книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

ординатах

rk,

0fe, zk, отнесенных

к некоторой

характерной длине г0,

описываю тся уравнениями

rk =

rk + ea>kfk (Qk)

(rk =

const > 0 ,

0 <

e <£ 1,

— 1 < w* <

1),

(3.92)

гДе

fk (0a) — дифференцируемые

функции,

характеризующ ие геомет­

рию

поверхностей

S k.

П усть требуется исследовать напряженно-деформированное состоя­

ние

рассматриваемого

многосвязного тела при

известных

на

его по-

о

о

верхностях S k перемещ ениях ujk или напряж ениях xjk. В

этом

случае

граничными

условиями

будут

Л

0

или

k =

^Jk

Zk)*

(3.93)

Л

Л

+

Grkff) nrk +

К

/ * +

a W

n h K

=

(3-94)

основного

(номинального)

напряжен­

где Ujk, aikjk — составляю щ ие

но-деформированного состояния, отвечающие,

например,

заданной

нагрузке на «бесконечности» (в случае

неограниченной

области D).

Заметим,

что возможны

варианты,

когда на некоторых поверхнос­

тя х

заданы краевые условия в перемещениях (3.93), а на остальных —

в напряж ениях

(3.94).

Реш ение задачи,

удовлетворяющее

полной системе уравнений тео­

рии

упругости

и краевым

условиям типа (3.93),

(3.94), будем искать

в виде

рядов

и/

=

2

s

« / \

Oi /

=

S

6 а *уу

(3.95)

я

п=0

я

к к

п—0

к *

Д опустим, что

функции fk (0ft), а

такж е

заданные нагрузки таковы,

что искомые

компоненты

и™,

можно

представить

рядами Тей­

лора

в

окрестности

круговы х

цилиндрических

поверхностей rk = rk,

т. е.

(л) I

V

о

* # №

&

in)(,

«/* К =

—

---------

drl

'k

<7=0

Я I

(3.96)

a v *

Is*

(Qfe)

у

(n)

<7=0

q !

M

lk’k

'k=rk

"*'

k

Тогда перемещения

u/k и

напряж ения

Gtkjk на

поверхностях

Sk до­

пускаю т представление

„ V

“О Т <0А>

,,(л—т)

И)

„ ? 0 б

, £

ml

к

и'к

(3.97)

п V

5м

(л—т)

Oi.f.

rk~rk

' v * W

“ * w

т

| "

* ?

*'*

Единичные векторы ertfe

нормалей

к

поверхностям S k определяю тся

через функции

уровня

Ф й [гк, 0*) =

гк — еюkfk (0ft) по ф ормуле

^/1. --

| УФ^ |

( %

=

nr„Qrb +

nBl

(3.98)

‘ft

'""к

'~ 'irrk '

""ft

причем

V — оператор

Гамильтона;

е,ь,

еВ/г — координатны е

орты .

Следовательно,

на основе

(3.92),

(3.98) получаем

Пгк ~ Т Г >

пЧ ~

ьщ!'к Фк)

"*» э О ,

(3.99)

Л* lrk + ей)*/* (б*)]

etOft/fe

(Oft)

k21 2

где

Aft =

±

1 +

(3.100)

Гк + 8©ft/fe (Oft) J J

Здесь штрихом обозначена производная по переменной 0А.

Расклады вая

вы ражения

(3.99) в ряды по

е,

находим

«Г,

=

I

е’ к »

<ад +

Л А М . v _ u

(9*)],

s=0

L

ffe

J

(3.101)

«е,

ft <9 * )E

e V u ( 9 , ) ,

Гк

S=1

где

Ы

(9.) =

£

S

1=0 /1=0

(T-frt=S)

(3.102)

©£

4 ,

=

-

^

ft (9*).

В . =

(Й (9 .) +

(ft № )(»).

