^будут сравнимы со значениями для выпу
д2ш°
М ^ 1) = |
— |
dW |
+ |
1 |
|
d2wl |
+ ^2,11 |
|
|
+ Сг,12 |
d^ia} |
+ |
Ri |
|
ааар |
|
А2 |
да2 |
|
|
ар2 |
|
|
|
аа2ар |
|
|
|
+ ^2,13 |
aW |
л- ^2,14 |
aW |
|
|
|
|
|
|
|
|
д2^ |
ааар2 |
' |
|
аа2ар2 |
|
|
|
L2 (о;1, ш°) = |
d2wl |
|
|
|
|
а2^0 |
аУ |
|
aW |
|
|
|
аа2 |
|
|
|
ар2 |
|
|
|
ар2 |
|
|
ааар |
ааар |
|
аа2 |
|
L (ср1, w°) = |
|
|
а2ау° |
|
а2ф! |
a v |
|
+ |
л |
а2бу° |
|
ар2 |
|
аа2 |
|
|
ааар |
ааар |
аа2 |
ар2 |
|
v |
7 |
|
|
|
|
L (ф°, w1) |
ар2 |
|
аа2 — 2 |
а2ф° |
д2xs} |
+ |
д*ф° aW |
(3,8,6) |
|
ааар |
ааар |
au2 |
apj |
|
а2ф° |
^ |
|
а2ф° - со |
а2ф° |
^ |
|
|
|
|
~йй~~Ли |
- |
|
= *bi2, |
|
|
= 12- |
|
|
|
ар2 |
|
|
|
ааар |
|
|
|
аа2 |
|
|
Система уравнений (3, 8, 4) |
и |
(3, 8, 5) представляет |
собой |
линей |
ную систему уравнений задачи устойчивости оболочек с учетом моментного состояния, предшествующего потери устойчивости.
Если до потери устойчивости прогиб w° очень мал и можно по ложить L(ср1, я;0) = L2(Wl, до0) = 0, то эти уравнения существенно упро щаются. В этом случае получим обычную систему уравнений линейной теории
LIV (да1) |
2L " (да1) + L " (да1) = 2L |
(Ф1) + 7\ |
а2шх |
„ аУ |
+ |
2S |
а2^1 |
аа2 + |
2 ар2 |
ааар ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8.7) |
|
L IV (ф1) + |
2L " (ф 1) + L" (ф 1) = — |
(а.1). |
|
|
(3.8.8) |
При |
неравномерном |
нагреве |
величина |
прогибов да0 |
может быть |
значительной уже при малых значениях температуры и значения произ-
водных d2w° , д2иР, ска2--- дР2-----дадр
ченного состояния. Поэтому при решении задач термоустойчивости сле дует использовать систему уравнений (3, 8, 4) и (3, 8, 5). Для опреде ления докритического напряженногосостояния можно воспользоваться уравнениями термсупругости оболочек малого прогиба.
Из полученных систем уравнений следуют, как частные случаи, практически все системы уравнений устойчивости пологих оболочек, имеющиеся в литературе.
В решениях задач устойчивости широко используются энергетиче ские методы. Поэтому получим уравнение устойчивости в энергетиче ской трактовке. Для этого, используя принцип возможных перемещений, получим потенциальную энергию деформации оболочки в форме
U = ( Т JEJ -f- Т 2б2 “Ь ^ ei 2— Л42х 2 ~Ь 2Л412х 12) —
- т я [г‘(£)V Т" (¥■)’■+ 25 Т Г '■ж ] 1 |
(ЗА9> |
Выразив в |
этом уравнении моменты |
через кривизны по |
формулам |
(2, 15, 11), |
деформации еь e2, ei2 через |
усилия по формулам |
(2, 15, 13) |
и усилия через функцию напряжений <р, получим следующее выражение:
|
|
и =Ц{т [С2зГ'+С2иТ2” |
Т 'Т* + |
+ |
А, |
(S12)2- |
PlS12 |
дад$ + (1 - V,v2) (Сг.зТ^г + С2,,Г2Г2г) - |
- |
х |
т> - ± - Ч |
- т Я [т‘(£У+ ( # ) ’+ |
|
|
+ |
|
£ ]-* -Я {т [Ч £ Г + |
|
|
^ |
|
|
|
|
d2w |
d^w |
d*w |
|
|
+ С1.з ~dfi T + 2p2( 'l ^ ') !! + 2v2Cl'1 |
ар2 |
-f- 2pj5i 2------ — |
(М2Т+ V]/kf2т)---- (М2т+ V2MIM)j —qw^dadfi. |
|
|
dadp |
da2 |
|
|
Равновесное состояние отличается от геометрически возможных со стояний тем, что при всяких бесконечно малых возможных перемещениях системы из положения равновесия приращение полной потенциальной энергии равно нулю, т. е.
6Э = Ш + 6У = 0. |
(3,8,10) |
В задачах устойчивости обычно приращение потенциала внешних сил 6V= 0. При потере устойчивости уровни энергии первого состояния (ср°, до0) и второго состояния (3, 8, 1) одинаковы, т. е.
U (до0, ср°) = U (до0 -f- едоЧр0 -f- еф1).
Раскрывая функцию U (до0 + едо1, ф° + еф1) и- удерживая члены второго порядка малости, получим
U (до0, ф°) = U (до0, ф°) -f- еиг (;до0, ф°, до*, ф1) + E2U2(до0, ф°, до1, ф1)
или
et/x (до0, ф°, до1, ф1) + е2U2(до0, ф°, до1, Ф1) = 0,
где U1 и U2 есть коэффициенты соответственно при е и е2 в разложении функции U (до0 -f едо1, ф° -f еф1).
Так как первое и второе состояния равновесные, то на |
|
основании |
(3, 8, 10) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1(до0, ф°, до1, ф1) = |
0. |
|
|
|
|
Следовательно, уравнение устойчивости будет иметь вид |
ф^1 . аф1 |
’.Ф1) |
|
|
|
|
M |
|
Z |
|
/ |
2 |
\г |
- |
j ; |
{ |
|
)2 + С2л |1 аа2 ) |
С2’2 |
|
ар2 даа- |
|
; |
, |
|
а2ф1 |
|
a2tpi |
aw |
|
и |
1 |
|
ар2 |
' |
^cpi |
1 |
|
|
А)1 |
|
|
2аа 1 |
D01 |
dadp |
р1 |
ааар |
dadp J |
|
W1 |
|
d V |
аД |
|
d V |
dad $ — |
|
|
R i |
‘ |
ар2 |
_ ~ яГ |
|
аа2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 2 S |
dw1 |
даД |
+ |
2 - Э2<р1 |
|
fd w ° \ |
|
|
|
|
да |
ар |
|
|
ар2 |
|
1 аа ) |
|
|
+ 2 |
Э2ф1 / дш° |
доД |
да |
д(5 |
|
|
~dadf\ |
dfiд£ |
да |
' |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ с ‘.» f - S -Т + |
2р« |
|
+2v,C,,, ^ |
Ы |
|
|
|
\ <>Р2 ) |
|
‘ |
[ ЗаЭр ) ' |
За2 |
ар2 |
+ 2рх *2L . « - l d o d P - о.
дадр дадР I
Во второй интеграл полученного уравнения входят члены, которыми учитываются прогибы докритического состояния w°. Если эти прогибы малы, то указанными членами можно пренебречь.
2.Определение термоупругих напряжений и деформаций
вортотропных оболочках вращения
Рассмотрим ортотропную оболочку вращения под воздействием симметричных нагрузок и осесимметричного температурного поля. Про гибы оболочки будем.считать малыми по сравнению с ее толщиной и другими размерами. Пусть модули Юнга и коэффициенты линейного температурного расширения будут произвольными функциями темпера туры. Физические соотношения определяются по-прежнему уравнениями (2, 15, И), (2, 15, 12) и (2, 15, 13).
В качестве координат для оболочек вращения обычно принимают: 5 — расстояние от вершины до точки на срединной поверхности, г — рас стояние от срединной поверхности по внутренней нормали, a — угол между аксиальной плоскостью, проходящей через данную точку и неко торой плоскостью отсчета, 0 — угол между касательной к меридиану и
осью вращения. |
|
|
|
|
срединной поверхности |
Выражения для компонентов деформаций |
и изгиба через перемещения здесь имеют вид |
|
|
_ du |
|
w |
|
|
|
= Л |
|
яГ ’ |
|
|
и sin 0 — w cos 0 |
|
8а — |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
d |
(’ и |
1 |
8.W |
\ |
dft |
ds |
\. * 1 |
' |
ds |
) |
ds ’ |
Иа —— sin 0 |
|
|
|
|
(3,8,11) |
(' и |
| |
dw \ _ |
sin 0 0 |
г |
(Л Г |
1 |
ds |
J |
r |
где Ru R2— главные радиусы кривизны, R2cos 0= r — радиус поперечно го круга, Ф — угол поворота нормального элемента оболочки в плоскос ти меридиана, равен
Уравнение совместности деформаций возьмем в форме
|
(геа) — es sin 0 + ■&cos 0 = 0. |
(3,8,13) |
Уравнения равновесия для симметрично нагруженной оболочки вра |
щения запишутся в виде |
|
|
|
— (r7\) — T2sln 6 — — N — Х г= 0 , |
(3,8,14) |
ds |
|
Ri |
|
- f - W |
+ Т 1~1Г + |
Т 2 ^ -----Zr = 0. |
(3,8,15) |
as |
Ri |
R2 |
|
— |
(гЛГ,) — M2sin 0 — rN = 0, |
(3,8,16) |
ds |
|
|
|
где X, Z — компоненты симметричной нагрузки.
Первые два уравнения равновесия удовлетворяются тождественно путем введения вспомогательной функции V, связанной с усилиями по
формулам |
|
|
|
|
T l = — — |
+ — Fl (s), |
т2= - ^ - , |
iV = - c- ^ |
+ — F2(s). (3,8,17) |
г |
г |
ds |
г |
г |
Функции F i ( s ) ( i = 1, 2) являются функциями от внешней поверхностной нагрузки и определяются следующими выражениями:
|
S |
S |
, |
Ft (s) = |
sin 0 1 rErds + cos 0 ( ^ 0ro + J |
|
S° |
|
(3,8,18) |
|
s |
л0го + |
s |
F2 (s) = |
— cos 0 J* rErds - f sin 0 ^ |
j rExdsj, |
|
St |
|
St |
где Er, Ex — составляющие внешней поверхностной нагрузки соответст венно по направлениям г и х\ е^о— значение главного вектора внешних сил, приложенных к единице длины параллельного круга с радиусом г0. Ег, Ех, Р х0 могут быть легко выражены через составляющие и усилия Г)0, N0, которые действуют в поперечном сечении круга s=So и имеют вид
Er = X sin 0 — Zcos 0,
Ех = Х cos0 — Zsin0, |
(3,8,19) |
= Tw cos 0 + N0sin 0O.
Основные разрешающие уравнения получим следующим образом. Заменив в уравнении неразрывности деформаций (3, 8, 13) относитель ные удлинения по формулам (2, 15, 13) и учитывая (3, 8, 17), получим первое уравнение
|
|
-^ГГ+А1- ^ - - А У |
+ АгЪ = Ъ{*), |
|
|
as2 |
ds |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
А _ |
_L ± _ л . 1 |
d D o |
A |
v2 |
sin2’ 0 |
i |
v2 sin 0 |
А х - |
г |
' ds 1 |
л 2 — |
|
|
|
*4 о |
|
ds ' D o |
Vi |
r 2 |
|
|
(ЗД20) |
d D o |
V2 |
ds |
Ri — R2 |
= DpVz(1 — |
v 2V i) |
!j) ( S) |
= |
v a ( 1 — |
v i v a) |
Г |
Г 1 т _____ vj_ |
|
V ltf2 |
|
|
|
Vl |
|
L |
s |
|
V2 |
|
|
Vi_ |
|
| |
Vi |
|
d Dо |
I |
|
(3,8,21) |
|
v2 |
ds |
|
v2 |
D0 |
|
ds |
J ’ |
|
|
|
|
|
|
Второе уравнение получим путем замены в третьем уравнении изги |
бающих моментов по формулам (2, 15, 11) |
с учетом |
(3, 8, 11) и (3, 8, |
17) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds2 |
+ В ™ |
- В 2Ъ + В3У = Ф(з), |
|
(3,8,22) |
где |
|
as |
|
|
|
|
|
|
|
|
d r |
|
|
dD2 |
|
|
|
sin3 0 |
, |
v2 |
1 |
___1_ |
|
|
|
г |
ds |
D2 |
ds |
|
|
|
r2 |
+ |
~R^R~2 |
|
|
v2 sin0 |
dD2 |
3 |
|
i |
|
|
(3,8,23) |
|
|
D2r |
|
|
B |
|
D 2R 2 |
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
Ф ( s ) = |
j ^ 2 |
— |
v 2^ |
17* — |
+ “ “ |
“ [(Л ^ 1Г + |
V 1M 2r ) r ] J . |
Полагаем, что зависимость модулей Юнга и коэффициентов темпе ратурного расширения от температуры может быть представлена ли нейно
£ i = |
£ i o [ i - ( W |
, г)], |
|
Е2= |
-Б20 [1 |
(s>2)1> |
|
° i= |
°10[1 -г YiT(s, 2)], |
(3,8,24) |
а2 = а20[1 + Y 2^ (S, Z)],
где индекс «0» означает, что данная величина берется при температуре 20° С; р ь р2, Уь У2 — константы материалов, определяемые из графиков зависимости модулей Юнга и коэффициентов температурного расшире ния от температуры.
Подставив (3, 8, 24) в (2, 15, 8) и (2, 15, 12), получим
D0 = D°O— /лЛ , D2 = D°2+ k — m (/3 — 2z0/2 + ,
|
TV = PlJ1 |
P2lU PzJbi |
T2T = P12U |
P22^2 |
Рз2^5» |
|
|
= |
P11/2 |
Ргз/б |
Рз1^7 |
ZoT\Ti |
|
|
|
|
M2T = P&I2 |
|
P22^в |
Рз2^7 |
ZQT2T» |
|
|
|
где |
|
|
|
|
Elah* |
|
|
|
|
|
|
DS: |
|
D°2 = |
|
m = |
PlfilO |
|
|
ViV2 |
12 (1 — V!V2) |
1 — vxv2 1 |
|
1 — |
|
|
|
|
|
EiAh |
|
Pll = |
|
fiioaio |
P21 |
|
^ io a io (P i — |
Y i) |
|
1 — ViV2 ’ |
1 — VjVo |
— ----- ;---------------- |
|
|
|
1 |
— v2vx |
|
|
£ i o q io P iV i |
P12 = |
|
E2QQ.20 |
P22 — |
P 20Q20 (P 2 — |
V i) |
|
Рзг — 1— ViV2 |
|
\ — |
V2Vi |
|
1 — |
V2Vi |
|
|
|
|
Р32 = |
|
h |
= |
J Т (s, |
z ) d z , |
/ 2 = |
f |
Т (s, |
2) zdz, |
|
|
|
|
|
h = ^ T * ( s , z ) d z , |
I 5 = |
^ T 3 ( s , z ) d z , |
7e = |
j*T 2 (s, z)zdz, |
|
|
|
|
|
|
I 7 — ^ T 3 (z, |
s) zdz. |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь интегрирование производится в пределах от |
(— hj2 ) до |
(+ А /2 ). |
|
|
Для |
тонкостенных конструкций |
закон |
изменения |
|
температуры во |
|
многих случаях нагрева может быть принят в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т (s, z, t) = |
Т10<р, (s, 0 + |
Г20ср2 (s, |
t) z, |
|
|
(3,8,27) |
|
где |
Т\0-, |
Т2о — температура |
срединной |
поверхности |
и градиент в каком- |
|
то фиксированном месте оболочки; <pi(s, t0), |
<Рг(5, М — некоторые без |
|
размерные функции, характеризующие законы изменения температуры |
|
в срединной поверхности и градиента. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда для интегралов /* |
( i= l, |
2 . 7 ) |
|
получим следующие выраже |
|
ния:4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
= |
7\оФ 1 (Я, |
to) h, |
/ 2 = |
Г»Ф» (*’-*> *1 |
, |
/ , = |
|
|
|
(s , f.) fa3 |
t (3 i8 j2 8 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
/ 4 = Тшф? (s, 0 h H-----2Q^2 | —-— |
, |
/5 |
= |
Тщф? (s, to) h + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ 1оФ1ф^ 3 |
|
f |
|
|
|
|
|
0 |
Ф.(*. 0 |
f.8 |
|
|
|
|
|
~л |
|
|
’ |
7e — |
|
|
|
|
а |
|
|
|
П ’ |
|
|
|
|
|
/ |
^ 10^*20Ф? (s » |
0 Ф г ( 5 » |
7o) h3 |
f |
Т 'го Ф г^ * 0 ^ Б |
|
|
|
|
|
у? --------------------- :-------------------- |
г |
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты A lB i с учетом |
(3,8,25) |
примут вид |
|
|
|
|
|
д |
_ |
1 |
dr |
m |
d/x |
|
д |
_ |
v2 sin2 Q |
, |
v2 sin 0 |
|
d/2_______________ V2 |
|
1 |
r |
ds |
D0 |
ds |
|
|
2 |
|
vxr2 |
|
|
rZ>0 |
|
ds |
/?i/?2 |
|
A 3 — Z)0V2 (1 — У2Уд) |
5 X = |
— |
|
- 4 |
- + |
|
4 |
- [ |
|
ds |
|
|
ds |
(7з— 22< Л + ^ / I ) ] , |
|
|
|
|
Vi/?2 |
|
r |
|
ds |
|
/) 2 L |
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,8,29) |
|
5 |
2 |
= |
- |
- Г--• |
f |
- |
[ |
- |
+ |
|
m - |
ds |
^- |
f - |
( 7 3 - |
2 2 „ / 2 + |
2 ^ / , ) 1 |
|
|
|
Vir2 |
/?!#2 |
|
|
D2r |
ds |
|
|
|
|
|
|
J |
|
B> =
D0R0
Расстояние начальной поверхности от срединной z0 найдется из уравнения (2 , 15, 9).
Рассмотрим некоторые примеры расчета напряженно-деформированного состояния ортотропных ободочек при линейной зависимости физико-механических характеристик
материала от температуры. |
>ч |
1. |
Ортотропные цилиндрические оболочки |
вращения. Для этих оболочек имеем |
0 = 0, R2 = R, |
1//?J= 0 . |
|
d&
у5 = — — ,
ds
Выражения для компонентов деформаций срединной поверхности и изгиба запи шутся в виде
du |
w |
es=: ~7~» е |
= — — , |
ds * |
R |
Основные разрешающие уравнения примут вид
1 |
* 1 |
, |
. D0V2 (1 |
— v2Vi) ft |
|
Ц> ' ds |
ds |
^ |
|
vzR |
|
cPQ |
dD2 |
dfl |
V |
I |
ds2 |
|
ds |
ds |
DtR |
\ £ 2 |
|
|
ф = 0. |
(3,8,30) |
|
V2D0 (1 - - V2Vj) |
d h ( s ) . |
|
Vl |
|
(3,8,31) |
|
|
ds ’ |
|
(s) — A |
<*Ф1 (s) |
■] / а д . |
|
ds |
|
|
|
/г(«) |
Vl |
T |
V1F1 (s) |
V2 |
D0 |
a - - Viv2) DoR ' Ф1 (s) = - ’ (M\T 4 vMyj) » |
Fi(s), F2(S) определяются формулами (3 , 8, 18).
а) Для случая равномерного нагрева по всей поверхности при отсутствии внешних нагрузок решение задачи сведется к интегрированию следующей системы дифференци альных уравнений:
|
|
|
|
<ру |
|
v,(l-v,Vi)Z?o |
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
* * |
|
|
|
’ |
|
(3,6,32) |
|
|
|
|
|
d 4 |
V |
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds2 |
D2R |
|
|
|
|
|
|
Выразив |
О через |
V из первого |
уравнения |
и внеся |
полученное выражение во вто |
рое, для определения V получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*У |
■V2 0 —V2Vl) А) „ |
Q |
|
(3,8,33) |
|
|
|
|
ds4 |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение этого уравнения общеизвестно и может быть представлено в функциях |
Крылова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = А±У 1 (х) 4 |
BjY2 (х) 4 |
AZYз (х) 4 |
В2У4 (х), |
|
(3,8,34) |
где x = ps — новая |
независимая |
переменная, » |
1 7 v*0 —v*Vi)D„ |
нк- |
|
|
|
|
|
|
|
Я’ Р = 1 / |
|
4v1 D2Ra |
’ У*(ДС)-фУ |
ции Крылова, которые являются линейными комбинациями функций |
|
|
Для длинных оболочек, где длина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L > я /? 2 V h / R 2 |
|
1 |
|
|
|
(3,8,35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4/“- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
3 (£o/£1- v 5) |
|
|
взаимным влиянием краев можно пренебречь и решение |
|
уравнения |
(3, 8, 33) |
предста,- |
вить в виде |
|
|
V = AXQ(х) + |
B2l (х) 4 |
A 2Q (XJ) 4 |
B2l (хх) ,. |
|
p g |
|
|
|
|
|
|
|
где |
x = |
Z-x, Z= |
pL, |
в |
(x) = |
erx cos x , |
£ (x) = |
sin x. |
|
|
Определив V, найдем усилия, моменты и перемещения. Постоянные интегрирования |
Ai, Л2, В и В2 определяются из краевых условий. |
|
|
|
|
|
|
Напряжения определятся по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тг + Тп + ъТ. |
|
Mi 4 Мц>4 |
v2Al2т |
|
|
|
of = — ^ — Г |
Do |
|
|
|
|
" г |
|
2 — T ( a i 4 - v2a 2) J , |
|
1 — vxv2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£2 |
Г v, (Т2 -ф- Т2т+ |
v2T |Г) |
V! (М2 -г Л-?2Г |
VjMIr) |
T (a2 + |
v1a1) j . |
2 |
l - v , v , L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Пусть температура оболочки изменяется по закону
T (S ,t)= T 0(t) (1+05).
Такое распределение температуры устанавливается при длительном действии источ ника тепла или в случае, когда теплопроводность материала оболочки в направлении координаты z настолько велика, что градиентом температур по толщине можно пре небречь.
В этом случае выражения (3, 8, 25) примут вид
|
|
D0 = D QX; |
D2 = D2X ; |
М хт = 0; |
М2Г = 0; |
*р |
_т'О |
|
|
( P i - V i ) ( l - * ) 2 |
P iV iQ - * ) 3 |
1 \Т ~ |
1 IT |
1 — X - |
|
Pi |
Pi |
|
|
|
|
|
|
|
_ ГрО |
|
|
|
|
(3,8,37) |
ГП |
1 — х — |
( P » - V 2 ) ( l - * ) 2 |
_ P2Y2 — *)3 |
1 2Т — 1 2Т |
|
Pi |
Pi |
|
rpO _ |
figgioh |
|
T° _ |
jE^20®20^ |
|
1XT— |
(1 — v2vx) Pi |
1 2T — (1 — V2V!) Px |
где лг= 1—P iT oC l+ as)— новая |
независимая |
переменная. |
Подставив выражения |
(3, 8, 37) |
в уравнения (3, 8, 31), получим |
|
х |
d2V |
dV |
|
|
|
|
гт" — ~': |
+ Yi*2^ = Уз [Рп — Р22*2+ 2разх3] , |
|
|
dx3 |
dx |
d2ft |
dti* |
|
|
|
|
|
|
|
(3,8,38) |
|
|
|
|
dx2 |
dx |
У2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
Dj v2 (1 — viv2)
Yi = -----------------------
ViRfiTla*
2(P2 — Vi) |
. РгУг |
Pn = |
Pi |
Pi |
— |
i-чО |
. |
— |
0 Vlv2),nO |
,Y2 = |
°2^ P iToa |
- |
Ys = |
— |
T'2T’ |
|
|
|
|
piai 0 |
|
1 . P2 |
2 (P2— Y2) |
ЗРзз , |
Р2У2 |
PI |
|
Рзз — |
|
|
|
Р? |
Из второго |
уравнения системы |
(3, |
8, 28) |
|
выразим |
V через ' |
|
|
|
|
|
|
V = xy2 |
|
|
— |
dd |
|
|
|
|
(3,8,39) |
|
|
|
dx2 |
|
У2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив (3, 8, 29) в первое дифференциальное уравнение системы |
(3, 8, 28), |
получим следующее уравнение относительно функции Ф: |
|
|
|
|
|
|
d*& |
d3ft |
d2ft |
mx2ft — ki — kzX2 - f k3X3, |
|
(3,8,40) |
х |
dx* |
+ 2 х |
- — 2- |
+ |
|
dx* |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YaPii . |
k2 |
|
V»P22 |
, |
2рззуз |
|
|
|
II S |
iH |
и |
|
|
|
|
|
«3 — |
_ |
|
|
|
|
|
|
il |
|
|
|
Y2 |
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения (3, |
8, 40) |
без |
правой |
части находим с помощью степенных |
рядов. Для этого искомое решение О представим |
рядом вида |
|
|
|
|
|
|
|
d = £ |
Aft**+r+ 2. |
|
|
|
|
(3,8,41) |
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
(3, |
8, 41) в |
уравнение |
(3, 8, |
40) |
и приравнивая нулю |
коэффициенты |
при одинаковых степенях х, для определения |
|
коэффициентов Ло, А\, |
А2 .. |
получим |
следующую систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r - f 2)*(г + 1 ) ( г - 1 М „ |
= 0, |
|
(г + 3)*(г + |
2)гл1 = |
0 1 |
(3,8,42) |
(г + 4)2 (г + 3) (г + |
1) А2= |
0, |
(г + |
|
б)* (/••+ 4) (г - f 2) А3 = |
0, |
|
|
|
|
Не уменьшая общности рассуждения, можно считать, что Л0= 0. Тогда из первого уравнения (3, 8, 42) получаем значения для г: ri = + l, r2= — 1, r3i4= —2, подстановка которых в формулу (3, 8, 41) дает три частных решения
оо 00 оо
|
|
|
®i = x3'£i Akxb, |
= |
AkXk , |
$3 = S £ A k x k . |
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
k=0 |
|
|
k=0 |
|
|
|
|
В качестве четвертого частного решения примем ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O' = ln x |
A k X k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=o |
|
|
|
|
|
|
|
|
который является линейно-независимой функцией по |
отношению к $i, |
0 2, $з- |
|
|
Определив |
коэффициенты |
A k для каждого |
г, |
представим |
решение |
однородного |
уравнения (3, 8, 40) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о* |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
О |
= Ci |
1 ф- ^ |
|
ф- С2х £ 1 ф- ^ |
(— |
|
|
ф- С3Х3 [ ^ + |
(— mx*)k р*1 ф* |
|
|
k=\ |
|
|
|
k= i |
|
|
|
|
|
k=\ |
J |
|
|
|
ф С 4 Г\n x — \ n x £ |
(— mx*)bXk — J ] |
|
|
|
|
(3,8,43) |
где |
|
|
|
L |
|
Л=1 |
|
|
ft=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
%k = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
8*£! П (2* — 1)(4*ф1)» |
|
|
|
|
16*Ш |
П (4 * — 3) (4/ — 1) |
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
(3,8,44) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pit = |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
y i |
32*2 — 24* ф |
3 |
|
|
|
|
k |
|
|
’ |
k ~~ |
2 |
|
i (4* — 1) (4/— 3 |
|
|
|
|
|
8kk\ П (4* ф 3)2 (2 * ф 1 ) |
|
|
/ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения представим в виде |
степенного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
m |
m |
А . х _ - ^ _ хаГ 1 |
- |
V |x * ( - m x * )ftl, |
|
(3,8,45) |
|
|
|
|
|
4 |
L |
|
^ |
|
|
J |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 * П (4* + |
2 ) (.4* -f 1 ) (4/ - |
1 ) (214 - 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Общее |
решение уравнения |
(3 , 8, 40) будет равно сумме |
решений |
(3, |
8 , 43) и |
(3, |
8 , 45). Определив О, по формуле |
(3, 8, 39) получим выражение для |
V: |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
j / = |
- / А - V |
%'k16k* ( - тх*)к + с 2 |
Г 1 4- 2 |
(4* + О3 v* ( - mx*)b 1 -ф- |
|
|
|
1 |
* |
|
|
|
|
|
*=' |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
ОО |
|
-Ф-С3Х2 [g + |
V |
Рк (— тх*)к (4k -ф- З)2 |
1 — С 4 / Х [ * |
2 |
16Mk ( - m x * ) * - l n x £ l 6 W |
k х |
|
L |
“ |
|
|
|
|
J |
L |
А=1 |
|
|
|
|
|
*=1 |
|
|
|
Л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ( - |
шх«)А - |
2 |
I6k4kdk ( - |
тх*)к ] |
+ |
|
fei+ “Т |
* |
[S |
(4fe ф |
2)1 •**( _ m jtt) 4 ] } ‘ |
Получив значения 0 и У, находим условия, моменты и перемещения, окончательные выражения для которых можно записать в виде
а) для усилий
|
|
T,i = C0, |
Т 2 = — Pa^oflYa^i (*)» |
N = — V/R> |
|
(3.8.46) |
b) |
для моментов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М i = |
fijTQaD2<f>2 (я), М 2= v2f^T(iaD2Ф2 (х), |
|
(3.8.47) |
c) |
для перемещений |
ViR |
|
|
V1RT2T |
|
|
|
|
|
|
_ |
n |
, |
(3,8,48) |
|
|
|
V2 (1 — VgVi) Do |
I W o y & i (x) |
v2D2] + |
— |
|
|
|
|
|
v2u0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T°y |
|
|
|
$iTQa I DQ(1 — ViV2) [cb \nx 4- ViP1r 0aY2(I>3 (*) ф |
1T |
|
|
|
-----“ Ф« (*) , |
(3 ,8 ,4 9 ) |
где |
|
00 |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0>1 (x) = |
^ |
(4ft—1) 16ft2A,ft (— mx4)* 4- - y - |
^ 4ft (4ft 4 |
l)2 vA(— mx4)* 4 |
|
|
A=i |
|
|
|
£=1 |
|
|
|
♦ C3x Г 18 4- 2 |
(4ft 4 |
2) (4ft 4 3)* Pfe ( - |
mx4)* l — |
[*2 J ] Л*16Й» (4ft - |
1) ( - |
mx4)* — |
|
Л=1 |
|
|
|
|
L *=1 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16ft*A* (— mx4)*—In x ^ (4ft — 1) 16ft2 (— mx4)* — ^ (4ft—1) I6k2h4k(
|
|
ki 4 |
1 /4 V |
(4ft 4- 2)2 (ift ( - mx4)* ] |
; |
|
|
OO |
|
|
OO |
|
|
|
ф 2 (x) = |
Т , Ш к (— mx4)* - f C2 Г 1 4- У1 (4ft 4 |
0 Vfe (— mx4)* j 4 |
|
*=i |
|
|
*=i |
|
|
|
|
OO |
|
|
|
OO |
|
|
4 C 3x2 [ 3 |
4 |
9k (4ft 4 |
3) ( - |
mx4)* j 4 C J x [ 1 - |
5 ] |
*ft ( - |
mx4)* — |
|
£=1 |
|
|
|
Л=1 |
|
|
OO |
|
|
OO |
|
|
|
— In x ^ |
Xft4ft (— /nft4)* — ^ M *4ft (— mx4)* j |
4 |
— |
k=\
Фз (X) = |
Ci/x2 2 |
^ 5 -* 16ft*Xfc ( - mx4)* 4 - J - |
f ] -4fe-^ |
j 3)2 p/e ( - |
mx4)* 4 |
|
Л=1 |
|
*=1 |
|
|
4 C3x £ 18 4 |
^ |
(4ft 4 3) p* (— mx4)* ] ~ |
[ 2 |
16*2^ |
(— mx*)k ~ |
