книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела
..pdfПосле подстановки (10.22) в (10.19) при ] = 0 компоненты напря жений примут форму
Oxl.k — 2Gk 2 |
2 |
|
2 |
HmnVm/u (г) + |
B££W£W (г)1 sin %т х sin \„у, |
||||||||||
|
|
m=1/1=1 i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— 2Gk S |
S |
|
S |
[Am'n!kemn,k (2) H“ Bm^tkgmnfk (2)] Sin |
sin |
||||||||||
|
|
m=l /i=l i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
c£U = |
2Gk 2 |
2 |
2 |
[ Л 1 Й а ( г ) + |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
m=l л=1 t=l |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4" B^mntkw\nn>k (2)] sin Amx sin A„y, |
|
|
(10-26) |
||||||||
О^ум = |
Gk 2 |
2 |
£ |
[AtnWmn.k (2) + |
Bmn.Vmn.ft (г)] COS XmX COS Xny, |
||||||||||
|
|
m=L /1=1 i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
00 |
00 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oxztk = |
Ga |
X |
X |
S |
|
|
(z) + |
Bm*ntkdmntk (2)] COS AmX sin Ап£/, |
|||||||
|
|
т=1 л=1 f=t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
oflk = |
Gfc |
2 |
2 |
£ |
И £ М |
. , ; (2) + |
Bmn.Wmn.ft Ш |
sin %n X COS |
|||||||
|
|
m—1/1=1 t=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь функциональные коэффициенты dmn,k, .... Цтп,* |
выражаются |
||||||||||||||
через гиперболические |
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
<2) |
|
__ |
vftYmn |
ch Imn + |
|||
|
Omn.ft —’ ' |
|
^m Ch ^mm |
^mn.ft — |
2 (1 — vs) ftj |
||||||||||
|
|
|
|
«//2/1 |
/72 |
sh £mn* |
^ш,/г — A,rtArt ch |
|
|
|
|||||
|
|
'' |
4 ( l - v fc) |
|
|
|
|||||||||
|
£m/i,& rp — Art ch ^/и/ii |
&mn,k |
|
v*vL |
ch £/rw rj- |
||||||||||
|
|
2(1 — vA) /12 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4~ |
|
«/rm'vi |
sh Sm/ti^2mn,k ->------ А^А„ ch £// |
|
|||||||||
|
|
4 ^ |
_V/fy |
|
|||||||||||
|
|
r((l) |
|
|
* |
, |
|
|
(2) |
2 |
u t |
- |
|
|
|
|
|
|
|
Y/fl/i |
|
|
Ym/i |
|
|
||||||
|
|
^тп.Л — |
Г5 |
СГ1 ътп* |
Vmntk —, .nro |
Ch |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Лз |
|
|
|
|
■'2fti |
|
|
|
(10.27) |
|
|
|
|
|
|
&тпУтп |
u e |
(3) . |
.■.■Л |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
"77;------ |
~~jy sh'5m/i» Umntk |
тгг'.О» |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4(1 — Vk) hi |
|
|
|
|
|
|
|
||
hmn,k — 2A^’Ar/ch §mn, |
/imrt,*1— —* 2'( ”l_ |
£m/2»4 |
|
'Ф т ‘^'An) ch |
|||||||||||
J!) t __ n> |
V ri |
|
r№ |
|
_ |
^mn^mVmn |
„u t |
, |
|||||||
4nrttk — "*4 |
|
,mn оVi £ |
|
||||||||||||
|
^ -S n gm m |
Cnm.ft--------- 2(1 — v*) ft, |
СЙ ^mn T |
||||||||||||
|
‘.•T\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
“ fv. fv |
||
|
|
4 1 - 2 v ft)A.mYmn |
imn> |
4wn,fe — |
^«Yn |
|
• sh I,, |
|
|||||||
|
+ |
- T |
( i - v r f V |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ш
|
|
, e , = |
2 i „ |
|
|
|
|||
tj!Su = |
-mn^nYn |
|
■ch|„ |
(1 - 2vfr) l nymn |
sh |
||||
— ' _ |
