книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

П ри этом дифференциальные операторы

L(s\

D \s), D f

в

общем случае

имеют вид (3.86), а их конкретными

выражениями,

необходимыми

для решения задачи с точностью О (е3), будут

4 "’ =

т - ь

(2)

д2

л и = 4 - / ч е )

dr2

дг

О!г1 =

4 - { ^ ( е) - ^ - -

[/ ' ( 0)1!} '

Й '’ =

- / - ( 0 ) .

(9.22)

Компоненты

и/f’,

o/f.i

определяю тся выражениями

(9.11), в

которых

постоянные G, v, Лы, Лзл необходимо

заменить

на

G1( vlt

Л If,, Аз*.

Аналогично составляющ им «°(2,

соответствуют выражения (9.12),

где G, v, Л 2,1. А ы следует заменить на Ga, v2, Агп, Л ^ .

Получение на основе условий

сопряж ения (9.21) систем алгебраи­

ческих уравнений относительно постоянных

Атп { т

=

1, 2, 3, 4; s =

= 0, 1, 2) сопряжено с громоздкими аналитическими

преобразования­

ми, связанными, в

частности, с разлож ениям и

выражений типа

7 (0 )'

/ (0) \

dPn (cos 0)

0- е)- ,

Р п (cos 0),

г (0)/

/ (е> Г (9 )c tg 6 — ^

Г (0).

50—

(9.23)

в ряды по

полиномам Л еж андра Р п (cos 0)

или

их

производным

d P n (cos 0)/d0. Их

можно

осущ ествить на основе рекуррентных соот­

ношений, приведенных в § 30 работы [27].

Расчеты

напряж енного состояния среды

с включением выполнены

для случая,

когда

поверхность раздела 5

описывается

уравнением

!/~

__ с >нг2

В частности, при k =

2 в случае

1Л

двухосного

растяж ения

(9.15)

для

4-----

определения

постоянны х

полу­

t f

чаем системы

линейны х

алгебраи ­

1.2

690,2^

ческих

уравнений,

которым

соот­

1,0

ветствуют:

в нулевом

(s =

0) при­

ближ ении

п

= 0,2;

в

первом

(s =

0.8

П

=

1) приближ ении

п — 0,

2, 4;

во

втором

(s =

2) приближ ении

п

=

__

0.1

/г

~

=

0, 2, 4, 6.

П ри расчетах коэффи­

Q6

*,2/Т

циенты П уассона

вклю чения

и сре­

ОА

ды

принимались

vx =

v2 =

0,3.

r,llX

Рис.

9 .1 — 9.3

соответствую т

0.2

случаю равном ерного всесторонне­

го

растяж ен и я -сж ати я

(q

=

т). Н а

ш

рис. 9.1

(е

=

0,1,

0

=

я /2)

п оказа­

но изменение

напряж ений

о и я к =

ю

Jus

=

( oft,2 +

о ц ) к

на

поверхности

-0.2

вклю чения

в

зависим ости

от отно­

-QA

ш ения

модулей

сдвига

среды

и

itjlk

О

-*■ оо соответствует

реш ению

зад а­

Рис. 9.3

чи для среды со свободной от на­

пряж ений

полостью,

a G21

0 — для среды

с ж естким

вклю чением .

Зд есь

и в

дальнейш ем ш триховые

кривы е

относятся

к среде

со сфе­

рическим

вклю чением .

Распределение

напряж ений a i u h

во вклю чении

(/ =

1,

г ^

0,9)

и среде (I =

2, г ^> 0,9) в экваториальном сечении (0 =

я /2 , s

=

— 0,1)

показано

на рис. 9 .2 . И зм енение напряж ений

в зависимости

от

угла

0 (0 ^

0

я/2)

иллю стрирую т

кривы е

на рис.

9.3.

на поверхности

раздела в полюсе (0 = 0) и на экваторе

(0 =

я /2 )

по­

казано на

рис.

9.4, а

(в = 0,1)

для

случая одноосного

р астяж ен и я .

Л иней ная

зависимость

напряж ений

от

отнош ения

интенсивностей

Т а б л и ц а

9.1

8

<х<0)

еа(1>

е’а<2>

дfK %

ail,2

°а,2

4 0). %

е ait,2

X

X

т

%

оа1 =

10;

£ =

а

0,1

1,387

97,3

0,033

2,3

0,005

0,4

1,425

0,2

1,387

94,2

0,067

4,6

0,018

1,2

1,472

0,3

1,387

90,7

0,100

6,5

0,043

2,8

1,530

Gai ==

102,

£ =

а

0,1

1,487

96,8

0,042

2,7

0,007

0,5

1,536

0,2

1,487

93,1

0,085

5,3

0,025

1,6

1,597

0,3

1,487

88,8

0,127

7,6

0,060

3,6

1,674

Продолжение табл. 9.1

е

ДО)

