Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Задания. АЗ-2.2 [14] часть 1, №№1-7, АЗ-2.3 [14], №№1-7.

Методические рекомендации. При нахождении решения линейного уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка надо знать их типы:

1. Общее решение уравнения виданаходим методомn-кратного интегрирования. Послеn-кратного интегрирования получаем общее решение уравнения.

2. Пусть дифференциальное уравнениеn-гопорядка не содержит искомой функции и ее производных до(к-1) –го порядка включительно. Вводим новую известную функциюz(x)по формулеz=y^(k).

3. Дифференциальное уравнениеn-го порядка, не содержащее явно аргументx. В этом случае порядок уравнения всегда можно понизить на единицу, введя новую функциюp(y)=y^\

Пример 1. Найти общее решение уравнения.

Согласно формуле и правилам интегрирования, имеем

.

Далее в соответствии с решением находим

Проинтегрировав последнее равенство еще два раза, получим общее уравнение исходного уравнения

,

Осн. лит. 14, часть 2, [259-264]

Доп. лит. 29, [330-342], [344-350].

Контрольные вопросы:

1. Укажите типы уравнений высших порядков, допускающие понижение порядка.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Практическое занятие №7. Понятие ряда и его сходимости. Признаки сходимости. Степенные ряды

Задания: А3 [14] 12.1 (1-4),12.2 (1-4). АЗ: [14] 12.3 (1-3)

Методические рекомендации. Исследование на сходимость ряда предполагает использование одного из основных признаков сходимости ряда: Даламбера, Коши, сравнения рядов с рядом Дирихле или другими известными рядами, сходимость или расходимость которых заранее известно, Лейбница (для знакочередующего ряда). Необходимо повторить основные приемы нахождения пределов. Эти же приемы используются при нахождении радиуса сходимости степенного ряда. Сумму ряда находят с помощью частичных сумм ряда или использованием формул прогрессии. Для нахождения суммы степенных рядов часто применяют метод дифференцирования и интегрирования членов ряда. Для разложения функции в ряд Тейлора применяется повторное дифференцирование функции и нахождение ее значения в точке. При разложении в ряд Фурье используются основные свойства и методы интегрального исчисления такие как, например, метод замены переменной, интегрирование по частям и др.

Пример..

Решение. Рассмотрим,.

Следовательно, ряд расходится по необходимому признаку сходимости.

Пример. .

Решение. Для данного ряда=,и

найдем предел:

===.

Итак, , тогда по признаку Даламбера ряд сходится.

Пример. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать на концах интервала сходимости.

Решение. Имеем . Тогда радиус сходимости==;

(–1,1) – интервал сходимости. Пусть , тогда ряд примет вид:.

Этот ряд сходится условно, так как ряд =расходится и а); б). Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При ряд примет вид, который расходится (гармонический ряд). Итак, данный ряд сходится абсолютно при, сходится условно при.

Осн. лит.: [2] Глава 9. стр.376-403, [5] Глава 11. стр.636-653.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение сходимости числового ряда.

2. В чем заключается необходимый признак сходимости числового ряда?

3. Какие достаточные признаки сходимости вы знаете?

4. Каковы условия признака Лейбница? К каким рядам применяется признак Лейбница?

5. Дайте определение абсолютной и условной сходимости.

Практическое занятие № 8. Основные теоремы теории вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. Повторение испытаний. Случайные величины (СВ) и их числовые характеристики.

АЗ. [20] 5, 12, 14, 18, 50,51, 65, 81,91,98,112,,121,126,146.

АЗ [20] 167,188,211,256,263,268,276,329

Пример 1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления 1)красного шара; 2) некрасного шара; 3) черного шара; 4) нечерного шара; 5) цветного шара.

Решение.1) Вероятность появления красного шара (событие ).

2) Вероятность появления некрасного шара (событие, противоположное предыдущему - ): или=1 – Р(А) =1 -=

3) Вероятность появления черного шара ( невозможное событие V):.

4) Вероятность появления нечерного шара (достоверное событие U ): .

5)Появление цветного шара означает поя­вление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие ).

Вероятность появления синего шара (событие ).

События и несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому применима. теорема сложения вероятностей несовместных событий.