равномернее будет вращаться вал машины, что видно из урав­ нения (4.53), решенного относительно 6 :

Аккумулирующая способность маховика используется не только для обеспечения допустимой неравномерности хода ма­ шин. Так, в автомашинах маховик содействует троганию ав­ томобиля с места. Маховики применяют в машинах ударно­ го действия — молотах, прокатных станах, и др. В настоя­ щее время разрабатывают проекты транспортных машин, в которых маховик — механический аккумулятор — будет ис­ пользоваться как экологически чистый и автономный источник энергии.

Выше было изложено решение задачи динамического син­ теза, состоящей в определении момента инерции маховика «/мх, обеспечивающего требуемое условие движения, заданное коэф­ фициентом неравномерности [6]. Теперь решим задачу дина­ мического анализа, обратную по отношению к задаче синтеза: зная JMX, надо определить закон движения механизма, а за­ тем фактическое значение 6. Для этого должен быть задан момент инерции маховика JMX, а также размеры, массы, мо­ менты инерции всех звеньев механизма, шср и механические характеристики. При решении задачи анализа, как и синтеза, используется диаграмма которая строится на основе метода Мерцалова (см. рис. 4.16) при условии заведомо малой

рис. 4.16, г показана штрихами). Относительно этой новой оси кривая изобразит изменение кинетической энергии Д2|, кото­ рое выражается так:

Так как неравномерность вращения начального звена за­ ведомо мала. то можно принять {щ + ^Нач)/2 ~ ы>срТогда,

Цю=... ммДрад с 1)

Но Jjnpo;Cp = const. Следовательно, при установившемся дви­ жении с малым значением коэффициента неравномерности 6 изменение кинетической энергии АТ\ приблизительно пропор­ ционально изменению Аш\ угловой скорости начального звена. Кривая на рис. 4.16, г одновременно изображает как ATi(</?i), так и Au>i((pi), но в разных масштабах; соотношение между масштабами таково: /хы = M TI^W p- График Aui(ipi) изо­ бражен на рис. 4.17.

Коэффициент неравномерности 6 определяют по формуле

6 = ^max “ ^min

k>cp ^ср

Угловое ускорение £\ начального звена при установившем­ ся движении подсчитывают по уравнению (4.33), в котором

так, как указано в § 4.4. Нужно учитывать знак величин М£р

<4 ?

иа VI

Угловое ускорение начального звена можно также выра­ зить следующим образом:

dwj

£1 = df

В этом случае £\ определяют по диаграмме u\{ip\) (см. рис. 4.17), применяя графическое или численное дифференци­ рование.

4.10. Динамический анализ и синтез с учетом влияния скорости на действующие силы

Для динамического анализа и синтеза, сделанного в § 4.9 по методу Мерцалова, характерен неучет влияния скорости на действующие силы и моменты. Так, в примере проектирова­ ния маховика для ДВС (см. § 4.9) момент сопротивления элек­ трогенератора был задан в виде характеристики Мрм(</?) (см. рис. 1.9, б), а не характеристики Мрм(и) (см. рис. 1.7). Такой же неучет влияния скорости свойствен и некоторым другим методам динамического синтеза (например, методам Артобо­ левского, Виттенбауэра [1, 3, 15]).

Пренебрежение влиянием скорости на силы и моменты до­ пустимо по той причине, что скорость начального звена вслед­ ствие малой неравномерности его вращения отклоняется от своего среднего значения в большинстве случаев не более чем на ±3 % (см. § 4.8). Поэтому изменения сил и моментов, при­ ложенных к начальному звену и зависящих от скорости, также будут небольшими, и ими можно пренебречь.

