книги / Элементы механики кусочно-однородных тел с неканоническими поверхностями раздела

З ад ач а

о напряж енном

состоянии

полых

цилиндров

с

локальными

•окружными

выточками,

находящ ихся

под действием

самоуравнове-

шенных по толщ ине цилиндра торцевых нагрузок, позволила исследо­

вать,

в каких случаях краевы е условия

на свободных от

напряжений

торц ах

допустимо подменять интегральными краевыми условиями на

торц ах (т. е. когда главный вектор и главный момент сил, действующих

на торцах,

равен

нулю).

3.1.

Изотропные

цилиндры

с

боковыми

выточками. Постановка

и метод решения краевы х задач для сплошных цилиндров

с внешними

осесимметричными выточками на боковой

поверхности изложены в § 1

гл. 5. Рассмотрим теперь упругий

полый

цилиндр высотой 2h с внут­

ренней

круговой

цилиндрической

поверхностью

S 0 (г = а) и внешней

поверхностью S 1(

описываемый в

безразмерных

цилиндрических ко­

ординатах г, г (отнесенных к внешнему радиусу гх соответствующего

невозмущенного цилиндра)

уравнением

r

= 1

+ ef (г)

( | e | « ; i ) .

(7.43)

П ри

проведении

числовых

расчетов

функцию

/ (г)

будем (выбирать

в виде

/ (2) =

( 1 — c o s - ^ - z j \

(7.44)

h =

3,

8 =

0,15,

а = 0,2; 0,8.

(7.45)

П редположим, что поверхности S 0 и S x свободны от напряж ений,

а на

торцах

прилож ена осевая

н агрузка

интенсивности р . Тогда краевые

условия

примут форму

Огг |z=±ft = Pt

Orz |г=±й — 0,

Огг |г=а — 0,

Огг [г=а =

0,

(7.4 Ь)

(prrflr -(- Grzflz)r=l-t-ef(z) = 0,

{Orztlr ~f" ^

~

0,

тде направляю щ ие косинусы

пг, пг определяю тся

через функцию f (z)

по формулам

пг = { 1 + е 2 [Г (г)]2Г

‘/а.

пг =

— еГ (2) {1 +

е2 (Г (г)]2Г * /а*

(7-47)

Таким

образом, необходимо найти реш ение уравнений

равновесия

(2.12)

(в отсутствие объемных сил), удовлетворяю щ ее на торцах z = ± h

н боковых поверхностях S 0, 5 г краевым условиям (7.46). Д л я реш ения

осесимметричных краевы х задач такого класса в § 1 гл. 5 развит

под­

позиции.

При

этом

компоненты

перемещений ик и

напряж ений а*т

(k, т =

г, Э, г)

ищ утся в виде

рядов (5.4). Тогда

краевы е условия

(7.46) в произвольном приближении примут вид

а<°>|2=±л =

р,

O ^ |z=±ft= 0

( / > 1 ) , Огг |г=±й =

0 ( / > 0 ) ,

°гг 1г=а ~

0,

Огг |г=а ~ 0»

о'Л u

,

=

-

S

+

D M - " ] , - . ,

(7.48)

of. | _ t

=

-

S

[ O f а й - ’

+

o f d

^ ] » , .

s=l

Д иф ф еренциальны е

операторы

D}s>,

Оз* (s =

1,

2, 3),

необходимые

д л я реш ения

краевы х

задач

с

точностью

О (е4),

имеют

вид

o

f

=

/ й

4

-

, o

f

= 4 - {/’ й

- J 4 - -

[/' (*)!*} •

o

f

-

4 -

/ (г) { 4 - f

й

- 5

------(/' « I 2 - Г } •

(7.49>

D 3l)(

=

— / ' (z),

D f =

— f ' (z)D (?],

D P -------Г (z) D ? \

В ы раж ения для

напряж ений

a ^ ,

aee, o «

/т^*)

о

случае

изотропн ого

в

Ozz, a>'zOr

В

тела имеют вид

(5.44). В

итоге задача сводится к

реш ению бесконеч­

тических свойств (5.53),

для достаточно

больш их

значений

N

и

М

м ож но использовать равенства (5.54)

и асимптотические вы раж ения

ф ункций Б есселя.

Рассмотрим

осесимметричную

задачу

о

напряж енном

состоянии

сплош ного изотропного

цилиндра

конечной

высоты

2h со свободной'

от

напряж ений

боковой

поперечно'

гофрированной поверхностью

5 Г,

на­

ходящ егося под действием осевых рас­

тягиваю щ их

усилий

интенсивности р

189].

В этом

случае

в безразм ерны х

цилиндрических

координатах г, г, от­

несенных

к

радиусу г0 соответствую ­

щ его

кругового

цилиндра,

поверх­

ность

S r

описывается

уравнением

(7.43),

где

примем

/ (г)

= cos

г

(k =

1 ,2 ,3 ,

...). К раевы е условия д ан ­

ной

задачи

имеют вид (5.3), где

F , —

=

Fz

= 0,

Q* = 0, Q* = р .

Н а

ос­

нове подхода, излож енного в § 1

гл. 5 Г

получено

приближенное

аналитиче­

ское

решение с точностью О (е3). Ч и с ­

ловые

расчеты

проведены для

изо­

тропного

цилиндра

(v =

V3)

высотой-

2/i =

4 и частотой гофрировки k =

2; 4.

Рассм атривались

четыре

возм ож ны е

конфигурации сплошных

цилиндров,,

Рис.

7.37

показанные на рис. 7.37

(й — k =

=

2,

е >

0;

б — k

= 2,

8 <

0;

в —

.дящ егося

под

действием осевогорастяж ения-сж атия

интенсивности

./? (р >

0 соответствует растяжению, р <

0 — сжатию ). Зад ач а решена

с точностью О (е4). При этом

нормальные напряж ения

оц на поверх­

ностях

уровня 5* |г = гч +

е cos — z,

0 < г* ^ 1 j определялись по

формулам

3

k

п «

=

£ д $ \

m=0П

or

(7.50)

Jfe=0

н агрузке определяющ ими являю тся относительные

напряж ения a zJ p

(например, компоненты а ^ !р значительно меньше

в

наиболее напря­

ж енны х сечениях). Распределение а гг/р по высоте

цилиндра при е =

ны в табл. 6.16. Эти

результаты

характеризую т зависимость осевых

напряж ений как от частоты k, так

и от расстояния

рассматриваемого

сечения от торцов z =

± h. Т ак, например, при k — 4, е = 0,1 значе­

ния коэффициента концентрации напряж ений К =

<Wp У дна выточки

при z =

1,5 более чем в 1,2 раза превосходят соответствующие значе­

ния при

z = 0,5.

А налогичная задача рассмотрена в работе 111] для более сложных

форм выточек и для случая выполнения на торцевых плоскостях про­

условия парности

касательных

напряж ений

не наруш аю тся

на угло­

вых линиях, т. е. на S i при г =

±

Н). В частности, исследовано напря­

ж енное состояние

при осевом

растяж ении-сж атии

интенсивности

р

цилиндров с волнообразной ф

=

0),

трапециевидной

ф =

— Vg)

и

треугольной ф = V9) формой

локальной

выточки

на

поверхности

<Sj, описываемой

уравнением

(7.43), где

f (z) принимается

в виде

2(I +

P) ( ' + P + C0S^ - g +

P C0S- 7 - z)

<1г К < 9 -

/(* ) =

«

( И > < 1 ) .

(7'5 |)

суперпозиции (см. § 1 гл. 5), задача

реш ена с точностью О (s4). При

этом

компоненты

напряж ений определялись по формулам (7.50).

Числовые расчеты выполнены для геометрических параметров h =

— 2, d =

0,4;

е =

0,1

и упругих

постоянных

сц, приведенных в

табл. 2.2 (материал

№ 4). И зменение определяю щ их осевых напряж е­

ний <3zJ p в зависимости

от радиуса г в сечении г =

0 (е = 0 ,1 ) при ука ­

занны х

трех значениях

параметра J3 показано на рис. 7.43. Графики

характеризую т зависимость н ап ря ­

ж ений

от

формы

выточек.

Здесь

яр ко проявляю тся краевые эффекты

(быстрое затухание до номиналь­

ного значения с приближением к

оси

цилиндра). Н априм ер,

на рас­

стоянии, равном примерно Зе от дна

выточки,

огг ~

1,05/?.

Распреде­

л е н и е Огг/р ПО боковой ПОВерХНОСТИ

показано

на

рис. 7.44.

Возмуще­

ния,

вызванные

наличием

выточ­

ки, распространяю тся примерно на

величину

2d от срединной

плоско­

сти (г =

0). Н а рис. 7.45 представ-

Рис. 7.44

Рис. 7.45

лена зависимость коэффициента концентрации напряж ений

К ф = 0)

от упругих

постоянных а /

трансверсально

изотропного

цилиндра.

П ри этом

в

качестве базовых вы бирались указанны е выш е значения

(табл. 2.2,

материал № 4). П араметр 1 явл ял ся множителем

при к а ж ­

дой из постоянных поочередно. Н аибольш ее влияние на К

оказы вает

изменение

постоянных с33 и

с44. К ачественно

аналогичны й

хар актер

имеют зависимости o ^ !q z от

изменения упругих постоянных сп и cit

щ ие напряж ения a zz зависят от изменения упругой постоянной

с33.

П ри рассмотрении краевой задачи для полого трансверсально

изо­

тропного поперечно гофрированного цилиндра, находящ егося под дей­

ствием осевого растяж ения-сж атия интенсивности р [90], такж е

пред­

полагалось, что

его

внутренняя

поверхность

S 0 является круговой

цилиндрической

(г =

а, 0 < а <

1), а внеш няя

S t описы вается

ур ав ­

В случае

осесимметричной задачи условия в

произвольном

при­

ближ ении

на боковых

поверхностях

S 0,

и на торцах

z =

= ± h имеют вид

(7.48).

При этом

согласно

(2.73) н ап ряж ен и я

0mm {tn =

г, 0, г) и

a rz{ определяю тся

по

формулам

000 = С44

_2_

д*

к8

аг* ~

+ kt)

г ]

(Л г),

полый круговой цилиндр с внутренней поверхностью

S 0 (г — а),

внеш ней

поверхностью

S x (г =

1)

и

осесимметричными

торцевыми

поверхностями

S f , описываемыми

уравнениями

2 =

±

h +

еш±/ (г)

( 0 ^ в < ^ 1 ) ,

(7.55)

где

f ( r ) =

— 1

( a < r <

a 0),

/(г ) =

c o s - - (f

*о)

(а0 <

г <

Ь

0),

R

°0 — во

f ( r ) =

1 ( 6 о < / - < 1 ) ,

<0± =

± 1 ,

а < О

о < 6 0 < 1 .

1

'

Рассмотрим

задачу о

напряженном состоянии указанного

цилиндра

(е =

0,05),

находящ егося

в

поле

действия

центробежных

сил

[91].

Граничные

условия

на

S 0, S j, S *

имеют

вид

(flrr "Ь &гг)г=а — 0,

(Огг ”)“ 6rz)r=a — 0»

(prr “Ь 0/т)г=1 ~

0,

{Огг -f- Orz)r=*i — 0*

(7.57)

[(tf/r + Огг) П* +

(0?2 -f- e*z) n f ]г=±Л+еш±/(/-) =

0,

1(Оуг "Ь a rz) Я* +

(Ozz +

Ozz) Hz ]z=±ft+em± f(r) =

0.

Здесь направляю щ ие

косинусы

n * , ri£ определяю тся через

ф ункцию

f (г)

по формулам

л *

=*= — eto±/ ' (г)

,

п ?

=

,

А* == ± {1 +

е2(й± [/' (r)]2}~Vl,

(7.58)

(р — плотность

материала

цилиндра,

со — угловая

скорость вращ е­

ния цилиндра).

Следовательно, в случае

изотропного тела

имеем

1

(1

+ у) (1 4~ 2v)

о

I

Зу

Г2,

рш2 Огг

6v (I — v)

’

рсо2

11

6v

I

(1 + V) (t +

2v)

_2

(7.59)

Огг =

0.

рсо2"а 0О

6v (1 — v)

z ’

излож енного в п.

1.2

гл. 5.

При

числовых

расчетах

напряж енного

состояния

изотропного-

(v = 0,33)

цилиндра

геометрические параметры

вы бирались следую ­

щ ими: а

=

0,4, h

= 0,5, а 0 =

0,64, Ь0 = 0,76, е

= 0,05.

Распределе­

ние напряж ений о „ =

о°п + огг и оое = аоо +

сев по толщ ине цилиндра

на торцевых поверхностях S ? показано

на рис.

7.47

(штриховые-

кривые соответствуют

полому

круговому

цилиндру с плоскими тор­

цами

2 =

± И).

3.4.

Краевые

эффекты ,

вы званны е

самоуравновешенными торце­

выми нагрузками. Рассмотрим толстостенный цилиндр высотой 2h,

внутренняя поверхность 5 0 которого является круговой

цилиндриче­

ской (г =

а), а внеш няя S x описывается уравнением (7.43), где функцию

f (2) примем в форме

/(* ) = — 4 " ( ! +

cos_r

z)

f(*) = 0

( M

> d ) . (7.60)i

П оверхности S„ и S x будем

предполагать свободными от напряжений,,

т. е. граничные условия на них имеют вид (7.46), а на торцах зададим:

нормальную нагрузку

в виде

2q Gгг \z—±h — 50/Wо (Xjf),

(Тгг |г=±Л =

0,

(7.61)

где \ j — корни уравнения

N x (Ха) =

0. В ы раж ения

N 0 (Х/г) и Nx (Xf).

представляю т

комбинации соответствующ их функций Бесселя

No ( V ) = А

( Ч

Уо (^7г)

(V) ^о (^/г)>

( V ) = Л ( Ч Ух ( V ) - Ух ( Ч Л ( V ) .

Распределение функции

Т7,- (г) =

50/Л7о (Я,,г) по толщ ине цилиндра

(а =

0,4) при различны х значениях

параметра изменяемости нагрузки-

(I =

2,

4,

10)

показано на

рис. 7.48, а.

Н агр у зка

(7.61)

является

самоуравновеш енной,

так

как

I

[ N

0 (Xir ) r d r = 0.

(7.63),

о

Осевое сечение цилиндра,

содер­

ж ащ его

одну

окруж ную

выточ­

ку,

симметричную

относительно

плоскости

2 =

0,

показано

на

рис.

7.48,

б.

м етода, изложенного

в § 1 гл.

5 [93].

И сследования

напряж енного

состояния изотропных цилиндров (v =

0,3) проведены при следую щ их

зн ач ен и ях

геометрических параметров: е = 0,06; 0,12;

а =

0,4, d

=

= 0,2, h =

0,4; 0,7;

1,0; 4,0.

Определяющими

являю тся

относительные напряж ения

a zz/2G

и

зан о на рис. 7.49 для / = 2, е = 0,12, h

— 0,4; 0,7;

1,0; 4,0.

Ш трихо­

вые кривые соответствуют цилиндру без

выточки

(для h =

1 и h = 4

у дна выточки. Так, например, при

е = 0,12, h — 0,4

н ап ряж ения

OzJ2G и O00/2G у дна выточки (г =

0)

более чем

в

два

раза

превы ­

ш ают соответствующие напряж ения

в

цилиндре

без

вы точки.

С увеличением параметра изменяемости нагрузки

/' указан н ы е на­

пряж ения сильнее локализую тся вблизи торцов

(рис. 7.50, h

— 0,7),

причем, если максимальное значение

a zz/2G остается

практически не­

f и при I =

10 составляет примерно

35 % значения a zz/2G.

Проведенные исследования даю т такж е ориентир, в каких случаях

в краевы х

задачах для цилиндров

конечных размеров с выточками

удовлетворительной

точностью

зам енять

интегральными

краевы ми

условиями в смысле

принципа

Сен-Венана

(когда главны й

вектор и

главны й момент сил,

прилож енных к торцам, равны нулю ).