|
|
2(1— vfe)A3 |
||||||
|
|
2(1 —vft)ft3 |
|
|
|
||||
|
|
Sh imn |
[km = |
, |
К — |
’ Imn = Утп -j^~t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Т«п = |
[ ( М 8)г + (М з)а] ~ ) - |
|
|
||||
Формулы |
для |
b^njt, .... р™,* |
|
можно |
получить |
из соответствующих |
|||
выражений |
для ctmn.k, .... T)mn.ft |
заменой гиперболических функций |
|||||||
ch imn на sh in„, a sh imn на ch imn, например: |
|
|
|||||||
С * = ~ ^ s h |
imn, A&ft----- 2(1^ |
m; fe)-/| - |
Shim„ + |
4 ^ ^ " ch Smn, |
Подставляя соответствующие (10.20), (10.24), (10.26) в краевые условия (10.11), (10.12) и условия сопряжения (10.13) (в случае, когда между слоями осуществляется полное сцепление) и приравнивая вы ражения при одинаковых произведениях тригонометрических функций,
для определения постоянных Атп.к, В тД (*. k — l, 2, 3) получаем следующую последовательность (от, п = 1, 2, 3, ...) систем алгебраи ческих уравнений 18-го порядка:
|
[^пи».зСпм.З (А3) "Ъ BmJ?3^mn,3 (А3)] = |
0, |
|
3 |
|
|
|
|
['^тп.З’Пгпп.З (А3) + |
Smn,3Pmn,3 (A3)l — 0, |
|
2G3 £ |
lAZ&vZb (h3) + |
(A,)I = qmn, |
|
/=1 |
|
|
|
£ |
[A tV ^ n , (0) + |
A t? ,< C i (0)1 = |
0, |
3 |
|
|
|
2 ( Итг?1т1тп.1 (0) + |
6mn?lPmn,l (0)1 = |
0, |
|
2(?i £ |
MmJbl^mn.! (0) + Bmn.Wmn.l (0)1 = |
— |
|
;=i |
|
|
|
MmnVmn,* (A*) + B%$kPrmt,k (Aft) — ^mn?ft+l/mn.ft+l (Aft) —» |
|||
|
Smn*ft+lP^,ft+| (A*)I = 0, |
(10.28) |
2 , Hwi?fc$^,ft (ЛА) 4- B & ^ . f t (Aft) — 4nn?ft+lfim,ft-H (Aft) —
fimn,ft+limn,ft+i (Aft)J S= 0,
292
Допустим, что требуется построить решение поставленной задачи для трехслойной плиты с неканоническими поверхностями раздела с
точностью О (в3). В этом случае дифференциальные операторы M il, L P , фигурирующие в (10.11) — (10.15) согласно (3.20), (10.29), (10.30) в первых трех приближениях {гг — 0, 1, 2) будут следующими:
М 2 = 0, < >= М о ) = 0, М ? = 1, |
б = — 1. |
|||
|
|
|
|
(10.31) |
( М з \ |
(®я\ |
, |
( МП |
СО, |
.МП |
= =F |
П у ) , |
= ± |
f W - w * |
|
|
.МП |
|
Дифференциальные операторы Nm\, М я ( т = 2; 3, п = 0, 1 ,2 ) имеют аналогичный вид. Верхний знак в (10.31) отвечает направлению нор
мали |
к |
поверхности |
в сторону |
увеличения |
функции |
уровня, а |
ниж |
|||||||
ний — противоположному |
направлению. |
|
|
|
|
|
||||||||
Краевые условия (10.11), (10.12) и условия сопряжения, например, |
||||||||||||||
(10.13), в первом |
приближении имеют вид |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
tfir.3 |z=h, = |
— [МзМЦз + |
МзО?г,з]2«=л, + Qi'1, |
|
|
||||||||
|
|
ofSl. 1*=0 = |
[М оЧ .1 + M{M?,l]*=0 + Q P \ |
|
(10.32) |
|||||||||
|
M !l - «а+1]г=л, = - |
U IJ1ий - |
|
|
{h = |
1; |
||||||||
|
|
|
2), |
|
||||||||||
[aflk - |
о Й ц -jW |
= |
- |
[MV {oZk - |
o%.k+x) + |
MV (ofi* - |
ag .ft+1)]s=ftfc. |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ? |
= |
® = |
Qxl) = |
$ |
(1) - 0, |
|
(10.33) |
|||
|
|
Qi!’. = |