Однако существуют машины, в которых влияние скорости на силы и моменты выражено очень сильно. К ним относятся, как известно (см. § 1.3), асинхронные и шунтовые двигатели, получившие наиболее широкое распространение в промышлен­ ном электроприводе. Механические характеристики этих ма­ шин — в их рабочей части — представляют собой практически прямую линию, расположенную почти вертикально (например, рис. 1.5, 1.10, б). Это значит, что даже небольшие колебания угловой скорости вызывают заметные изменения движущего момента. Поэтому следует ожидать, что резко выраженная зависимость момента от скорости должна оказать влияние на результаты динамического анализа и синтеза.

Рассмотрим машинный агрегат, работающий в устано­ вившемся режиме и состоящий из роторного двигателя ДВ, передачи П и рабочей машины РМ, механизм которой много­ звенный рычажный (см. рис. 1.1). Примем вал РМ за началь­ ное звено и к нему приведем силы и массы.

Рис. 4.18

Пусть механическая характеристика двигателя изобра­ жается ниспадающей прямой Мдв(и>дв). Приведенный движу­ щий момент* подсчитаем по уравнению Мд = Мдви, где и = и>дв/и> = const, а и = и?м. Поэтому график Мд(и>) изо­ бразится также ниспадающей прямой:

(рис. 4.18, а). Чем больше коэффициент 5 , тем круче спад ха­ рактеристики, тем резче выражена зависимость момента Мд от скорости и. Напомним, что момент роторного двигателя Мдв = invar(<£>) (см. § 1.3).

Приведенный момент сопротивления обозначим Мм; у многих технологических машин он существенно зависит от

* Для упрощения записи здесь и далее опускаем значок « пр » при при­ веденных моментах и приведенных моментах инерции, а также номер 1 начального звена в обозначении его координаты </?, угловой скорости и/ и углового ускорения е.

поэтому произведение |</сш|, составленное из малой величины |w и заведомо большой Jc, отнюдь не мало.

Разложим вынуждающий момент Lv(ip) в ряд Фурье:

В ряду оставим только 1-ю гармонику Lvь поскольку доста­ точно часто именно она бывает наиболее влиятельной. Тогда Lv{<p) а cos tp. Так как при вращении с малой неравномер­ ностью Ifi ~ CJCptf, то

Lv{p) a LVl(ip) = Lki cos(wcp<) = LVl(t).

Решим задачу динамического анализа, т.е. по известным силовым воздействиям Мд и Мм и динамическим параметрам механизма Jc и J!v определим закон его движения. Для этого подставим выражение LVl(t) в уравнение (4.61):

Напомним, что Ммс < 0. График колебаний угловой скорости вала рабочей машины относительно ее среднего уровня изобра­ жен на рис. 4.19, а.

Используя уравнения (4.49) и (4.64), определим коэффици­

Рис. 4.19

Таким образом, движущий момент в течение цикла будет изме­ няться по гармоническому закону, колеблясь около своего сред­ него значения Мдср = А - Виср. Используя (4.65), заключа­ ем, что это среднее значение равно модулю среднего значения |AfMC|момента сопротивления, что и следовало ожидать, имея в виду установившийся режим движения. Амплитуда колебаний движущего момента выразится так:

Результаты, представленные уравнениями (4.64) и (4.68), можно уточнить, если проделать аналогичные действия, взяв 2-ю гармонику Lv2 ряда Фурье (4.62), затем 3-ю Lv3 и т.д., и, используя принцип суперпозиции, все полученные решения ал­

Нетрудно заметить, что заштрихованная площадка, рас­ положенная между точками N и Q (рис. 4.19, б), изображает избыточную работу движущего момента, которая воплощается

ческой энергии, заключенной в маховой массе Jc. Рассмотрим, как влияет крутизна характеристики MR(u)

(см. рис. 4.18, а), выражаемая в уравнении Мд — А —Вш коэф­ фициентом В , на угловую скорость и движущий момент, изо­ браженные на рис. 4.19, а, б кривыми и((р) и MR(ip).

При 5 = 0 движущий момент Мд не зависит от ско­ рости. При этом изменения угловой скорости и вала рабо­ чей машины будут происходить с наибольшей амплитудой ид\ = L /(JсиСр) (см. (4.64)), так что коэффициент нерав­ номерности 8 будет наибольшим (см. (4.67)). При 5 = 0 угол ту (см. рис. 4.19) запаздывания движущего момента Мд по отношению к нагрузочному моменту |МН|будет равен 90° (см. (4.71)). Движущий момент Мд = А = const (см. (4.68)), его амплитуда Млд\ = 0 (см. (4.69)); момент MR(ip) изобра­ зится горизонтальной прямой (штрихпунктир на рис. 4.19).

При 5 > 0 характеристика MR{u) — уже ниспадающая линия, и тем круче, чем больше 5 . Если 5 > 0 , то при увели­ чении угловой скорости и момент Мд уменьшается и тем ин­ тенсивнее, чем больше 5. Чем больше 5 , тем меньше ампли­ туда uj4 ], т.е. тем меньше размах колебаний, следовательно, меньше коэффициент неравномерности <5. Заметим, что если при 5 = 0 коэффициент 8 обратно пропорционален Jjnp (см. (4-57)), то при 5 > 0 зависимость коэффициента 8 от момента инерции Jc маховых масс гораздо более сложная (см (4.67)).

Чем больше 5 , тем больше Мдд !, и тем меньше угол за­ паздывания ту. Иными словами, с увеличением 5 (т.е. при увеличении крутизны характеристики MR(u)) график Мд(у>) будет приближаться к графику Укажем, что такой результат о сближении графиков справедлив при любой зави­ симости \Мн(<р)\уа, не только при гармонической. Это связано с тем, что двигатель, обладающий нисходящей характеристи­ кой (5 > 0), отслеживает всякое изменение нагрузки и при увеличении 5 стремится приблизить текущее значение Мд к текущему значению |МН|.

Если коэффициент В неограниченно увеличивать (В —> —> оо), то в пределе характеристика двигателя будет верти­ кальной — абсолютно жесткой. Такой характеристикой обла­ дают синхронные двигатели переменного тока, применяемые в различных агрегатах, особенно в агрегатах большой мощно­ сти. При В -> оо в пределе получим и)д\ = 0, и = о;ср = const.

так что графики Мд и |МН|сольются: двигатель будет точно отслеживать все изменения нагрузки |МН|(в том числе и не­ гармонические), подгоняя под них свой движущий момент Мд.

Чем жестче характеристика Мд(и>) (чем больше Б), тем ближе кривые Мл((р) и \MK(ip)\ Друг к другу, тем меньше за­ штрихованная площадка (см. рис. 4.19, б). Следовательно, при приближении характеристики Мд(и>) к вертикали уменьшает­ ся тот наибольший перепад кинетической энергии (ДТС)Нб? ко­ торый должна воспринять маховая масса Jc-

Сделав этот важный вывод, перейдем к решению задачи динамического синтеза, т.е. к определению момента инерции 7С, обеспечивающего заданный коэффициент неравномерности [£]. Для этого из уравнения (4.67) определим искомую величи­ ну Jc-

(4.72)

Напомним, что уравнение (4.72) составлено для случая, когда вынуждающий момент Lv(ip) = LAi cos<p.

Если расчет маховика ведется классическими методами Мерцалова, Виттенбауэра, Артоболевского, т.е. не учитыва­ ется влияние скорости на Мд, то В = 0 (см. уравнение (4.58)). Тогда из уравнения (4.72) получим Jc = Jcо = 2LA\l([b]u%v), где 2 LAI = (ДТс)нб — тот наибольший перепад кинетической энергии, который получается при В = 0 и вынуждающем мо­ менте Lv(ip) = LAI cos (р.

Преобразуем подкоренное выражение в уравнении (4.72). Для этого введем коэффициент крутизны к = и>ср/И) (см. рис. 4.18, а). Если характеристика Мд(и>) — горизонталь, т.е. Мд не зависит от скорости, то к = 0 ; если Мд(и) вертикаль,

то к = 1 . Таким образом, 0 < к < 1, и чем больше крутиз­ на характеристики Ма(ш), т.е. чем больше ее жесткость, тем больше к.

где 7 = 2LJsiil\M lAC\— коэффициент, показывающий неравно­ мерность вынуждающего момента Lvi((p), а а — поправочный коэффициент.

На рис. 4.21 изображен график Jc(k) необходимого момен­ та инерции, подсчитанного по уравнению (4.73) при заданных LA I , 7 , и)ср, [£]. Если момент Мд не зависит от скорости (к = 0), то Jc = Jcо- Если момент Мд есть функция скорости, т.е. к ф 0, но 0 < к < к1 (см. рис. 4.21), то график Jc(k) протекает почти горизонтально, т.е. Jc ^ Jcо. Умеренная крутизна характеристики Мд(и) практически не влияет на необходимую величину Jc- Это значит, что для машин, у которых крутизна выражена не очень резко (к < к'), т.е. характеристика Мд(и>) далека от вертикали (а таких машин очень много), маховик можно проектировать, используя классические методы.

Если же крутизна характеристики Ма{ш) выражена очень

к1 1 к

Рис. 4.21

(пример, типичный для многих рабочих машин) спад начи­

фициента к) приводит к резкому снижению необходимой вели­ чины Jc, т.е. к уменьшению проектируемого маховика. Такой результат имеет большое практическое значение: если при­ вод рабочих машин осуществляется от асинхронных или шунтовых электродвигателей, характеристика которых близка к вертикали (см. рис. 1 .5 , 1 .1 0 , 6 ) и у которых, следовательно, к > 0,9, то необходимый момент инерции явно меньше Jcо- Значит, в указанных случаях классические методы динами­ ческого синтеза дают завышенный результат. Этим и объ­ ясняется тот непонятный, на. первый взгляд, факт, что валы различных станков, механических пил, прессов и т.п. рабочих машин, приводимых от асинхронных двигателей и имеющих сравнительно небольшие маховики, вращаются тем не менее с небольшой неравномерностью. Расчет с учетом резко вы­ раженной жесткости характеристики Л/Д(и;) (когда к > к1) позволяет сознательно создавать маховики с небольшим мо­ ментом инерции, а следовательно, компактные и с меньшей металлоемкостью.

Выше (см. уравнение (4.73)) было рассмотрено влия­ ние жесткости, т.е. крутизны, характеристики двигателя на значение Jc в случае гармонического нагружения Lv\(p>) = = LAI costp. Можно показать, что и при других, более слож­ ных видах нагружения характер влияния крутизны Мд(и;) на значение Jc остается таким же, как он изображен на рис. 4.21.

Величина Jc, подсчитанная по уравнению (4.73), есть по­ стоянная составляющая суммарного момента инерции, приве­ денного к валу рабочей машины. Определив Jc и зная приве­ денные моменты инерции звеньев двигателя, передачи и рабо­ чей машины, находим JMX, т.е. ту часть Jc, которая приходит­ ся на маховик (рис. 4.18, б).

В рассматриваемом примере источником внутренней виб­ роактивности является рабочая машина, а не двигатель. По­ этому маховик целесообразно располагать именно на валу ра­ бочей машины, т.е. на валу источника внутренней виброак­ тивности, а не на валу, удаленном от него, т.е. не на валу электродвигателя.

1.Какие условия надо соблюсти при приведении сил и масс?

2.Составьте уравнения движения механизма в энергетической и диф­ ференциальной формах.

3.Какие исходные данные должны быть известны при определении за­ кона движения механизма в неустановившемся (переходном) процес­ се?

4.Сформулируйте, в чем состоит основное назначение маховика.

5.Напишите формулу для подсчета необходимого момента инерции

маховой массы, обеспечивающей заданное значение коэффициен­ та неравномерности в случае, когда на действующие силы влияет скорость движения звеньев механизма, а вынуждающий момент — гармонический.