Л?\ %

ес(1>

д<". %

В

%

<*ii, 2

аИ, 2

еан, 2

е аи\ 2

х

т

X

X

С?21 = 1 0

\

i =

г

0,1

1,522

97,1

—0,039

2,5

—0,006

0,4

1,477

0,2

1,522

93,7

—0,079

4,9

—0,023

1,4

1,420

0,3

1,522

90,0

—0,118

6,9

—0,052

3,1

1,352

G21 = 1 0

2,

i =

;г

0,1

1.606

96,6

—0,050

3,0

—0,007

0,4

1,549

0,2

1,606

92,7

—0,101

5,8

—0,026

1,5

1,479

0,3

1,606

88,4

—0,151

8,3

—0,059

3,3

1,396

q/% проиллю стрирована рис. 9.4, б для

двух

случаев: G21 = К Г 3

(сравнительно ж есткое включение) и G2X =

103 (податливое включение).

Числовые данные табл. 9.1 иллю стрирую т

практическую сходи­

Н е и д е а л ь н ы й

к о н т а к т

( п р о с к а л ь з ы в а н и е

б е з о т р ы в а ) . Е сли

на поверхности 5

раздела среды и вклю чения

то вместо

(9.19) условиями

сопряж ения

на 5

будут

{Цг,I

Ur,2)s ~

О»

[(сгггЛ — (Тгл2) Пг +

(аг0>1 — a r0i2) n Q]s

= 0,

(9.24)

(a re,\tir +

«теел^еЬ — Oi

(ore,2nr +

000,2/10)5 =

0.

Следовательно, в произвольном приближении они прим ут вид

/1—1

£

Л

! " Г ’ U

= £

1,„ +

Lm < и » +

$=0

s=0

n

s=0

E [ « Г

+ в М ё Л - , +

s=0

+ IB?9 (ffrr°2 4- Or.) +

£*2*' (ffrej +

0ro)]r=l.

£

( b №

9 +

=

o,

s=0

£ [ О Г * * + o M V ’u . +

s=0

+

[-D{n) (с °гвл 4- <Jre) +

Df^ (oq^2

-f- or00)]r=i = 0.

П ри этих

услови ях сопряж ения

краевая

задача

реш ена с точностью

О (е3) (е =

0,1). Н а рис. 9.5 показано изменение н апряж ений Оп.^/т на

поверхности раздела 5 в случае

неидеального

контакта

(проскальзы ­

ван и я без отры ва) в зависимости от

отнош ения

G2/Gt =

Gn

при

одно-

А

А.

л

осном нагруж ении (o zz = т,

стЛ* =

ои{, =

0). Отметим частные

случаи .

О чевидно, что с уменьшением ж есткости

вклю чения (Ga,

оо) ум ень­

ш ается вли ян и е типа

условий сопряж ения,

характеризую щ их

идеаль­

ный (см. рис. 9.4,

а) или неидеальны й

(см. рис. 9.5)

контакт на поверхности

раздела

на

норм альны е

н ап р яж е ­

ния о«,2/т на 5

(их числовые значения

стрем ятся

к

соответствую щ им

зн а ­

чениям

на

поверхности,

свободной

от

напряж ений

полости

в

уп руго й

среде).

Рассмотрим

такж е случай

((?21 =

чения

и внешней

среды

одинаковы

((?! =

(7г, v,

= v2).

П ри услови ях со­

пряж ен ия (9.19),

которые

характер и ­

зую т

идеальный

контакт

(полное

сцепление),

среда

с таким

вклю че­

нием

ф актически

явл яется

сплош ной

ние цилиндра с вклю чением при его кручении моментом М в

предпо­

ложении, что внеш ние (цилиндрическая и торцевые) поверхности на­

ходятся на сравнительно большом расстоянии от вклю чения

и, следо­

вательно, не влияю т на напряж енное состояние в его

окрестности.

Л

Л

В рассматриваемом случае номинальные напряж ения

a xz,

oyz, соот­

&хг =

Р У»

Qyi ~

— р 'х 1

р ' =

—ZT~ •

(9.25)

Соответствующие им номинальны е н ап ряж ен и я

Л Л

о>а , ооа и перемещение

л

иа определяю тся по

формулам

<Ут =

Р'Г,Г „dPz(C0S 6)

^

£ 0а = - L

p 'r^ r [1 — P a (cos 0)],

Г. _

1

, 2

.2

dP2 (cos 0)

(9-26)

P r *

Ua ~

T

~ G T

r

-------30------ *

g ( 0 ) = S “A (cos 6),

Р(Щ = Ъ Ь» — г 1 -

(9.29)

/1=0

/1=1

2п 4- 1

«I*

а п =

£ 8 (9) Рп (cos 9) sin 0d0,

о

(9.30)

Я

b* = - е т т т 1

~ ^ Г 0)

Полиномы Л еж андра и их производные такж е допускаю т запись в

виде интегралов [161

Р п (cos 0) =

У 2 п { п + \) Г ^ ( я + 4 ) ф

Жр»

я sin 0

J

V cos ср — cos 0

(9.31)

----- ° Vl s i n T 1 ~

f c o s( л +

"5") Ф(cos Ф

cos 0) dtp.

