки и выразим 02 + 02:
02 − 2 0 + 2 + 02 − 2 0 + 2 = 2,02 + 02 = 2 + 2 0 − 2 + 2 0 − 2.
Подставляем полученное выражение:
0 − + 0 + 0 − + 0 = 2 + 2 0 − 2 + 2 0 − 2.
Преобразуем:
( 0 − − 0 + 2) + ( 0 − − 0 + 2) = 2, [( 0 − ) − ( 0 − )] + [( 0 − ) − ( 0 − )] = 2, ( 0 − )( − ) + ( 0 − )( − ) = 2.
Таким образом, уравнение касательной к окружности ( − )2 +
+( − )2 = 2 в точке 0( 0; 0) имеет вид:
( − )( − ) + ( − )( − ) = .
Пример 1.12. Составить уравнение касательной к окружности
( − 1)2 + ( + 4)2 = 34 в её точке (6; −1).
Решение. По условию дана окружность с центром в точке (1; −4), квадрат радиуса которой 2 = 34. Точка (6; −1) лежит на этой окружности. Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке
0( 0; 0) с центром в точке ( ; ) радиуса : ( 0 − )( − ) + +( 0 − )( − ) = 2. Подставляем: 0 = 6, 0 = −1, = 1, = −4, 2 =
34. Получаем: (6 − 1)( − 1) + (−1 − (−4))( − (−4)) = 34. Преобразуем: 5( − 1) + 3( + 4) = 34, 5 + 3 − 27 = 0.
Ответ: 5 + 3 − 27 = 0.
Пример. 1.13. Из точки (1; 6) проведены касательные к окружности2 + 2 + 2 − 19 = 0. Составить их уравнения.
Решение. Обозначим точки касания с окружностью через 1 и 2. Выполним схематичный чертёж (рис. 1.23).
Приведём уравнение окружности к нормальному виду. Сгруппируем
слагаемых с :
( 2 + 2 ) + 2 − 19 = 0.
Дополним выражение в скобках до полного квадрата:
[( 2 + 2 + 1) − 1] + 2 − 19 = 0.
Учитывая, что 2 + 2 + 1 = ( + 1)2, получаем:
[( + 1)2 − 1] + 2 − 19 = 0.
32
1
2
Рис. 1.23. Вывод уравнений касательных к окружности, проведённых из точки (к Примеру 1.13.)
Преобразуем:
( + 1)2 + 2 = 20.
Получили нормальное уравнение окружности с центром в точке
(−1; 0) радиуса = √20.
Далее воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точ-
ке 0( 0; 0) с центром в точке ( ; ) радиуса : ( 0 − )( − ) + +( 0 − )( − ) = 2. Здесь = −1, = 0, 2 = 20. Подставляем:
( 0 + 1)( + 1) + 0 = 20.
Так как точка (1; 6) лежит на касательной, то её координаты удовлетворяют уравнению касательной. В уравнение касательной вместо и подставляем координаты точки :
( 0 + 1) ∙ 2 + 6 0 = 20, 0 + 1 + 3 0 = 10, 0 + 3 0 = 9.
Пусть 0 и 0 – координаты точки 1, которая лежит на окружности. Поэтому координаты точки 1 должны удовлетворять уравнению окружности. Подставляем:
( + 1)2 + 2 = 20. |
|
|
||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
Решим совместно полученные уравнения: |
||||||||
{( |
0 + 3 0 = 9, |
|
|
|
|
|||
+ 1)2 + 2 = 20. |
|
|
||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
Выразим из первого уравнения 0: 0 |
= 9 − 3 0 и подставим полу- |
|||||||
ченное выражение во второе уравнение: |
|
|||||||
(9 − 3 + 1)2 + |
|
2 = 20. |
|
|||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
||||
(10 − 3 )2 |
|
+ 2 = 20, |
|
|
||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
100 − 60 |
+ 9 2 |
+ 2 |
= 20, |
|
||||
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
10 |
2 − 60 + 80 = 0, |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 − 6 + 8 = 0, |
|
|
|
|
|||
0 |
(1) |
0 |
|
(2) = 2. |
|
|
|
|
|
= 4, |
|
|
|
|
|||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
|
|
||
(1) |
= 9 − 3 ∙ 4 = −3, |
(2) = 9 − 3 ∙ 2 = 3. |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Таким образом, получаем следующие точки касания: |
||||||||
1(−3; 4), 2(3; 2). |
|
|
||||||
Составляем |
|
уравнения |
касательных. |
Подставляем в уравнение |
( 0 + 1)( + 1) + 0 = 20 координаты точки 1(−3;4): −2( + 1) +
33
+4 = 20. Преобразуем: −( + 1) + 2 = 10, − 2 + 11 = 0. Получили уравнение одной касательной.
