книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

kfi

|v=const =

1 +

S

cim (v) P

О

Ф

2 ф

m=2

(i =

p. у, ф),

(9.39)

где

dim (v),

b,n (v),

Cim (v)

—

из­

вестные вы раж ения. Изменение

коэффициентов

концентрации

напряж ений

вдоль

половины

контура произвольного мериди­

анного

сечения

поверхности

раздела показано на рис. 9.12, а

(р =

1,

v =

0,3, s =

0 ,l).

Ш три­

ховые

кривые

соответствую т

случаю

жесткого

сферического

вклю чения.

Л окальность

поля

Рис. 9.12

напряж ений

иллю стрируется

рис. 9.12, б.

Т ак,

например,

при

р =

3 наибольш ее

отклонение чис­

ловых

значений кц

(i =

р, у, ф)

от

соответствующих

номинальных

значений не превышает 2,5 % .

Н а

основе

приближ енного

метода,

предложенного

в

работе

[1231,

получено с

точностью О (е2)

аналитическое

решение

краевой

задачи

вклю чения

с отношением высоты к диаметру 2

1 в упругой изотроп­

ной среде,

находящ ейся на бесконечности под

действием двухосного'

растяж ения-сж атия [124].

2.2.

Кручение. В работе [61] исследовано осесимметричное упругое

равновесие

при кручении цилиндра радиуса

с конечным жестким

(2.174),

где

f (£)

=

£ .

Им

соответст­

вую т правильны е

{N +

1)-угольники

с

округленными углами, при вращ ении

которых вокруг осей симметрии образо­

ваны рассматриваемые замкнуты е осе­

симметричные

поверхности

вращ ения,

причем для каждого значения показа­

теля N принималось конкретное значе­

ние

малого

параметра

в,

в

частности,

д л я

/V =

2 ~

е — 1/4, для N

— 3 ~

е =

= ± 1/9, для /V =

4 ~

е =

V10. П редпола­

галось, что поверхность полости свобод­

на

от

напряж ений.

Поставленные

задачи

реш ались

на

основе

первого

варианта

М ВФГ,

изло­

ж енного

в

гл.

2,

причем

для

случая

среды

с

конической

(N

=

2, е =

V4),

биконической

{N

=

3, е =

1/а) и зам кну ­

той цилиндрической

(N — 3,

е =

—1/9)

полостями

решение

задачи

получено

с

Рис. 9.15

точностью О (е3) [103,

105),

а

для

среды

с полостью,

образованной вращ ением

пятиугольника с округленными

углами

(Л7 =

4,

е =

1/10) — с точностью

О (в2) [62].

Коэффициенты

концентрации

напряж ений

k([f определялись по формулам (9.36).

Расчеты

напряж енного

состояния

сред с

указанными

полостями про­

ведены

для

материалов',

упругие

постоянные которых приведены в

табл. 6.14 (материал

№ 1

— изотропный,

а № 2 — 4 — трансверсально

изотропные).

При

этом

исследовано

распределение напряжений как

по поверхности полости, так и при удалении от нее.

К онцентрация

напряж ений около

ортогональны х

неканонических

графики

на

рис. 9.15,

соответствующ ие случаю

изотропной

(v = 0,3)

среды

с

конической полостью

{N — 2, е =

1/4,

у

=

0).

При

этом в

верш ине

конической

полости

значения

k® (у =

0,

р

=

1)

больше

соответствую щ их значений

в случае

сферической

полости

примерно

на 44 %. Качественно

аналогичный вид имеют соответствующие гра­

фики

и

для

трансверсально

изотропных

материалов.

Н а

рис.

9.16, 9.17

приведены графики

изменения

коэффициентов

концентрации

напряж ений

k®

и k\^

по

характерны м направлениям

при удалении от биконической

и замкнутой

цилиндрической полостей

в изотропной

(v = 0,3)

и трансверсально

изотропной

среде (см. мате­

тов концентрации напряж ений

в окрестности рассматриваемых по­

лостей от соответствую щ их

значений номинальны х напряж ений, кото­

рые приняты за 100 %, не

превыш ает 6,3

% при р = 2 и

1,9 % при

р = 3. А низотропия м атериала

оказы вает

сущ ественное

влияние на

увеличение коэффициента

концентрации

напряж ений

Ж1\\

(по

сравне­

Щ

нию с

соответствующим

значением

для

изотропного

тела)

при в =

== ± 1/9, у =

О, я /2 ,

л/4

достигает

78 % .

Коэффициент

концентрации напряж ений

на

сферической

по­

лости

меньше

на

биконической

полости (у =

я/2)

на

41,5 %

для

изотропного

тела

и

на

47,6 % — для

указанного

трансверсально ­

изотропного

м атериала.

Соответствующие

маж орантны е

значения

и

£фф

приведены в

табл. 6.10 для изотропной среды с биконической (е =

Чд)

и цилиндри­

ческой

(в =

— 1/9) полостями.

К ачествено аналогичные числовые и графические

результаты

по­

лучены

в работе

[621

при

исследовании

осесимметричного н апряж ен ­

среде, поверхность которой

образована

вращ ением

пятиугольника с

округленны м и углами

вокруг оси симметрии.

В работе [181 рассмотрена задача об осесимметричном напряж енном

состоянии трансверсально

изотропной

среды

(см.

материал

№

5,

табл. 2.2) со свободной от напряжений

возмущ енной

сферической

по­

лостью , описываемой

в

сферических

координатах

уравнением г =

= 1 •+■ в cos &0 при k

=

2,

6, 8, е = 0,1; 0,2.

Исследовано

упругое

ж ен и я-сж атия (9.15). В частности,

исследовано распределение

н апря­

ж ений в

случае одноосного

растяж ения-сж атия

( т ^ О , q =

0;

k =

=

2;

6),

а такж е в случае

двухосного

растяж ения-сж атия (т

=

2q\

k

=

6). Реш ение задачи получено с точностью О (в8) на основе второго

вари ан та М ВФ Г, изложенного в гл. 3. Отметим, что при малых

значе­

ниях

параметра

в уравнение

г =

=

1 +

е cos 20

согласно (3.156) до­

статочно хорошо описывает

форму

эллипсоида

вращ ения. Это позволи-

Ъ)

м

У

^ г ( г

о,1-ф,I

радиуса

с замкнутой конической полостью. Аналитическое решение

получено

с точностью О (к3). И зучена концентрация напряжений в

ношения GJG i,

где в соответствии с (2.88) Gx = Goa = у (сп — с12),

G2 — Gm — £.|t-

Н а рис. 9.18

показана

зависимость

коэффициента

концентрации

напряж ений

от Gx/G2

на различны х

расстояниях

от поверхности

полости при у =

2л/3, е =

0,25. Приведенные кривые свидетельствуют

ветствующих номинальных

значений при р = 2 составляет примерно

1,7

%).

Аналогичные исследования проведены в работе [61] для трансвер­

сально изотропных цилиндров с биконической (е — 1/9) и

замкнутой

цилиндрической (е =

— 1/а)

полостями,

поверхности которых описы­

ваю тся на

основе функции

(2.174), где /

(£) = £~3. Зависимость коэф­

фициента

концентрации напряж ений £$}, от отнош ения Gx/G2 показана

на рис. 9.19 при у =

л /2 , s

=

Vo. При этом в пределах 0,5

GX/G2< I

^

4,5 максимальное

значение

£$}> на поверхности биконической по­

ляющ им элементом. Выясним

вопрос

о возможности сниж ения кон ­

центрации

напряж ений на

поверхности полости до

ном инальны х

напряж ений

за счет выбора

толщины

подкрепления

(при задан н ы х

м атериала

подкрепления (при заданной

его толщ ине). И сследования

проводятся

при статических осесимметричных н агрузках: двухосной,

одноосной,

всестороннем равномерном

растяж ении -сж атии

и

круч е ­

нии. А налитическое решение получено

с точностью О (е3)

на

основе

П редполагается,

что внутренняя

поверхность подкрепления

S 0 и по­

верхность

раздела S x (внеш няя

поверхность подкрепления)

в

б езр аз­

мерных

сферических

координатах

г, 0, а

описываю тся

уравнениям и

S 0 ~ г =

Го -f- е0/ 0 (0),

S x

г = 1 -Т

(б).

(9.41)

Здесь

е0,

ег — малые

безразмерные

параметры,

характеризую щ ие

отклонения S 0

и S v

от сфер г = г0 и г

=

1; / 0 (0), ft (0)

— непреры в­

ные достаточно

гладкие

функции,

характеризую щ ие форму

поверх­

ностей

S 0,

Н а внутренней свободной от напряж ений

поверхности

подкрепления граничные условия

имеют вид

(ЦгмПг.о +

creM^0.o)so — 0.

(9.42)

(ut,i — ut,2)Sl = 0

(t = г,

0),

I(Ort.i — аил) nr,i +

(oet.i — ff«.a) «M is, = 0.

'

В (9.42),

(9.43) Ut,\ и o/t,\ — перемещения и напряж ения в

подкрепле­

нии;

ц/,2

и

Ojt,2 —

перемещения

и напряж ения в среде, представляю -

щ ие

суммы

lit,2 =

щ,г + и ( и

о//>2 =

0,7,2 +

сг/r- Н ап равляю щ и е

ко­

синусы nt,i (/ =

0;

1) единичных нормалей к

5 0, 5 Хопределяю тся

по

формулам

типа

(9.20).

баа

X

/-

2 ^

2

's

■<5в(иг

Зсй1

X

т

0

2

k

6

8 fff2

Я

2

£

6

8 Gw

Рис.

9.20

a

Рис.

9.21

5

р аскл ад ы вали сь

вы раж ения

вида ft (0) Р п\ fi (0) d P Jd B \

fi (0) d P n/d&\

,2

fi

(0) ctg

QdPJdQ',

ft

(9)

Pn,

ft (9) d P jd B ;

fi

(0)

P n\

f, M P n/dQ\

fi

(0) fi

(0) dP Jd& \

fi (0) ft (0) ctg 0 dPJd.%

по

полиномам

Л еж ан д ра

или их

производным

согласно

рекуррентны м соотнош ениям

для сфе­

рических

ф ункций

[16,

27]. Расчеты

выполнены

при

следую щ их

зн а ­

1--------

чениях

механических

и геом етрических

х а ­

\

рактеристик:

vx = v2 =

0,3;

80 =

0;

0,1;

8i =

0,1;

/о (0)

=

fi

(0)

=

cos 20;

r 0 =

0,8 .

1,6

Н а

рис.

9.20

в

точках

0

=

0,

я /2

на

Я/:2\ 1

поверхности

подкрепленной

полости п ока­

зано

распределение

напряж ений

а ££,2

при

19=0^.

растяж ении

вдоль

полярной

оси

(т Ф 0,

q =

0)

в

зависимости

от

G12 =

Gx/G2

(Gx,

1,2

G2 — модули

сдвига

подкрепления

и

среды). В частности, при G12 =

0 (свободная

Ofi

от напряж ений

поверхность S x) м акси м аль­

/г~^ &гг,2

ные

напряж ени я

уменьш аю тся

по

сравн е­

нию

со

случаем

среды

со сферической

по­

( /

х

лостью

(ш триховы е

кривы е).

У величе­

Ofi

бвв.р

ние

Gx2

ведет

к

уменьш ению

н апряж ений

X

О0в,2, Оо«,2 на

поверхности

подкрепленной

X

полости

и

увеличению

напряж ен и й

огг>2.

Т ак, в интервале

3 ^

G12 ^

6

их значение

примерно соответствует основному

н ап р я ­

женному

состоянию

среды .

Н а

рис.

9.21,

а

(0

=

0);

9 .21,

б

(0 =

~0,k

0,5

1,0

1,5

q/V

=

я/2)

показано

распределение

н ап р яж е ­

ний

при

двухосном

(д/т

=

2)

растяж ен и и

Рис. 9.22

среды

в

зависимости от G12 д л я д вух видов

внутренней

поверхности

S 0 ( / — при е0 = гл =

=

0,1;

2

—

при

е0 =

0;

e j ^ O . l ) .

Зд есь

уменьш ение

м аксим альны х

нап ряж ен и й

на

поверхности подкрепленной полости до основ­

ного

напряж енного

состояния

наблю дается

при

4

G12 ^

6.

И зменение

н ап ряж ений

на

поверхности

полости

S 1

в

зависимости

от qlx

показано на

рис.

9.22 (0

=

0,

я/2 ) при

С12 =

5.

Эффективность

применения

второго

вар и ­

ан та

метода

возмущ ения

формы

границы

(§ 3

гл. 3) в рассматриваемом

классе

к р ае ­

вых

задач

п роверялась

на

основе

кри тер и я,

излож енного

в

§ 3 гл. 6.

П ри

этом

практиче­

ск ая

сходимость

метода

в

рассм атриваем ом

диапазоне

изменения м еханических

и геомет­

рических

характеристи к

явл яется

достаточно

хорош ей . Т ак , н ап ри ­

мер,

относительные

н ап ряж ен и я

Qrr.ilx

при

одноосном

растяж ении

(т Ф

0,

q =

0)

на

поверхности

раздела

(0

=

0)

при

G JG 2 =

10 равны

1,154, причем

нулевое

приближ ение

составл яет

7 7 ,3 % ,

первое —

18,4

% ,

а

второе — 4,3

% .

4.2.

Равномерное всестороннее растяж ен и е -сж ати е . И сследуем один

практически

важ ны й

частный

случай рассм отренной в

п.

4.1 краевой

задачи,

когда

у п ругая

изотропная

среда с подкрепленной неканони ­

ческой полостью находится под действием

равном ерного

всесторон­

него

растяж ен и я -сж ати я . Этой

н агр у зк е

соответствую т ном инальны е

н апряж ения

(9.15),

(9.16)

и

перемещ ения

(9.17) при q =

х.

Расчет

напряж енного

состояния среды с подкрепленной полостью

проведен

при следую щ их

числовы х

зн ачен и ях

постоянны х: vx =

v2 =

=

0,3;

в0 =

0;

0,1;

Ej =

0,1.

Н а

рис.

9.23

(0

= 0) и рис.

9.24,

9.25

(0

=

я/2)

показано

изменение

напряж ен ий

сг^.г/т на границе разд ел а

^

в

зависимости

от

отнош ения

Cv/G2 =

С 12.

В случае G12 = 0 получаем

р езультаты ,

которы е

соответствую т

среде со свободной от напряж ен и й

полостью , близкой

к сф ерической,

радиуса

г =

1.

К а к

следует

из

рис.

9.23— 9.25

(г0 =

0,8),;

увели ­

чение модуля сдвига м атериала под­

крепления

приводит

к

пониж ению

концентрации

напряж ений в среде

(на

поверхности

раздела 5 Х). Т а к ,

при

г0 =

0,8,

в

интервале

3 ^

^

G12 ^

5 напряж енное состояние

на

поверхности

S x

ум еньш ается

примерно

до

значения

основного

напряж енного состояния. С умень­

шением толщины подкрепления д л я

снижения

концентрации

н ап р яж е ­

ний до

номинальны х

н апряж ений

необходимо

соответственно

увели ­

чить G12 (например, г0 =

0,9

соот­

ветствует

интервал

7 <1 G12 ^

8)

(см.

рис. 9.23, 9.25).

1.2

14

При

дальнейш ем

увеличении

жесткости

подкрепляю щ ей оболоч­

Рис. 9.26

ки определяю щ ими становятся на­

пряж ения

о гг,21х - Соответствую щ ий

Г

им

коэффициент

концентрации

'в

характерны х

точках

поверхности

3,2 \ \

раздела

S x

с

увеличением G12 уве­

VS,

личивается,

стрем ясь

к соответст­

2,8 ,

V\

So

вующему значению в среде с ж ест­

ким

включением.

V V 5

Распределение

н апряж ен и й

2Л

a aoti2lx

по

сечению

0 =

0

при

р а з ­

личных

значениях G12 показано

н а

2,0V

2

рис. 9.26

(е0 =

ех

=

0,1,

г0

=

0,8)

и

рис. 9.27 (б0 =

0,

ех

=

0,1,

r Q —

'К Г ч

— 0,8).

П ри

этом

сплош ные

кри ­

1,6>

V

V .

вые отвечают случаю неканониче­

w

IV

ской

поверхности

раздела, а ш три ­

—

ховые — сферической. Д л я сравн е­

1,2

ния приведены графики изм енения

максимальных

напряж ений

в среде

0,8)

со

свободной

неканонической

по­

1,0

1,2

1Л

1Д

лостью (ш трихпунктирные кривы е).

Рис. 9.27

4.3.

упругий

изотропный

круговой

ц и ­

линдр радиуса

R x с осевой неканонической

полостью, подкрепленной

толстостенной упругой

изотропной оболочкой

из

другого

м атер и ал а .

К а к

и в п. 4.1,

предполагается,

что внутренняя поверхность подкреп­

ления S„ и поверхность раздела

5 Хописываю тся

уравнениям и

(9 .41).

И сследуем

напряж енное

состояние

цилиндра

с

подкрепленной

по­

лостью, возникаю щ ее

при

его кручении моментом

М . В

этом

сл учае