О днако выполнение расчетов

по формулам (9.30), (9.31) создает опре­

избеж ание

этого

воспользуемся

асимптотическим

представлением

(при п ^ > 1 ,

б г ^ О

^ л — б, 0 < б

1) полиномов

Л еж андра и их

производных

2

Р п (cos 0 ) «

лп sin 0

(9.32)

dPn (cos 6)

^

2

dQ

~

лп sin 0

Р п (cos 0)

1 ( 0 ^ 0 < б ) ,

P „ ( c o s 0 ) « ( — I / 1 (л — б < 0 = ^ л ) ,

(9.33)

dPnM S(f)

~ 0

( 0 <

0 < б,

л — б < 0 <

л).

П оставленная

задача реш ена с точностью О (е3). Расчеты проводи­

лись для случая, когда поверхность раздела S описывается уравнением

(9.18), в котором ф ункция /

(0) принята в виде / (0) =

cos А0. П ри этом

напряж ения

а„а>/

и a sa,i определялись по формулам

Gtuz.l ~

Grtx.lH-r +

Ода,/По,

Osaj

= Оеа,/Пг — <Jr(XiillQ

(^а»2 ^

0

л

t = Гf

/= = 1 ,2 ) .

(9.34)

Gta.,2 ~Ь О’/оь»

Н а рис. 9.6, 9.7 показано

изменение напряж ений (9.34) в зависимости

от отнош ения м одуля сдвига цилиндра G3 к

модулю сдвига

вклю чения

Gx (при k =

4; 8, е =

0,1, G2/Gx = G2i). Ш триховые линии соответствую т

случаю цилиндра с упругим сферическим

вклю чением . Н ап ряж ен и я

Osa.2 даны при 6 = -я/2, а

опа,ч — при 0 =

я /4 . И зменение этих напря­

ж ений

в

интервале

0

г ^ 2 при G21 =

4;

1/4 показано на рис. 9.8

(k =

4,

е =

0,1). При увеличении параметра k (что соответствует уве­

личению

кривизны

поверхности) максимальные н ап ряж ен и я возра­

стаю т

(по

абсолютному

значению).

Т ак,

например,

для

ж есткого

вклю чения

нап ряж ения

| о„а,2 | при

k =

8,

0 = л /4 ,

в =

0,1 более

чем в

два

раза превыш аю т значения

| 0^,2 | для сферического вклю ­

чения.

Зависим ость напряж ений а„а ,2/

р 'г *

(на

поверхности

ж есткого

9-------- —

■ч V ^

/

'yi/P%

^

ег1ф/

: х

т

г»*

0,k

0,8

1,г

1,6

г

Рис. 9.8

Рис. 9.9

вклю чения

при

0 =

я/4)

и

osa^ /p 'r:i.

(на

поверхности

свободной

от

напряж ений

полости

при

0 =

я/2)

от

кривизны

R*

поверхности

раздела S, описываемой уравнением (9.18),

иллюстрирует рис. 9.9,

причем

з

О б

эффективности

применяемого

метода

в

рассматриваемом

классе

задач свидетельствуют

числовые данные,

приведенные

в § 1,

гл.

6

{табл. 6.2, 6.3).

§

2. Упругое равн овеси е тел с ж естким и вклю чениями

К раевы е

задачи

теории

упругости

для

тел

с жесткими включениями

представляю т частный случай

соответствующих задач для тел с упру­

гими включениями (когда модуль сдвига

вклю чения

стремится к бес­

конечности). При этом в математическом отношении задача сущест­

венно упрощ ается,

так

как

вместо

условий

сопряж ения

типа

(9.19),

(9.27) на поверхности раздела остаются только граничные условия в

перемещениях на

поверхности

ж есткого

вклю чения. Однако

указан­

ный частный

случай

позволил

вы явить

некоторые

характерные

меха­

ническиеэффекты. Результаты этих исследований опубликованы в

работах

[60,

61,

104].

2.1.

Растяж ение-сж атие.

В

работе

[60]

исследовано напряженное

состояние изотропной упругой среды с жестким коническим

включе­

нием при равномерном всестороннем растяж ении-сж атии на «бесконеч­

ности» усилиями интенсивности

сгп ( а п >

0 соответствует растяжению,

а

ст0 <

0 — сжатию ).

П редполагается,

что

поверхность

включе­

ния находится в идеальном контакте со средой и описывается на осно­

ве

конформно отображаю щ ей функции (2.174), где / (С) =

С-2 , е =

1/4.

М еридианное

сечение

такой

поверхности

представляет

собой равно­

сторонний треугольник с округленными углами.

Коэффициенты

кон­

центрации

напряж ений

kf} (i, j

=

р, у,

ср)

определяю тся

по формуле

=

1

+

o

f

I .

С

=

< *'

£

е 'Ч у -

(9.36)

т = 0

т=0

П ри решении

краевой

задачи

с точностью

О (е3) на поверхности жест­

кого конического вклю чения они имеют

следующую

аналитическую

структуру:

k fl |p=i =

S

a im (v) Р т

(cos у),

ftoy U i

=

J

(v)

rfPmj c°SY)

•

(9.37)

/?2=0

m=)

*

И х

вы ражения

по

характерны м направлениям

у =

const имеют

вид

9

9

|v-cons. =

И

-

£

Ьш (v) p - m,

|v=cons( =

У,

Ьлт (v) р -'"

(9.38)

771=2

т —2

Н а

рис.

9 .10

показан о

изм енение

коэф фициентов

концентрации

kpl

и

k fl

при

удален и и

от поверхности

вклю чения

по двум характер ­

ны м н а п р а в л е н и я м

(у

=

0 ,2 я /3 ). П ри

этом крр в верш ине

конического'

в к л ю ч е н и я

(р

=

1, у =

0)

больш е соответствую щ его

значения

на по­

в е р х н о с ти

ж есткого

сф ерического

вклю чения

прим ерно

на 28,7

%, а

у о сн о ван и я

вклю чен и я

(у =

2я/3)

— на

21

% . К он ц ен трац и я

напря­

ж ен и й

носит

л о кал ьн ы й

х а р ак тер ,

та к

что

м аксим альное

отклонение

k a

(i

=

р,

у,

ср)

от

соответствую щ их

ном инальны х

значений

при

р

=

3

с о с та в л я е т

прим ерно

3,5 % .

А н ал о ги ч н ая

зад ач а

д л я

уп ругой

изотропной

среды

с конечным

ц и л и н д р и ч ески м

(/ (£) =

£~3,

е

=

— 1/9)

и

биконическим

(/ (£) =

= £- 3 ,

е

=

1/9)

ж естким и вклю чениям и

рассм отрена

в

работе

[60].

К о н т у р ы

м ериди анны х

сечений

поверхностей

этих

вклю чений в обоих

с л у ч а я х п ред ставл яю т

к в ад р ат

с округленны м и

углам и . К а к и в

сл у ­

ч ае ж естк о го

конического вклю чения

кон ц ентрация н ап ряж ен и й носит

л о к а л ь н ы й

х а р а к те р . И зм енение

Ки

(i

=

р, у)

по

характерны м

сече­

н и ям

(у

=

0,

е

=

1/9

и

у

=

я /4 ,

е

=

— 1/9)

показано

на рис.

9.11.

П р и

этом

зн ач ен и я

коэф ф ициентов

конц ентрации

н ап ряж ен и й kpp на

п о в ер х н о стях

ц илиндрического

(у

=

я /4 ,

8 =

— 1/9)

и биконического

(у

=

0, е

= 1/9)

вклю чений

больш е

ан алоги ч н ы х значений на поверх­

ности

ж естко го

сф ерического

вклю чения

соответственно

на

13j9 %

и

2 3 ,6

% .

В работе

[104]

исследовано

н ап ряж ен н ое

состояние

упругой

изо­

тр оп н о й

среды

с

ж естким

вклю чением ,

поверхность которого

образо­

в ан а

вращ ен и ем

п рави льн ого

п яти угольн и ка

с

округленны м и

углами

и о п и сы вается

на

основе

(2.174)

( / (Q

= £- 4 ,

е =

0,1).

П ри

этом

зад ач а

реш ена с точностью

О (е2) для

сл учая

равном ерного

всесторон­

него

р а с тя ж е н и я -с ж а т и я .

Н а

п оверхности

ж есткого

вклю чен и я

(р =

1)

и

по

характерны м

сечен и ям

(у =

const)

коэф ф ициенты

концентрации н ап ряж ений

имеют

следую щ ую

ан али ти ческую

стр у к ту р у :

5

dPm (cos Y)

=

S

dim (v) Р,п (cos у),

k p\{

|р=1

=

Y i

7

b'n (V)

dy

/п=0

/71=1,3,5