Составим уравнение другой касательной. Подставляем в уравнение
( 0 + 1)( + 1) + 0 = 20 координаты точки 2(3; 2): 4( + 1) + 2 = = 20. Преобразуем: 2( + 1) + = 10, 2 + − 8 = 0. Получили уравне-
ние другой касательной.
Ответ: − 2 + 11 = 0, 2 + − 8 = 0.
1.4. Полярное уравнение окружности
Составим уравнение окружности в полярной системе координат.
Окружность радиуса с центром в полюсе.
Пусть центр окружности находится в полюсе, то есть в точке(0; 0), – радиус, ( ; ) – произвольная точка окружности (рис. 1.24).
( ; )
Рис. 1.24. Вывод уравнения окружности в полярной системе координат (окружность радиуса с центром в полюсе)
В этом случае любая точка окружности расположена на расстоянии от полюса, поэтому полярное уравнение окружности имеет вид:
= .
Полученное уравнение является полярным уравнением окружности радиуса с центром в полюсе.
Окружность радиуса с центром в точке ( ; 0).
Пусть ( ; 0) – центр окружности, – радиус, ( ; ) – произвольная точка окружности (рис. 1.25). Рассмотрим треугольник . Из точки проведём перпендикуляр к стороне . Основание перпендикуля-
ра обозначим через . В треугольнике : = − 0. Из треуголь- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ника : cos = cos( − ) = |
= |
2 |
= |
. Отсюда: |
||
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
2 |
= ( − ).
Полученное уравнение является полярным уравнением окружности радиуса с центром в точке ( ; 0).
Окружность радиуса с центром в точке ( 0; 0).
Пусть ( 0; 0) – центр окружности, – радиус, ( ; ) – произвольная точка окружности (рис. 1.26).
34
( ; )
|
|
|
|
|
|
|
|
(; 0) |
|
|
|
− 0 |
||
2 |
||||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 1.25. Вывод уравнения окружности в полярной системе координат (окружность радиуса с центром в точке ( ; 0))
0
( ; ) |
|
|
|
|
|
|
|
− 0 |
( |
0 |
; 0) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.26. Вывод уравнения окружности в полярной системе координат (окружность радиуса с центром в точке ( 0; 0))
Применим теорему косинусов для треугольника :
2 = 2 + 2 − 2 ∙ ∙ ∙ cos .
Подставляем значения: 2 = 2 + 02 − 20 cos( − 0). Преобразуем:
− ( − ) = − .
Полученное уравнение является полярным уравнением окружности радиуса с центром в точке ( 0; 0).
Пример. 1.14. Составить уравнение окружности в полярных координатах по заданному радиусу и полярным координатам центра окружно-
сти: |
1) = 1, (1; |
|
); 2) |
= 3, (3; − |
|
); 3) |
= 1, (1; |
|
); 4) |
= 2, |
||
2 |
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
(2; |
|
2 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
Решение. Воспользуемся полярным уравнением окружности
= 2 cos( − 0), где ( ; 0) – центр окружности, – радиус окружности, и – полярные координаты.
1)= 1, (1; 2).
Подставляем: = 2 ∙ 1 cos ( − 2) = 2 cos (2 − ) = 2 sin .
2)= 3, (3; − 2).
Подставляем: = 2 ∙ 3 cos ( − (− 2)) = 6 cos (2 + ) = −6 sin .
3)= 1, (1; 4).
Подставляем: = 2 ∙ 1 cos ( − 4) = 2 cos ( − 4).
4)= 2, (2; 23 ).
Подставляем: = 2 ∙ 2 cos ( − 23 ) = 4 cos ( − 23 ) =
=4 cos (23 − ) = 4 cos ( − 3 − ) = 4 cos ( − (3 + )) =
=−4 cos (3 + ).
Ответ: 1) = 2 sin ; 2) = −6 sin ; 3) = 2 cos ( − 4); 4) = −4 cos (3 + ).
1.5. Окружность в прикладных задачах
Окружность находит широкое применение в различных областях техники, в строительстве, архитектуре, повседневной жизни. В частности, в механике нередко рассматривается движение материальной точки по окружности; при строительстве туннеля его часть может представлять дугу окружности.
Задача 1.1. Под влиянием некоторой силы точка двигалась по окружности ( + 6)2 + ( + 1)2 = 52. Действие силы прервалось в тот момент, когда точка совпала с точкой (−2; −7). Определить дальнейшую траекторию подвижной точки. Указание. Дальнейшее движение точка продолжала по касательной к окружности в точке .
Решение. Согласно указанию к задаче, в момент прекращения действия силы точка продолжала свой путь по касательной к окружности в точке . Поэтому задача сводится к составлению уравнения касательной к окружности в точке .
Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке
0( 0; 0) с центром в точке ( ; ) радиуса : ( 0 − )( − ) + |
|||
+( |
− )( − ) = 2. По условию точка движется по окружности с цен- |
||
0 |
в точке (−6; −1), |
|
радиуса которой 2 = 52. Точка |
тром |
квадрат |
||
(−2; −7) лежит на этой окружности. |
|
||
|
В условиях задачи: |
= −2, |
= −7, = −6, = −1, 2 = 52. По- |
|
0 |
0 |
|
лучаем: (−2 + 6)( + 6) + (−7 + 1)( + 1) = 52. Преобразуем: 4( + 6) −
36
−6( + 1) = 52, 2 − 3 − 17 = 0. Ответ: 2 − 3 − 17 = 0.
Задача 1.2. Точка двигалась по окружности ( + 1)2 + ( − 1)2 = = 20. Потом с неё сорвалась и при дальнейшем свободном движении пересекла ось в точке (0; 9). Определить точку окружности, с которой сорвалась движущаяся точка. Указание. Дальнейшее движение точка продолжала по касательной к окружности, проведённой из точки .
Решение. Согласно указанию к задаче, в момент прекращения действия силы точка продолжала свой путь по касательной к окружности, проведённой из точки . Поэтому задача сводится к нахождению точки касания окружности с прямой, проведённой из точки .
Воспользуемся уравнением касательной к окружности в её точке
0( 0; 0) с центром в точке ( ; ) радиуса : ( 0 − )( − ) + +( 0 − )( − ) = 2. По условию точка движется по окружности с цен-
тром в точке (−1; 1), квадрат радиуса которой 2 = 20. Точка (0; 9) лежит вне этой окружности. В условиях задачи = −1, = 1, 2 = 20. Под-
ставляем:
( 0 + 1)( + 1) + ( 0 − 1)( − 1) = 20.
Так как точка (0; 9) лежит на касательной, то её координаты удовлетворяют уравнению касательной. В уравнение касательной вместо и
подставляем координаты точки :
( 0 + 1)(0 + 1) + ( 0 − 1)(9 − 1) = 20,0 + 1 + 8( 0 − 1) = 20,0 + 8 0 = 27.
Так как точка 0( 0; 0) лежит на окружности, то её координаты
удовлетворяют уравнению окружности. Подставляем:
( 0 + 1)2 + ( 0 − 1)2 = 20.
Решим совместно полученные уравнения:
{ 0 + 8 0 = 27, ( 0 + 1)2 + ( 0 − 1)2 = 20.
Выразим из первого уравнения 0: 0 = 27 − 8 0 и подставим полу-
ченное выражение во второе уравнение:
(27 − 8 0 + 1)2 + ( 0 − 1)2 = 20.
Преобразуем:
16(2 0 − 7)2 + ( 0 − 1)2 = 20, 64 02 − 448 0 + 784 + 02 − 2 0 + 1 = 20, 65 02 − 450 0 + 765 = 0, 13 02 − 90 0 + 153 = 0,
0(1) = 5113 , 0(2) = 3.
Тогда:
0(1) = 27 − 8 ∙ 5113 = − 5713 , 0(2) = 27 − 8 ∙ 3 = 3.
Таким образом, получаем следующие точки касания:
1 (− 5713 ; 5113), 2(3; 3). Ответ: 1 (− 5713 ; 5113), 2(3; 3).
37
Задача 1.3. На плане горной местности заданы две точки: (2; 2) и(16; 4). Через эти точки проходят две прямые, пересекающиеся в точке(10; 10). Точки и нужно соединить туннелем так, чтобы он составлялся из дуги окружности, проходящей через точку (8; 6), и отрезков прямых как касательных к этой окружности. Определить уравнение окружности.
Решение. Выполним схематичный чертёж (рис.1.27).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.27. Составление уравнения окружности, дуга которой является частью туннеля (к Примеру 1.17.)
Обозначим точки касания прямых с окружностью через и , центр окружности обозначим через ( ; ), радиус – . Для составления уравнения окружности нужно найти , , .
Сначала составим уравнения прямых, проходящих через точки и ,
и , используя уравнение прямой, проходящей через две точки: − 1 =
2− 1
= − 1 . Составим уравнения прямой, проходящей через точки и :
2− 1
−2 |
= |
|
−2 |
, − 2 = − 2, − = 0. Составим уравнения прямой, прохо- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
10−2 |
10−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
дящей через точки и : |
−10 |
|
= |
−10 |
, − 10 = −( − 10), + − 20 = |
||||||||||||||||
16−10 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4−10 |
||||||||
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Далее найдём длины отрезков и по формуле расстояния от |
|||||||||||||||||
точки до прямой: = |
| 0+ 0+ | |
. Найдём длину отрезка : | | = |
|||||||||||||||||||
√ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2+ 2 |
|
|
|||||||||||||||||||
= |
| − | |
|
. Найдём длину отрезка : | | = |
| + |
−20| |
. Учитывая, что длины |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√2 |
отрезков и равны радиусу окружности , составим два уравнения:
| − | = , | + −20| = .
√2 √2
Так как точка по условию лежит на окружности, то её координаты удовлетворяют уравнению окружности. Возьмём нормальное уравнение
окружности ( − )2 + ( − )2 = 2. Подставляем координаты точки :
(8 − )2 + (6 − )2 = 2.
Таким образом, можно составить систему из трёх уравнений с тремя неизвестными , , :
38
| − | = , √2
| + −20| = ,
√2
{(8 − )2 + (6 − )2 = 2.
Решением системы являются значения = 10, = 2(1 + √6), = √2(4 − √6).
Составляем уравнение окружности:
( − 10)2 + ( − 2 − 2√6)2 = 2(4 − √6)2. Ответ: ( − 10)2 + ( − 2 − 2√6)2 = 2(4 − √6)2.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение окружности.
2.Запишите нормальное уравнение окружности в прямоугольной системе координат. Постройте окружность.
3.Запишите каноническое уравнение окружности в прямоугольной системе координат. Постройте окружность.
4.Запишите условие касания прямой и окружности.
5.Запишите уравнение касательной к окружности с центром в начале координат.
6.Запишите уравнение касательной к окружности с центром в произвольной точке.
7.Запишите уравнение окружности в полярной системе коорди-
нат.
8.Постройте окружность в полярной системе координат.
Упражнения
1.Составить каноническое или нормальное уравнение окружно-
сти с центром в точке радиуса : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) (0; 0), = 4; |
2) (0; 0), = |
12 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(0; 0), = |
5√2 |
; |
|
|
|||||||||||||
3) |
(0; 0), = √11 |
; |
4) |
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
5) |
(−6; −1), = 2 ; |
6) |
(2; −3), = |
8 |
; |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
8) (− |
20 |
; |
17 |
), = 5; |
||||||||||||||||||
7) (0; 5), = √ |
3 |
; |
|||||||||||||||||||||
3 |
3 |
||||||||||||||||||||||
9) |
(9; 0), = 1; |
10) ( |
6 |
|
; − |
32 |
), = |
10 |
. |
||||||||||||||
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Дано каноническое или нормальное уравнение окружности.
Определить координаты её центра и радиус : |
|
|
|
||||||
1) 2 + 2 = 25; |
2) 2 + 2 = 10; |
|
|||||||
3) 2 + 2 = |
121 |
; |
4) |
2 + 2 = |
17 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||
16 |
|
|
3 |
|
20 |
|
|||
5) ( − 2)2 + ( − 4)2 = 4; |
6) |
( + 3)2 + ( − 6)2 = |
; |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
||
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
7) ( − 5)2 + 2 = 11; |
|
8) 2 + ( + 1)2 = |
5 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
)2 + |
( + |
9√ |
|
|
|
10) ( + |
21 |
)2 + ( + |
36 |
)2 = |
31 |
. |
|||||||||||||||
9) ( − |
16 |
2 |
= 2; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
7 |
|
17 |
|
|||||||||||
3. Построить окружность по её каноническому или нормальному |
|||||||||||||||||||||||||||||
уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) 2 + 2 = 25; |
|
2) ( + 1)2 + ( − 2)2 = 16; |
|||||||||||||||||||||||||||
3) ( − 4)2 + ( + 2)2 = 0; |
4) 2 + 2 = |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5) 2 + 2 = |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
6) ( + |
3 |
)2 + ( + 2)2 = 4; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
36 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7) 2 + 2 = 39; |
|
8) ( − 3)2 + ( − 3)2 = 9; |
|||||||||||||||||||||||||||
9) 2 + 2 = 0; |
|
|
|
|
|
|
10) ( + 1)2 + ( − |
|
1 |
)2 |
= |
1 |
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
4.Среди приведённых уравнений указать уравнения окружности,
найти центр и радиус каждой из них: |
|
|
||
1) 2 − 5 + 7 = 0; |
2) 2 − 2 = 1; |
|||
3) ( − 7)2 + ( + 2)2 = 16; |
4) ( + 2)2 + 2 = 64; |
|||
5) = |
5 |
; |
6) 2 + 2 − 2 + 4 − 20 = 0; |
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
7) 2 = − + 4; |
8) 2 + 2 − 2 + 4 + 14 = 0; |
|||
9) 2 + 2 + 4 − 2 + 5 = 0; |
10) |
= 2 − 7; |
||
11) 2 + 2 + = 0; |
12) |
2 + ( + 8)2 = 17. |
5.Построить окружность по заданному уравнению:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
= −√25 − 2 |
; |
|
2) |
= √16 − 2; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
= 15 + √64 − 2 |
; |
4) |
= −2 − √9 − 2; |
5) = −5 + √40 − 6 − 2
6.Установить, как расположена точка (1; −2) относительно
каждой из следующих окружностей – внутри, вне или на контуре:
1) 2 + 2 = 1; |
2) 2 + 2 = 5; |
3) ( + 2)2 + ( − 1)2 = 25; |
4) 2 + ( − 4)2 = 25; |
5) 2 + 2 − 8 − 4 − 5 = 0; |
6) 2 + 2 − 10 + 8 = 0. |
7.Найти координаты точек пересечения прямой и окружности:
1) − 2 − 1 = 0, 2 + 2 − 8 + 2 + 12 = 0; 2) − + 10 = 0, 2 + 2 − 1 = 0; 3) 2 − − 3 = 0, 2 + 2 − 3 + 2 − 3 = 0.
8.Составить уравнение касательной к окружности 2 + 2 = 5 в её точке (−1; 2).
9.Составить уравнение касательной к окружности ( + 2)2 +
( − 3)2 = 25 в её точке (−5; 7).
10.Из точки (53 ; − 53) проведены касательные к окружности 2 +
2 = 5. Составить их уравнения.
11. Из точки (4; −4) проведены касательные к окружности ( − 3)2 + ( + 1)2 = 5. Составить их уравнения.
40