-= j-

£

L T [ u f - m) + u f ~ m)]

~

Й= f e

(3.103)

т=0

й

К

rfe=rft

й

в случае заданных на Sk напряжений

mt ID S’ ( < 4 ” +

“ v T ’> +

К / Г

+

-

* 4 - <3 ' Ш4>

л

0

/ч

0

разлож ения

известны х

Здесь u (£ t и(%,

0 у й,

— коэффициенты

~

о

J

о

функций

u jk, Ujk, < jyfe, xjk

в ряды по положительным степеням пара­

метра е. Дифференциальные операторы

L ll), D D < $ имеют вид

Г («) _

©fc/fc Ф<’)

дп

Ь*

=

д!

К

’

f f l

=

X

[ "Vs./d (Oft) H-----Vs—i.a (Oft)

L(n—s)

—

ft

»

(3.105)

5=0 L

'ft

^2ft

=

-h

~z

/ft (Oft) S

Ys—l.fe (Oft)-

'ft

s=0

Е сли

область

D конечна

в

направлении

Okzk,

то

краевые

условия

(3.103),

(3.104)

необходимо

дополнить соответствующими условиями

типа

(2.166) — (2.169)

на

торцевых

плоскостях.

4.2.

Осесимметричные поверхности раздела, близкие к сферическим.

К ак

и в

п.

4.1

предположим,

что граница

5 области

D состоит из т

поверхностей, т. е. 5 =

1J

5 а U

... U

Sm. При этом рассмотрим слу­

чай,

когда

поверхности

являю тся

осесимметричными

с

общей

осью

вращ ения

Ог. П ринимается,

что

контуры

Г*

произвольных

мериди­

анных сечений S k описываю тся уравнениями

типа

(3.92),

где под rfe,

6ft, a k следует понимать сферические координаты

(6* — углы широты,

a k — углы

долготы).

При

таки х

предположениях

поверхности

Sk

будут

неортогональными,

т. е. меж ду ортами координатных осей

erft,

ео., еа

л

и ортами нормалей е„

Я

к S h

условия ортогональности не выпол-

Й

о

о

няю тся. Если

на S k заданы

перемещения

и,к или

усилия т у

то кра­

евые

условия

формально

будут иметь

вид

(3.93),

(3.94),

где jk =

гк,

б*, а й. При этом направляю щ ие косинусы определяю тся по формулам

типа

(3.99),

причем в рассматриваемом случае Пак =

0. В связи с этим

и ряды по степеням е для

направляю щ их

косинусов

пГк

и

будут

такж е

аналогичны

(3.101).

Если

на

поверхностях

5*

перемещения

и-!к

и

напряжения

cr,yfe

представить

в виде

(3.97), то в итоге краевые условия на

Sk в произ­

вольном приближении примут следующую форму:

при заданны х на S k перемещ ениях

£

L f | <

- °

+

K

=

Ufk

f t

= r „

e „

a t y,

(3.106)

s=0

K

rk k

при заданны х на S k усилиях

i

m

к

?

+ ° №

) +

m

= k -

(3.107)

А налитическая

структура дифференциальных

операторов L f \

D {$ t

Dm

формально

аналогична

(3.105),

где следует

считать

rk,

сфе­

рическими

координатами.

Таким образом, рассмотренные в настоящем параграфе простран­

ственные

краевы е задачи

для указанного класса многосвязных нека­

нонических областей с помощью второго варианта метода возмущения

формы границы сведены к рекуррентной последовательности краевых

задач

для

канонических

областей

той ж е

связности.

Заметим,

что

здесь,

как

и в

§ 4, 5 гл. 2,

подробно

не

излагаю тся

методы

решения

краевы х

задач

для

соответствующ их

канонических

областей — они

предполагаю тся

известными

[22,

26].

§ 5.

С оставны е тел а с п овер хн остям и р а з д е л а ,

близким и к коническим

В настоящ ем параграф е рассмотрим

трехм ерны е краевы е

задачи

д л я

составных

тел,

поверхности

раздела

которы х

бл и зки

к коническим

(т. е. к

координатным

поверхностям

0

=

co n st

сф ерической системы

координат) 188]. Они сводятся к последовательности краевы х задач д л я

тел с коническими

поверхностями раздела. П ри

этом

приведем

р ек у р ­

рентные соотнош ения и дифференциальные операторы в произвольном

приближ ении,

позволяю щ ие

реш ать

поставленны е

краевы е

задачи

с требуемой точностью . Кроме

этого в п. 5.3 укаж ем

конкретны й

вид

диф ф еренциальны х

операторов

в

прям оугольны х,

цилиндри ческих

и сферических координатах, необходимых для

реш ения с

точностью

О (е4)

рассмотренных

в гл. 3

краевы х

задач д л я кусочно-однородны х

тел

с

неортогональными поверхностями

раздела.

