1. Работа, кинетическая и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии в механике.

Механическая работа — это скалярная величина, прямо пропорциональна приложенной к телу силе и пройденному телом пути. . Работа силы при перемещении мат. точки равна приращению кинетической энергии этой точки.

Скорость совершения работы называется мощностью

Силы – консервативные/неконсервативные – (диссипативные/гироскопические)

Консервативные силы – это силы, которые зависят только от координат материальных точек; работа которых определяется только начальным и конечным положениями системы и не зависит от пути. Работа консервативных сил по замкнутому пути равна нулю.

Консервативная система – это система, в которой действуют только консервативные силы. Для консервативной системы A12 не зависит от пути 1 → 2 и поэтому можно определить функцию E: , где E – пот. энергия.

закон сохранения механической энергии для консервативных систем.

механическая энергия.

Потенциальная энергия – работа против силы тяжести при подъёме тела . Потенциальная энергия прямо пропорциональна высоте: чем выше расположено тело, тем больше его потенциальная энергия. Потенциальная энергия пружины . Пот. энергия гравитационного поля , для кулоновского поля.

Чтобы сообщить телу ускорение и заставить его двигаться с определенной скоростью, нужно совершить работу, запасающуюся в виде кинетической энергии тела: , где s – перемещение тела. Изменение величины скорости от до приводит к изменению кинетической энергии, которое записывается в виде: .

Закон изменения механической энергии (неофициально) . Для замкнутых систем сумма всех видов энергии (полная энергия) сохраняется .

Закон сохранения энергии(для замкн. систем) , где E – вид энергии.

2. Второе начало термодинамики. Равенство Клаузиуса и энтропия.

Рассмотрим схематически работу тепловой машины. В цилиндре машины помещается рабочее тело. Пусть на диаграмме VP точка, изображающая состояние газа, обходит цикл в направлении часовой стрелки. При выбранном направлении обхода работа, совершаемая газом, больше нуля. Согласно первому началу термодинамики . Так как внутренняя энергия есть функция состояния газа, то , и, следовательно, . Данный круговой процесс представляет собой схему работы любой тепловой машины, трансформирующий тепло в работу. КПД тепловой машины: . а) невозможно перевести тепло от менее нагретого тела к более нагретому телу без каких-либо иных изменений в природе; б) невозможно тепло, отнятое от некоторого тела, нацело превратить в работу без каких-либо иных изменений в природе.

Сумма бесконечно малых приведенных теплот в любом обратимом круговом процессе всегда равна нулю. Это равенство является математическим выражением второго закона термодинамики для обратимых круговых процессов и называется равенством Клаузиуса . C математической точки зрения, подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции , где T – температура окружающей среды, при которой она отдает системе тепло . Функция S является функцией состояния и называется энтропией. В термодинамике энтропия системы определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение ее не существенно, поскольку результаты зависят только от разности энтропий. Соотношение dS является главным следствием второго начала термодинамики.

Энтропией называется функция состояния термодинамической системы. Понятие абсолютной величины энтропии отсутствует. В любых процессах поддается определению только величина ее изменения.

В термодинамике величиной энтропии измеряется степень рассеяния, т.е. перехода в тепловую энергию, любого другого вида энергии, содержащейся в системе. Любая термодинамическая изолированная от внешнего мира система стремится к выравниванию температур всех ее частей, т.е. к максимальному возрастанию энтропии в ней. Система, имевшая не равновесное тепловое состояние, переходит к равновесному, когда процессы теплопередачи прекращаются.

Билет 14:

1. Момент импульса и момент силы относительно неподвижного начала. Уравнение моментов.

2. Гармонический осциллятор. Уравнение динамики гармонических колебаний. Примеры гармонических осцилляторов: пружинный, физический и математический маятники.

1. Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина М, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F.

Модуль момента силы: , L – плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина М_z, равная проекции на эту ось вектора M/момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

Найдем выражение для работы при вращении тела.

Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dφ точка приложения B проходит путь ds — rdφ и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Так как , то

— момент силы относительно оси z. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

, но , откуда

или , но так как , то

Это уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси ( – момент инерции относительно оси).

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

r – радиус-вектор, проведённый из точки А в точку О, p=mv – импульс материальной точки.

Модуль вектора момента импульса:

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса не зависит от положения точки О на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов

импульса отдельных частиц:

Так как , то

Продифференцируем:

(уравнение импульсов)

2. Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида:

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный,

физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений можно было бы считать линейными.

Динамическое уравнение гармонических колебаний:

Виды гармонических осцилляторов:

1. Пружинный маятник — это груз

массой m, подвешенный на абсолютно

упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием

упругой силы F = -kx, где k — жесткость пружины.