— ®3/ ' («/) Q (*. г/). QS(1) = |
©</ Ы Q (*» У)- |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Если |
функцию / (у) |
принять в форме |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
f(y) = hs c o s -£ - у |
(ю = |
const), |
|
(10.34) |
|||||||
то с учетом аналитической структуры дифференциальных |
операторов |
|||||||||||||
MU, |
|
(10.31) |
и |
выражений |
для |
гармонических |
функций |
4^1 |
(10.22), через которые определяются компоненты перемещений и напря жений в нулевом приближении по формулам (10.16), (ШЛО), приходим к заключению, что условия (10.32) могут быть удовлетворены, если в соответствии с (10.22) разрешающие функции в. первом приближении выбрать в форме
{х, у, г) = £ 2 Е [Amnlk ch |
+ |
Bmilk sft |{JU) sin .lmx sin кЩу |
m=l /i=l s=l |
1 |
(10.35) |
(i.= |
1;. 2), |
294
1Рз!& (Я* Уу 2) = |
X |
S |
|
ch iLlis 4" fimns.ft sh Imrw] COS kmx sin y^nly< |
||||
|
m=l n=1s=l |
|
|
|
|
|
|
|
•где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t(l) |
_ fl> |
2 |
> |
Artl — |
(<fl ± |
*) я |
' |
|
femrts — Vmns |
|
„ m |
h |
|
|||
|
|
|
|
|
л(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л>п2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.36) |
|
|
Ym/ii_|Y mnh3 j a _j_ | |
(со ± |
n) nha j 3 |
|
|
|
||||||||
|
|
Vmn2 |
Li |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n o формулам (10.16), |
(10.19) |
с |
учетом |
|
(10.35)^ в первом, приближении |
||||||||||
(/ = |
1) получаем выражения |
для перемещений и напряжений в виде, |
|||||||||||||
аналогичном |
(10.24), (Ш-26), т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Ux!k = |
X |
X |
X |
X |
|
|
|
(2) Ч* |
|
||||
|
|
|
|
ЯХ=1Л=1 1=1 S=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
*“Ь Sm’rts.fePtfUtifc (^)] |
COS |
|
sill ^*nst/t |
|
(10.37) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oyl'k = |
S |
S |
S |
S |
[Атп1,кУупп$,к {z) + |
|
|||||||
|
|
|
|
m=\ n=1t=l s=l |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
+ Bm&Wwlk (z)lsin Xmxcos X$y,. |
|
|
||||||||||
где |
функциональные |
коэффициенты |
Imnlk, |
•••> Р т я а можно |
записать |
||||||||||
^на основе выражений |
(10.25), (10.27) |
заменой' Хп, |
утп> | mn |
соответ- |
|||||||||||
'ственно на |
Я/в, Ymns* |
Emits |
(s = |
1> |
2), |
например; |
|
|
|
||||||
|
/0.1) |
rhM ‘> |
|
/<2Л) |
__ |
|
tmns^m |
, |
t(l) |
(10.38) |
|||||
|
LmnStk — |
|
bmns» |
1mns,к — |
|
4 (1 — v*)i |
Sn 5mns’ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д л я |
определения |
ПОСТОЯННЫХ |
/4mns,ft, |
BmnJ.k из |
граничных |
условий |
|||||||||
(10.32) с учетом аналитической структуры |
(10.24), (10.26), (10.37) по |
||||||||||||||
лучаем две |
(s = |
1,2) |
последовательности |
( т , п |
= |
1, 2, 3, ...) систем |
алгебраических уравнений 18-го порядка типа (10.28) с правыми частя ми, зависящими от решения поставленной задачи в нулевом прибли жении.
Из краевых условий (10.11), (10.12) и условий сопряжения (10.13)
{в случае полного сцепления между слоями) |
во* втором приближении |
|||||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« Е . U |
- |
- |
w g o f t , + |
w a v ,5,3 + « |
м |
, |
+ |
л ® о й ,ь _ . + Q ?, |
||
• а , и |
= |
+ |
ш |
ь |
+ « |
, |
+ |
m |
; v , + < зг, |
|
\.uf!k |
u?k+\]z=hk = |
[L®(«® |
— « $ .+ 1)4 -LjL'Ywilft — w<i!fe+i)]2=hfe) (10.30) |
|||||||
loflk |
0?z,k+l]z=Aft = |
— lM* ,(or<y,ft— 0<y>fe+i) + |
Mft (fffj./i— OiD.fe-)-l) 4" |
|||||||
Ч- NJa (Oiz,/i — CtS*+1) 4- N3* (Oft,* — |
|
|
|
( f t = l ; 2), |
295
где согласно (10.20), (10.30) имеем
(10.40)
Q ? = — 12 <&г2 (у) Q (*. у), Q T = 4 °>2о/'2 (У) Q0 (*. *)•
Анализ правых частей уравнений (10.39) с учетом вида дифференциаль ных операторов (10.31), (10.34) и аналитической структуры выражений для перемещений и напряжений в нулевом (10.24), (10.26) и первом (10.37) приближениях показывает, что краевые условия (10.39) могут быть удовлетворены точно, если разрешающие гармонические функции YfJt (х, у, z) (i = 1, 2, 3) выбрать в форме
* & (х . У, *) = S Е Е l ^ c h ^ - h т —\ п=1 s=l
Ч~ Bmns,k sh imns] sin |
sin У*п1у (t = |
ly |
2), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.41) |
^ |
(X, y, 2) = |
S |
s |
£ |
M fi& ch |
|
+ |
||
|
|
|
m=1/i=I s=l |
|
|
|
|
||
где |
4“ 5mns.ft sh ^mns] COS A>mX Sin |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ® ___ P) |
г |
Anl _ |
(2«0 ± |
П) П |
л (2) _ |
ПЯ |
|||
»mns — 4mns |
, |
^(2)----------ft------» |
Л«3 |
|
“ ft” » |
||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
_ |
nath3 J |
_j_ ^ (2ю ± n) nh3 |
jaj |
2 |
(10.42) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i s |
- K |
^ |
T |
+ |
^ n |
|
|
|
Следовательно, по аналогии c (10.37) для перемещений и напряжений во втором приближении можно записать выражения
« а - s |
f 2 |
|
Ш—1я=1 f=l s=l |
|
|
э«.2) |
„<(.2) |
|
4“ Bmnl,kPmns>k (2)] COS Хт Х sill |
||
|
|
(10.43) |
° £ . = 2 2 2 2 м а . ч й . ( г> + |
||
m=l л=1 i=l s=l |
|
|
"Ь |
(2)] Sin |
COS кп&У* |
|
|
(t Q\ |
где аналитическая структура функциональных коэффициентов lmns,k»
...» у mns,к аналогична (10.25), (10.27), |
(10.38), |
например: |
||
/<••->. |
1 „Ь t® |
/Р® . |
бт/ts^m |
„и t® |
*/nns.fc — |
'-|| Smns> |
lmns,k — — "Т(Г—-Vft)** ^ *mns% |
296
Постоянные |
А тй *, |
Втйм (i, k — 1 ,2 , 3) |
определяются из |
трех |
||||
(s = |
1, 2, 3) |
последовательностей |
(m ,n |
— 1, 2, 3, ...) |
систем |
линей |
||
ных |
алгебраических уравнений |
18-го |
порядка, которые следуют из |
|||||
(10.39) с учетом |
аналитической структур |
(10.24), |
(10.26), |
(10.37), |
(10.40) , (10.43). Отметим, что краевые условия (10.10) на боковых гранях плиты х = 0, а; у = 0, Ь в каждом приближении удовлетво ряются автоматически за счет выбора разрешающих функций (10.22), (10.35), (10.41), соответствующих приложенным к лицевым поверх ностям S0, S3 нагрузкам, которые допускают представление (10.20).
1.3. О решении задачи для составной плиты с неоднородными слоями. Предположим, что модуль сдвига k-ro слоя задан зависи мостью О/, = (Зк (г), а коэффициент Пуассона vk — const. Для представ ления общего решения уравнений равновесия используем результаты работы [120]. В этом случае согласно (2.90), (2.94) компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в /-м приближении определяются по формулам
Ux,k — |
1 |
|
d2 |
\ |
U P |
dN f |
|
2G* |
(vftV2 |
dz2 |
) |
dx |
4" ■ dy |
* |
|
UyA — |
1 |
(vftV2 |
a2 |
) |
d ig |
dNp |
|
2Gk |
a*2 |
) |
dy |
dx |
’ |
|
|
|
|
dL f |
|
д |
Г |
|
|
|
|
|
|
- - s r ( v |
! - |
dz2 |
f |
|
dz |
+ |
dz |
1~ 2 6 r(v* V 2 |
|
|
|||
„(/) |
/' |
da |
v |
2 + |
a4 |
.) rlfl |
1 |
d2Nk* |
|||||
axx,k — \ Vk dy2 |
dx2dz2 J^k |
|
-T 2Gft |
dxdy |
* |
||||||||
< > |
- ( > |
. v |
- V |
’ + - д а т - ) |
ц л ' ■20, |
a2<v£/> |
|||||||
дхду |
* |
||||||||||||
|
|
CTW. - |
|
|
+ |
d2 |
V1Г (/) |
|
|
||||
|
|
UZZ,£ |
■ ь |
Элт2 |
dy2 |
} |
Uk » |
|
|
||||
|
|
|
|
^ |
|
|
|||||||
пО) |
|
|
|
|
|
1 ^ |
|
|
|
( |
a2 |
|
|
axy%k == ---•(V‘ V 2 |
|
аг8) |
— |
о* \ |
a*2 |
ду |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
_(/*) |
~ |
l |
djf2- + |
да \ |
d2L\* |
|
d2N(^ |
|
|||||
|
^ |
а ) |
dxdz |
■+ C* дудг |
’ |
||||||||
_.(/) |
|
/ |
аа |
|
d2 \ |
d2L f |
|
d2N]f’ |
|
||||
|
-------1 |
te a - + |
~W~): |
dydz |
— G* |
|
|
||||||
кции Lk , Щ ' удовлетворяют'уравнениям |
|
|
|||||||||||
V 2Atf>+ |
qk (г) |
|
|
= |
0, г* (г) = |
-А - 1n G k (г), |
|||||||
Г‘ ( i r W |
) - |
|
|
|
( v - £ - ) Ц» |
|
= 0. |
297
Если |
разрешающие функции |
представить |
в виде |
|
|
|||||||||||
N ? {х, у . г) = |
ф& {х, у) <рй (г), L f (х, у, г) = |
ф $ (*, у) Ф& (г), |
(10.45) |
|||||||||||||
то фиг, |
ф у д о в л е т в о р я ю т |
уравнению |
Гельмгольца |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
д2\Ь*Д |
„ . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- з г г - + - § $ Г - + |
«/Ф& = 0 |
|
(i = 1; |
2), |
|
(10.46) |
|||||||
а ф й , |
ф2jt — уравнениям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ * ( o ^ L _ e W i . o . |
|
|
|
|||||||
|
|
d*<Po\ |
|
(z) |
|
|
(z) — Qk (z) |
2 a ;] |
|
+ |
|
|||||
|
|
dz4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+ 2a/<7* (2) |
|
+ a/ {a2 + - p |
^ |
- ^ |
(2) - |
7, (г)]) |
= |
0. |
(10.47) |
|||||||
В |
дальнейшем |
примем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
G*(z) = |
C » e x p [ ^ = ^ L ] |
(<7* = - £ - ) • |
|
(Ю.48) |
||||||||
Д ля |
удовлетворения |
граничным |
условиям |
(10.10) функции ф(Д , ф $г |
||||||||||||
выберем |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ф и (*. У) = |
cosX„,xcosХпу, |
ф ^ (х, у) = |
sin Ят лгsin %пу. |
00 .49) |
|||||||||||
Следовательно, параметр а 2, входящий |
в (10.46), будет равен У?т + А.,2. |
|||||||||||||||
Функции фН1, |
фгЗг, удовлетворяющие дифференциальным |
уравне |
||||||||||||||
ниям (10.47), в нулевом приближении |
(/ = |
0) допускают |
представле- |
|||||||||||||
uua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ние |
|
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ф1 |
( - ^ - ) = |
Г '157 Е |
[ Лтп% ch f mn - i - |
+ |
В£„% Sh Ста |
|
, |
||||||||
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф2,/ |
|
|
2Л‘ S |
[ |
( ^ |
c h a ^ |
- | r |
+ |
|
|
|||
|
|
|
|
^ ( 1 ^ " ) = г |
|
(10.50) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“Ь Bmn!k sh Qmti ~~fa |
j Sin bmn |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4“ |
|
Ch Clmn ^ |
“b Bmn |
sh dffin ■ |
j COS bmn ^ |
j |
|
|||||||
Здесь |
приняты |
следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
й |
= ( i |
|
|
w . - [ ( ^ ) ’ + ( - = £ - ) ’ f |
|
||||||||||
|
°mn = |
2 |
2 {l(y2 + 4V1 ) 2 + |
16y2y U * I 2 |
± |
(Y2+ |
4VL ) 1 2 , |
(Ю-51) |
||||||||
|
bmn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
vfc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t f t - |
l ^ v ft |
|
|
|
|
|
|
298
Последующие выкладки в первом и во втором приближениях прово дятся аналогично изложенным в п. 1.2. В частности, если приложен ная к лицевым поверхностям S0, S 3 нормальная нагрузка допускает представление (10.20), а поверхности Si (/ = 0, 1, 2, 3) описываются уравнениями (10.29), (10.34), то на основе (10.49), (10.50) можно за
писать разрешающие функции if'/,*, q>& (i = 1; 2) в первом (/ = 1) и во втором (/ = 2) приближениях. Д ля этого достаточно в (10.49), (10.50)
параметры кп, утп, \ т „, атп, Ьтп заменить соответственно на ХЩ у^,
Imns, ~amns, ~bmnS (s = 1; 2) в первом приближении и на Х%1, y £ L
a,nhs, bmns (s = 1, 2, 3) во втором приближении в соответствии с (10.36), (10.42).
§2. Напряженное состояние двухслойной пластины
сволнистой поверхностью при растяжении
2.1. Постановка |
задачи. |
Рассмотрим |
двухслойную |
пластину |
|
(рис. 10.2), одна |
из поверхностей |
которой |
описывается |
уравнением |
|
|
х = |
б (у) = |
е cos пу, |
(10.52) |
где х = х11, у = уИ — безразмерные прямоугольные координаты, I — длина полуволны. Ниже черточки над х н у для простоты записи опущены.
Напряженное состояние двухслойной пластины, бесконечно уда ленной в направлениях у, г, при действии на нее равномерно распре деленных вдоль у растягивающих усилий Р будет, очевидно, зависеть лишь от координат х, у. Функции напряжений F k (х, у) для каждого слоя (k = 1; 2) должны удовлетворять бигармоническому уравнению
|
V 2V 2^ (х, у) = 0, |
|
|
(10.53) |
|
граничным |
условиям на поверхностях х = |
б (у), х = |
х2 и условиям |
||
сопряжения на границе раздела х = хг. |
|
|
|
||
На поверхности х = б (у) |
имеем |
|
|
|
|
0n.i = |
0*дс,1 cos2 8 -f" 0до,1 sin2 9 4" 2охуА sin 0 cos 0 = |
0, |
|
||
Tn.1 = |
(o**.i — аюЛ) sin 0 cos 0 — oxyA (cos2 0 — sin2 0) = 0, |
(10‘54) |
|||
где |
|
|
|
|
|
cose = — -1 -, s i„ e = |
J - 4 ? - , Д - |
] / i + ( - g - f |
(10.55) |
Следовательно, для случая, когда урав нение волнистой поверхности задано в виде (10.52), системой уравнений, соот ветствующей граничным условиям и ус ловиям сопряжения, будет
пЧ*оууЛ (б, у) sin2 пу 4- а ххА (б, у) 4-
4- 2п&5хуЛ (б, у) sin пу = О,
299
|
|
яе fcTjcjr,i (б, у) |
Qyy,\ (®»{/)] sin jxу ~f" |
|||
|
|
+ |
(я2е2 sin2 яу — 1) a*f/.i (6, t/) = |
0, |
||
|
|
|
Ojrx.l (*l> #) = |
< W (*l. У), |
|
|
|
|
|
Gxy,\ (*i, |
У) = |
a *y.2 (*г. У), |
(10.56) |
|
|
|
И*,| (-^и У) ~ |
t*x,2 (^1» У)г |
|
|
|
|
|
Uy.l (*i, |
y) = |
Uy,9 (xt , y), |
|
|
|
Оxx.l (*г. У) = |
0, |
Qxy.l (*2>У) = |
0. |
|
|
|
Решение поставленной плоской задачи полу- |
||||
Рис. |
10.3 |
чено в работе [138] с помощью МВФГ. Следо |
||||
|
|
вательно, функция |
напряжений Fk, перемеще |
|||
ния их,ь, иул |
и напряжения оХхл> °уул, охул № — I; 2) ищутся в виде |
|||||
рядов по степеням |
малого параметра е. Тогда система уравнений в ну |
|||||
левом приближении, которая следует из (10.53), (10.56) и условия |
||||||
|
|
х, |
Ха |
|
|
|
|
|
J afyjdx + |
f afy.ydx = |
P, |
|
(10.57) |
|
|
о |
X, |
|
|
|
позволяют определить ненулевые компоненты напряжений в двух слойной пластине постоянной толщины в виде
„(О) _ |
РЕ, |
’ ° тЛ |
РЕ, |
°УУЛ — |
x1El + (jc2 — *i) |
)CjE, + (х3 — xrf Ег ‘ 00-58) |
Анализ системы уравнений первого приближения, которая получается
на основе (10.53), |
(10.56), |
(10.58), показывает, что решение |
задачи |
|
в первом приближении |
можно представить в форме |
|
||
|
оо |
|
|
|
’ {X, y) = |
'£l |
X(rt1:* {Кх) (Kft.* cos К у + К&Л sin К у), |
(10.59) |
|
где |
n=t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х Л( (К х) = А% ch К х + |
B Z sh К х + К х (C& ch Хпх + D '1.* sh Хпх). |
|||
|
|
|
|
(10.60) |
На основе (10.59) по известным формулам [58] представляются переме щения и напряжения. При этом напряжения в каждом слое с учетом
(10.58) |
определяются |
по формулам |
|
|
|
|
&хх,1 ^ |
вЯ^Х^ (Х^х) cos Х^у, |
|
||
|
Оуу,1fa afy,i Н- eX,IXil,i (^ х ) cos Х±х, |
|
|||
|
оХул » |
e^iXi'i (\,x ) sin Хуу, |
(10.61) |
||
|
о „ .2 « |
— eA-iXl” ( М ) cos Xytj, |
|
||
а Уу,2 да 0ад,2 + eXiXi‘.2 (Хгх) cos Xty, |
оКу,?да eA^X^ (^ х ) sin Хгу. |
||||
Поставленная задача решена в работе [138] с точностью |
О (в2). |
||||
2.2. |
Напряженное состояние двухслойной пластины. На рис. 10.3 |
||||
представлены эпюры |
распределения |
напряжений ахх, ауи в двухслой |
|||
300 |
|
|
|
|
|