Искомая вероятность:.

Пример 2(социология) В группе 5 негров,5 азиатов, 5 латиноамер.,5 белых Если три человека выбраны наугад, то чему равна вероятность того, что по крайней мере один из них является негром?

Решение: А – искомое событие, состоит из следующих несовместных между собой событий: в подгруппе- 1 негр или два негра или три негра, т.е. используя теорему сложения вероятностей несовместных событий мы можем определить вероятность события А. Но, есть более короткий путь: обозначим противоположное событие

Пример 3 ( маркетинг)Если 60% клиентов универмага – женщины ,75% женщин имеют свой счет в магазине, какова вероятность того, что наугад выбранный клиент окажется женщиной, имеющей счет в магазине?

Решение: Обозначим событие F-клиент женщина, С – клиент, имеющий счет.P(F)=0.6,P(C/F)=0.75, Потеореме умножения вероятностей зависимых событийP(FC)=P(F)*P(C/F)=0.6*0.75=0.45.

Пример 4 (медицина). При обследовании больного имеется подозрение на одно из двух заболеваний В1 и В2. Их вероятности в данных условиях; Р(В1)=0,6;Р(В2)=0,4. Для уточнения диагноза назначается анализ, результатом которого является положительная или отрицательная реакция. В случае болезни В1 вероятность положительной реакции равна 0,9;отрицательной -0,1. В случае болезни В2 положительная и отрицательная реакция равновероятны. Анализ произвели дважды и оба раза реакция отрицательна (событие А). Требуется найти вероятность каждого заболевания после проведения анализов.

Решение: В случае заболевания В1 событие А (отрицательная .реакция дважды) происходит с вероятностью Р(А/В1)=0,1*0,1=0,01, в случае болезни В2 событие А происходит с вероятностью Р(А/В2)=0,5*0,5=0,25. По формуле Байеса Р(В1/А)= (Р(А/В1)*Р(В1))/Р(А)= 0,01*0,6/(0,01*0,6+0,25*0,4)=0,0566, Р(В2/А)=0,25*0,4/0,106=0,943, сл-но, на 94,3% есть основания полагать заболевание В2.

Пример5(медицина) Медиками установлено, что 94% лиц, которым сделали прививки против туберкулеза ,отличаются иммунитетом против этого заболевания. Какова вероятность того, что среди 100 000 граждан, получивших прививки 5800 не защищены от заболевания туберкулезом?

Решение: Т.к.nдостаточно великоn=100 000, то для приближенного вычисления искомой вероятности применимлокальную теорему Лапласа,k= 5800,p= 0.06,q=0.94, √npq≈ 75;x= (5800 - 6000 )/75= -2.7 .В силу четности функцииφ(-x)=φ(x)=φ(2.7)=0.0104(из таблицы).

.

Пример 6: Двоечник сдает экзамен-тест, состоящий из 5 вопросов с 5 альтернативными ответами на каждый ,один из которых правильный. Найти закон распределения СВХ – число правильных ответов, распределение которой подчиняется биномиальному закону:1)в каждом испытании – вопросе возможны только два исхода: правильный ответ и неправильный,2) все испытания независимы друг от друга 3)вероятность появления правильного ответа постоянна и равна 1/5.

Решение: Вероятность каждого возможного значения х СВХ вычисляется по формуле:

Закон распределения СВХ имеет вид:

X	0	1	2	3	4	5
p	0.328	0.41	0.205	0.051	0.0064	0.00032

Пример 7: (оценка финансового риска).Пусть задан закон распределения возможного чистого дохода т.е. соответствие возможных значений чистого дохода и их вероятностей для двух альтернативных вариантов вложения инвестиций

Чистый доход Х (тыс.тенге)	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
Вероятность дохода при варианте 1	0	0	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2	0
Вероятность дохода при варианте 2	0,05	0,05	0,1	0,1	0,15	0,3	0,2	0,05

Определим числовые характеристики СВ-чистого дохода Х :вариант 1-M(X)=(-3)*0+(-2)*0+(-1)*0,1+0*0,2+1*0,3+2*0,2+3*0,2+4*0=1,2; M(X²)= 3; D(X)= M(X²) –M²(X) =1,56; σ(X)=1,25

Аналогично, вариант 2: M(X)=1,2 тысяч тенге, D(X)=3,16, σ(X)=1,77 тыс.тенге

Если принимать во внимание только ожидаемый доход, то средний ожидаемый доход для двух вариантов одинаков, но при принятии решений следует обязательно учитывать риск, связанный с инвестициями – это возможные отклонения от ожидаемой прибыли –“разброс”, который определяется дисперсией или среднеквадратичным отклонением. Риск для первого проекта существенно меньше, следовательно, он предпочтительнее. Пример 8: Два менеджера ездят на работу различными путями , у первого дорога отнимает 20-25 мин., у второго-20-30 мин. Любое время на дорогу в этих пределах равновероятно. Пусть Х-время на дорогу i-го менеджера.. Очевидно, что Х_i- непрерывная и равномерно распределенная СВ. Вычислить их числовые характеристики.

Решение ДЗ[20]7,20,55,82,92,101,115,122,126,146.ДЗ [20] 168,191,214,257,265,269,279,330

Осн. лит: 19 [67-92],[105-117], [121-150], 21 [99-131] [148-161]

Контрольные вопросы

1. Числовые характеристики случайных величин и их свойства.

2. Сформулируйте неравенство и теорему Чебышева.

3. Приведите формулы Бернулли, Муавра-Лапласа.

4. Опишите нормально распределенную случайную величину и ее характеристики.