Эти формулы справедливы для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука.

2) Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием

силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс тела.

J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О; I — расстояние между ней и центром масс маятника, силы трения нет.

При малом угле отклонения

– приведённая длина физического маятника

Точка называется центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим

т.е. 00' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О'

обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в

центр качаний, то прежняя точка О подвеса станет новым центром качаний, и

период колебаний физического маятника не изменится.

2. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Момент инерции математического маятника

приведенная длина физического маятника — это длина

такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с

периодом колебаний данного физического маятника.

Билет 15:

Уравнение моментов. Пусть положение некоторой материальной точки относительно точки O принятой за начало, характеризуется радиус-вектором r.

L = r * p – моментом импульса материальной точки относительно O.

M = r * F – моментом силы, действующей на материальную точку, относительно точки O.

П родифференцируем момент импульса по времени: , так как и являются коллинеарными векторами. В результате уравнение приобретает вид:

= M – уравнение моментов.

Закон сохранения момента импульса. Рассмотрим систему материальных точек.

L = ∑L_i – момент импульса системы.

M = ∑M_i – момент силы действующий на систему.

В силу третьего закона Ньютона выражение ∑M_i⁽ⁱ⁾ упрощается, поскольку моменты всех внутренних сил взаимно уничтожаются.

= – уравнение моментов (для системы)

Для изолированных систем момент внешних сил = 0 и уравнение моментов принимает вид:

= 0 или L = const.

L = const – Закон сохранения момента импульса (для системы)

Это равенство выражает закон сохранения момента импульса: момент импульса изолированной системы не изменяется при любых процессах, происходящих внутри системы.

Законы сохранения для отдельных компонент. Уравнения для импульса и для момента импульса системы являются векторными уравнениями. Это значит, что векторное уравнение расписывается в виде системы трех уравнений – по одному для каждой компоненты. Рассмотрим следствия этого обстоятельства на примере уравнения моментов.

М ожет случиться, что система не является полностью изолированной, но в некотором направлении, например, вдоль оси z, компонента момента сил равна нулю. Тогда уравнение моментов запишется в компонентах:

Последнее уравнение дает, что позволяет считать систему изолированной в отношении z-ой компоненты момента импульса.

Поэтому закон сохранения импульса и момента импульса можно применять не только к полностью изолированным системам, но и к частично изолированным.

2) Вынуждены колебания - колебания, которые совершаются под действием периодически действующих внешних сил.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: F = F₀cos( t)

В случае действия внешней силы уравнение движения линейного осциллятора принимает вид:

m = - kx - b + F₀cos( t) | : m

+ 2 + = (F₀ / m)cos( t) – неоднородное дифференциальное уравнение, где = b/2m и = k / m.

Согласно теории дифференциальных уравнений, решение имеет вид: x(t) = x₀(t) + x₁(t)

x₀(t) – общее решение однородного уравнения

x₁(t) – частное решение неоднородного уравнения

Решение однородного уравнения, как было установлено ранее, является затухающими колебаниями. Поэтому, каковы бы ни были условия в момент начала действия внешней силы, после некоторого промежутка времени осциллятор будет совершать установившееся движение. Это движение описывается частным решением и, как будет показано ниже, представляет собой гармонические колебания.

Переходный режим – процесс установления колебаний. Его продолжительность (время релаксации) определяется временем затухания колебаний, которые имелись в момент начала действия внешней силы.

Это время определяется коэффициентом затухания и равно t = 1 / .

Будем считать, что сила F действует достаточно долго, чтобы движение системы установилось. Уравнение (1) преобразуем в комплексное уравнение: + 2 + = (F₀ / m)^iωt (2)

Решение которого будем искать в виде: x = Ae^iβt

Подставляя эту зависимость в (2), получим: Ae^iβt(- β² + 2i ) = (F₀ / m)e^iωt .

Равенство должно выполняться для всех моментов времени. Из этого требования следует β = , и соответственно для величины A получаем выражение: A = (F₀ / m) * 1 / - + 2i ) = (F₀ / m) * - - 2i ) / - )² + 4 ² )

Комплексную величину A удобнее представит в экспоненциальной форме:

A = A₀e^iφ

A₀ = (F₀ / m) * 1 / ( - )² + 4 ² )^0.5) – Амплитуда (3)

Φ = arctg(2 ) – фаза вынужденных колебаний

Следовательно, комплексное решение (2) имеет вид: x = A₀e^{i(ωt + φ)}, а его действительная часть дает решение уравнения (1): x = A₀cos(ωt + φ)

Таким образом, под влиянием внешней гармонической силы осциллятор совершает вынужденные гармонические колебания с частотой этой силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты внешней силы в предположении малости силы трения .