5.1.

Н еосесимметричная

задача.

Рассмотрим

составной

конус,

граничная

поверхность S n которого совпадает с некоторой

координат­

ной

поверхностью

0 = 0лл =

const

сферической системы

координат

г,

0,

а (0 — угол

широты),

а поверхности раздела

S t описы ваю тся

уравнениями

0 =

0 / - f е/у, (г, а )

(0/ = c o n st/>

О,

I = 1,

2,

,

N —

1).

(3.108)

Здесь y t (г, а ) — непрерывные вместе со своими

производны ми

ан али ­

тические функции,

характеризую щ ие формы

поверхностей

5 ,,

а

е, —

малы е безразмерные

параметры (| е, [

1), определяю щ ие отклонение

поверхностей

S , от конусов 0 = 0/ (20/ — углы

растворов).

П редположим,

что требуется

исследовать

напряж енно-деф орм и ­

рованное состояние рассматриваемого составного конуса при заданны х

на

поверхности

Sn

перемещениях 0/ или внеш них

уси ли ях

т/

(/ =>

=

г, 0, а ). П ри

рассмотрении

задач статики

напряж ен и я о*/,*

в к а ж ­

дом слое

(k

=

1, 2,

..., N) должны удовлетворять известны м

уравне­

ниям

равновесия

в

сферических

координатах

(2.12),

(2.74),

закон у

Sn (0 = 0л/ = const) имеют

вид

и/.л?|Q=eN =

v,t

(3.109)

или

<re/.w |е=еN =

Ту (/' = г,

0, а; N >

2).

(3.110)

Если рассматривается конус

конечных

размеров,

ограниченны й в р а ­

(3.109) или (3.110) необходимо дополнить соответствующими

краевы ­

ми условиями на поверхности г = const.

В предположении, что между l-м и (/ -f- 1)-м слоями осущ ествляется

идеальный контакт (полное сцепление), условия

сопряж ен и я

на по­

верхности раздела 5/ можно записать в форме

(и/./ — tt/./+i)S/ = 0 0' “ г, 0, а ; / = 1, 2,

, N — 1),

Kff/r.f

a fr,l+l) nr.l +

(Oq/'I — Oq/j+ ]) JtQ'i -f-

(3.111)

+

(°W,/

CTa/.Z+l) na,i]sl =

0,

где

п ц — направляю щ ие

косинусы единичного вектора e„.f нормами

П[

к поверхности

раздела

5 /,

который

определяется

через

функцию

уровня

Ф/ (г, 0, а) =

0 — е{у{ (г, а)

(3.112)

по формуле

Сп-! = Tv® I|

(7

=

е' ^

+

е0~

Ж +

е а Г1ЙГ0 i r ) -

(3-113)'

Следовательно,

направляю щ им

косинусам

nJti (/ =

г, 0, се) в рас­

сматриваемом случае соответствую т вы ражения

е.

ду{ (т, a)

i

«а./ =

b

5y, (/-, a)

(3.114)

Д^г sin 0

da

Здесь

1

1 .

2

1

(. *tt f

(3.115),

7Г +

[ С

Г + - /•2 sin3 0

da ) _Г

будем искать в виде рядов

u/.k = £

e " u $ ,

o ti.k = £

(3.116),

/2=0

/2=0

где малый параметр выбирается по принципу

е =

max | ©/1

1

(J = 1. 2, . . .

N - 1),

8/ == <0/8,

— 1 < < о ,<

(3.117)

I.

Следовательно,

на поверхностях

раздела 5 / (в предположении, что

а ) допускаю т разлож ения

искомых компонентов

в

ряды

Тейлора в окрестности

координатных

поверхностей 0 =

0/)

полу­

чаем разлож ение

«/.*is/ =

S

е" X

< ? / ’ (Г, a)

ff’1

„(п-т)

mi

ае«

Ui'k e=e.

п=0

ш=0

(3.118),

,

у

, Т

('.<*)

<?»

л п - т

Gij.k |S/

2mJ ®

2 j

tn I

50"

a »'M

0=0,

n=0

m=0

Н а

основании этого

первое условие

сопряж ен и я

(3.111) в

произволь­

ном

приближении сводится к виду

S

G tftu ft"* — « M b - e , = 0

(3-119)

5=0

.где

Go? — дифференциальный

оператор

Л{5) _

< № ''• “ )

5s

( s >

0,

1 =

1,

2,

. . . W

—

1).

(3.120)

G ol~

si

30з

Д л я определения второго условия

(3.111) в произвольном

прибли­

ж ении необходимо

направляю щ ие

косинусы

«/,;

представить

рядам и

по степеням г и использовать разложение

(3.118). В связи с этим отме­

тим, что для малых

произведений

ею,у,

(для которы х cos есо,у, ~ 1,

sin ею,у, — 8(0/7/) допустима приближенная формула

sin (0/ +

еш/7/) — sin б/ +

e(°/Y/cos

(3.121)

Н априм ер,

при

e =

0,

1, ю, =

1, | y , | < 1 поверхность 5 , отклоняется

примерно

на 6° от конуса 0 = 0 / .

В

этом случае

на

основе

(3.114),

-(3.115),

(3.117),

(3.121)

имеем

п,,1 =

8(0.

Зу/

— -д-*- (1 +

8(0,7, ctg 0,) -^г

6(0,

(3.122)

«6./ =

д^г о

+

“

« I c‘g ад .

« « . - = -

-V

1пгё7 ж

•

З д е сь

Ли =

^1 +

Е 8s(0/Q2/ (г, a ) j

,

£2„ =

2у, ctg 0,.

Йi

=

Y? c tg - e , +

г " ( ^ ) ' ! + 1 Й Ц - ( - Й • ) ^

(3.123)

а , = 2y ,r‘ ctg е, ( 4 £ - ) !,

О . =

T,V

ctg- 0, ( 4 j £ . ) \

Следовательно, направляющ ие косинусы

п ц

могут

бы ть представ­

лены в явном

виде рядами

оо

Пг.1

Uq.1 — Е

8;П^/,

Яв(/ — — Е

8^/Ia?/,

(3.124)

/=0

/=0

-где

Я #

=

— Г(0/

(<?/,/_, + - i - QuQ/./_2) ,

4 ,i

=

<oi (q,./ +

-^ -Q i,Q /,/_ ,),

(3.125)

/Л

(0/

dv.

“

Ж 0 7 I T

0‘ >

1»

Qi.-I ^

0).

П ри этом функции Q ij являю тся

коэффициентами разложения вы­

раж ен и я Д п1 в р яд по степеням ecoi и определяю тся по формуле

/

k

п т

Q ij (г,

а ) =

£

£

£

£

Qtknms(r, а);

fc=0

0 m=0 s=0

(fc+rt+m+s—/)

(3.126)

k l (2k — 1)!!

S2/fe„ms(r,

а ) .=

(— I) (k — n) I (n — m)! (m -

- 5) I s I (2k) II

x

X Q j r o r ' f l s r o b .

Таким образом, на основании (3.111), (3.118), (3.124) условия со­

пряж ения в

напряж ениях

в произвольном

приближении

принимают

вид

S

(Off1[ o ftr ”

-

« M

i

+

о Т

[ о ! V ' -

О Й 5 1 +

m=0

+

а Т

1о% Г' -

a K ? ,j ) e - e , =

о,

(3.127)

где Cffi (i =

1,

2,

3) — дифференциальные

операторы:

/=о

G if =

£

n & G g T 'l

/= о

(3.128)

G if

=

-

£

/ г < М Г Л

( 7 = 1 ,

2

, ------ Л7— 1).

j=o

Граничными

условиями

на

координатной

поверхности Sn согласно

и?м |e=ew =

v f

или

|o=ew =

(3.129)

где v f , г}") — коэффициенты

разлож ений заданных на

переме­

щений V} или усилий ту в ряды по е.

Замечание. Если поверхность

5дг является некоординатной и ее

уравнение можно представить в виде

0

= 0# +

еа>#удг(г, а)

(3.130)

(0/V — Const,

8 < ^ 1 , — 1< C 0W< 1 ) ,

при

заданны х

на

S N перемещ ениях v-,

п

(3.131)

при

заданны х

на

S # усилиях Т/

П

(3.132)

Здесь

Gj£w (k — 0,

1,

2, 3)

диф ф еренциальны е

операторы

вида

(3.120),

(3.128),

если

в

последних

ф орм ально

полож ить

Ш/ =

a>N,

уi (г, а)

= ум (г, а) (в предполож ении, что ф ункция

yN (г, а ) явл яется

непрерывной и дифференцируемой).

5.2.

Осесимметричная задача.

Рассмотрим

случай ,

когда

у р авн е ­

ния (3.108) не зависят от угла долготы а ,

т. е. когда поверхности

р аз­

дела 5 /

описываются

уравнениями

9 — 0/ + 8®{7/ (г)>

(3-133)

а заданные на S u перемещения

Vj или усилия Т/ явл яю тся симм етрич­

ными относительно оси конуса.

П ри

таком

описании

поверхностей

Sj н аправляю щ ие

косинусы

(3.114) упрощ аются к виду

6(DjY/ v )r

1

__n

ПгЛ ------------ Г-------

> tlQJ = —7--- , tlUfl =

О,

(3.134)

А ,/ = У

\

+

е2©?/-2 [y'i {r)f,

yi (г) =

dyJ p -

•

Следовательно,

правые

части

(3.134)

допускаю т

разл о ж ен и я

Л к .

/г—1

n r.r-—

Е

2

f t r f r r ' - ' r t w r ,

Л > ? ( - 1 )

А=1,3,...

(3.135)

no.! =

Е

fc=0,2....

Эти ряды сходятся при

выполнении неравенства

|е а у у /(/■ )!<

1.

(3.136)

V

з~и

yn-$

o t?1 = шГ

/

n

~

(s — 2) II

(3.138)

S

v

4

(s— 1) II (m — s) 1

дё^- s

s

f f n s

G$P =

(of

s

( s - 1 ) II

г* у Г а(г)1У1(г)]а

d0m-s

*

( - 1 ) 2 s II (m — s) ]

s=0.2.

Здесь m* =

m — 1, m** =

m для четных /и и m* = т ,

т т =

т — 1

для нечетных

т .

.108

меняемые в случае

круговы х

конусов.

§

6. Д и ф ф ер ен ц и ал ьн ы е о п ератор ы

в

н екоторы х частных случаях

Приведем дифференциальные

операторы

в прямоугольных, круговых

цилиндрических

и

сферических

координатах,

необходимые для ре­

ш ения

краевы х

задач механики

кусочно-однородных тел с

неортого­

нальными поверхностями раздела

с

точностью

О (в4).

6.1.

Поверхности

раздела,

близкие

к плоским. При

рассмотрении

в

п. 1.1,

1.2 § 1

многослойных

тел

с поверхностями

раздела S ± , близ­

кими

к

плоским,

которые

описываются

уравнениями

z — ± h +

+

eco-t f ± (x, у),

условия

сопряж ения

на

S ± сведены к

последователь­

ности

условий сопряж ения

на

плоскостях

z — ± ft. При

этом диффе­

ренциальные операторы

(v — 1, 2, 3) в общем

виде получены

в

форме

(3.21). В первых четырех приближ ениях

( т

=

0,

1, 2, 3) кон­

кретный

вид этих

операторов

следующий:

о,

n 3±(0) = ±

i ,

N ? {{)

*/±

ЛГ2±(,)

-+- 0)± ду

»

дх

’

^з±(1) =

=fc©±/±

-gj- ,

df+

д

У±_

д

N t * = -F « V *

дх

дг

= Ч « У ±

ду

дг

(3.139)