Случай 1.  . Из (3) следует: A₀ ≈ (F₀ / m ) = (F₀ / k), φ ≈ 0, на этом основании, закон движения имеет вид: x = (F₀ / k) cos( t)

Решение такого вида получается, если исключить в левой части (1) первое и второе слагаемое x = (F₀ / m ) cos( t).

Смысл полученного результата: при малой частоте внешняя сила действует на систему аналогично постоянной внешней силе. На малых частотах инерционность осциллятора и сила трения незначительны, поэтому характер движения определяет сила упругости.

Случай 2.  . Из (3) следует: A₀ ≈ F₀ / m , φ ≈ , следовательно, движение происходит по закону: x = - (F₀ / m ) cos( t).

Решение такого вида получается, если исключить в левой части (1) второе и третье слагаемое ≈ (F₀ / m)cos( t). Таким образом, при быстро осциллирующей силе инерционные свойства системы становятся преобладающими – сила упругости и трение не оказывают заметного влияния на характер ее движения, а инертность наоборот.

Случай 3.  . Это есть случай резонанса. При резонансе амплитуда имеет максимальное значение.

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды установившихся вынужденных колебаний до максимального значения, которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам), определяемым свойствами системы. Увеличение амплитуды — это лишь следствие резонанса, а причина — совпадение внешней (возбуждающей) частоты с внутренней (собственной) частотой колебательной системы. При помощи явления резонанса можно выделить и/или усилить даже весьма слабые периодические колебания.

A₀ = (F₀ / m) * (1 / (2 ₀)), = - / 2.

Для гармонического закона изменения величины x ее вторая производная = - . Поэтому, при сумма двух первых слагаемых в (1) равна нулю – + = 0, и тогда уравнение (1) сводится к уравнению: 2 = (F₀ / m)cos( t). Его решение: x = (F₀ / 2m ₀)sin ₀t).

Таким образом, при резонансе ускорение системы обеспечивает сила упругости, а внешняя сила идет на преодоление силы трения.

Добротность — величина, показывающая рост амплитуды колебаний осциллятора в резонансе в сравнении со статическим ее значением.

Q = A_стат./A_рез. = (F₀ / 2m ) / (F₀ / m) = / = 2 / => Q = / = * N_e

Избирательность (ширина резонансной кривой) -  расстояние в частотах между двумя точками, в которых квадрат амплитуды относительно резонансного значения убывает в два раза. Изменение амплитуды происходит в основном вблизи резонансной частоты , в интервале шириной порядка нескольких . Это позволяет привести выражение для к удобному для анализа виду:

= (F₀ / m)² * 1 / - )² + 4 ² ) ≈ (F₀ / m)² * 1 / ( 4 ² ) * 1 / (1 + ( )²), где .

Видно, что уменьшение квадрата амплитуды в два раза будет при значениях = . Следовательно, _рез = 2 , т.е. чем меньше затухание, тем меньше ширина и острее резонансная кривая. Последнюю формулу выражаем через добротность. На основании соотношения Q = / получаем: _рез = / Q.

Билет 16:

1. Момент импульса и момент силы относительно неподвижной оси. Уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси.

1.1. Момент силы относительно оси есть проекция на эту ось момента силы относительно точки, лежащей на этой оси.:

Модуль момента силы равен M = lF, где l = rsina – плечо вектора силы F относительно точки О

1.2. Момент импульса материальной точки относительно точки O - это векторная величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора, проведенного из точки О к материальной точке, на вектор импульса

1.3.

2. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Критическое состояние вещества.

2.1. Уравнение Ван-дер-Ваальса – это уравнение состояния реального газа. Оно не является единственным уравнением, характеризующим состояние газа. Таких уравнений предложено более семидесяти. Уравнение Ван-дер-Ваальса является наиболее удачным из всех этих уравнений. Оно, в общем, правильно передает зависимость давления от объема для реального газа. В него входят всего три константы, одна из которых является универсальной газовой постоянной R. В дальнейшем (для упрощения вычислений) будем рассматривать только один моль газа.

2.2.

Билет 17:

Момент инерции. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия твердого тела.

Момент инерции – мера инертности твёрдых тел при вращательном движении.

Момент инерции МТ относительно оси – величина, равная произведению массы МТ на квадрат расстояния до оси вращения.

J = m*

Моменты инерции нек-ых тел :

КОЛЬЦО :

ДИСК (ЦИЛИНДР) :

СФЕРА :

ШАР :

ОДНОРОДНЫЙ СТЕРЖЕНЬ :

Теорема Штейнера :

Кинетическая энергия твёрдого тела – сумма кинетических энергий твёрдого тела при поступательном и вращательном движениях.

, где v_C – скорость центра масс, J_C – момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс