книги / Оболочки и пластины

уже определена, объем экспериментальной работы, необходимый для определения этих коэффициентов, будет минимальным (для определе­ ния одной константы требуется эксперимент с одним образцом). Этим определяется значение аналогий в экспериментальных исследованиях и эта основная идея побуждает искать их безотносительно к тому, носят они точный или математически приближенный характер. В плане теории предподчительны математически точные аналогии. В условиях смешан­ ного теоретико-экспериментального метода не меньшую ценность пред­ ставляют и аналогии, носящие математически приближенный характер. Для установления аналогии двух явлений в каждом конкретном случае следует исходя из математической постановки задачи доказать тожде­ ство уравнений и граничных (начальных) условий, описывающих явле­ ния. Это основной способ их выявления.

Однако в теории устойчивости пластин и оболочек можно наметить и другой путь установления аналогий между родственными по физиче­ скому смыслу задачами, решение которых описывается уравнениями и граничными условиями одинакового типа, но отличающимися в своей структуре лишь наличием младших производных. Этот путь заключает­ ся в использовании основных положений я-теоремы. Например, линей­ ные задачи устойчивости плоских прямоугольных пластин в случае .одно­ родного напряженного состояния описываются уравнениями с постоян­ ными коэффициентами, а задачи устойчивости пластин, ограниченных отрезками координатных линий полярной системы координат, описыва­ ются уравнениями того же типа, имеющими, однако, переменные коэф­ фициенты. За исключением некоторых частных случаев нагружения для этих двух видов пластин математически точная аналогия в задачах устойчивости отсутствует. Пользуясь положениями я-теоремы, легко обнаружить аналогию этих двух явлений, носящую приближенный ха­ рактер. (Естественно, мы предполагаем, что граничные условия и усло­ вия загружения двух видов пластин одинаковые.)

В целях иллюстрации метода А. В. Саченкова рассмотрим некоторые примеры, предполагая граничные условия однородными. 'Пусть бесконечно длинная полоса ши­ рины а находится в условиях сдвига. Определяющими в этом случае параметрами являются: So — погонное сдвигающее усилие; D — изгибная жесткость; а — ширина

полосы. Согласно я-теореме критическое сдвигающее усилие будет 1

кольцевой пластины, находящейся в условиях сдвига. Пусть ширина кольца равна а ,

jО — изгибная жесткость; г0, г\ — внутренний и внешний радиусы.

Искомая зависимость критической нагрузки от определяющих параметров будет So,/i = /( A г0, Г]). Из трех параметров D, г0, Г\ независимые размерности имеют лишь

два из них. Следовательно, согласно я-теореме критическая нагрузка будет определять­ ся по формуле

1 Следует обратить внимание на важность правильного выбора таблицы опреде­ ляющих параметров. Если в данной задаче вместо погонного усилия So выбрать пара­

тер локального выпучивания хотя бы в одном направлении и функции при этом оказываются быстро возрастающими прй дифференцировании по координатам.

Если рассматриваемая задача описывается уравнениями с перемен­ ными коэффициентами, т. е. наряду со старшими четными производны­ ми в уравнениях присутствуют и младшие производные, то, не меняя базы определяющих явление параметров и типа уравнений, младцще производные в них можно отбросить, а переменные коэффициенты заме­ нить постоянными величинами. При этом с точки зрения теоретикоэкспериментального метода любая задача устойчивости, описываемая уравнениями с переменными коэффициентами, будет иметь своим ана­ логом соответствующую задачу для уравнений с постоянными коэффи­ циентами. Для установления аналогии данной задачи с более простой, описываемой теми же уравнениями, но с постоянными коэффициентами, иногда, прежде чем зафиксировать переменные коэффициенты в урав­ нениях, очень удобно перейти к новым координатам, например от поляр­ ных к изотермическим, т. е. z = lnr//r. Это преобразование координат, деформируя область, усиливает свойство быстрого возрастания функ­ ций при дифференцировании, увеличивая тем самым значение сохранен­ ных в уравнениях старших четных производных.

В указанных аналогиях, имеющих место в линейных и нелинейных задачах статики и динамики оболочек, соответствие между безразмер­ ными силовыми и геометрическими характеристиками двух видов пла­ стин (оболочек) в каждом конкретном случае может быть установлено исходя из математической постановки задачи. Польза аналогий в экс­ периментальных исследованиях особенно ярко проявляется в тех слу­ чаях, когда число независимых параметров, определяющих явление, больше числа параметров, имеющих независимые размерности.

В качестве примера использования указанных выше аналогий в экс­ периментальных исследованиях рассмотрим задачу устойчивости за пределом упругости усеченной круговой конической оболочки под дей­ ствием равномерного внешнего давления q. Безмоментные усилия в

Нейтральное равновесие конической оболочки, теряющей устойчивость за пределом упругости, описывается линейными уравнениями с перемен­ ными коэффициентами. С точки зрения смешанного теоретико-экспери­ ментального метода аналоговой задачей для конуса является соответ­ ствующая задача для цилиндра. Используя решение чисто пластиче­ ской задачи для цилиндра, формулу критической нагрузки для кониче­ ской оболочки можно записать в виде

же размеров (или критическая нагрузка эквивалентного упругого ци­ линдра),

В этой формуле для ои размерная величина гс имеет значение дли­ ны и пока остается неопределенной. Пусть материал оболочки подчи­

няется, например, степенному закону упрочнения, т. е. ои=Ае* (XJSJI), А — константа, характеризующая механические свойства материала.

Учитывая это, а также (3,21,29), (3,21,28), формулу (3,21,27) мож­ но представить в виде

При переходе от формулы (3,21,27) к формуле (3,21,30) неизвестную

/(/-,/го) — та неизвестная, определение которой является целью экспери­ ментального исследования. Для заданных характеристик материала А и х в эксперименте, очевидно, необходимо изменить лишь отношение ri/r0, чтобы получить законченное решение задачи.

Функция f при этом вычисляется по известным величинам правой

Отсюда, а также из (3,21,30) следует, что структура функции f не зави­ сит от угла конусности и, следовательно, в эксперименте выполнение условия геометрического подобия не обязательно.

Рассмотрим теперь задачу кручения конической оболочки кругового сечения. Поль­ зуясь аналогией с цилиндром, формулу критического сдвигающего напряжения в сече­ нии г = г 0 можно представить в виде

где т * — сдвигающее напряжение в сечении г=го для упругой оболочки; со— параметр, определяемый согласно (3,21,28), причем

ои = К З (rrjj/rf) Д (г,/г0).

Вводя это значение а и в (3,21,32) и пользуясь степенным законом упрочнения, получим следующую формулу для функции /ь подлежащей экспериментальному определению:

fi ('l/'o) = {тЕ/фх (х) (тл£//-,2)**}1/х\

где

=Фх(х) = (КЗ)К' А 1>*

Существенный интерес с точки зрения практических приложений представляют особенно трудные в плане теории задачи устойчивости пластин и оболочек за пределом упругости под действием локальных нагрузок. В условиях излагаемого здесь смешан­ ного метода решение их экспериментальным путем может быть получено следующим образом.

ного осевого сжатия. Формула критического напряжения для ранномерно сжатой обо­

пряжения можно, обобщая формулу для равномерно сжатой оболочки, записать в виде

Изложенный здесь метод А. В. Саченкова экспериментального ре­ шения пластических задач устойчивости приспособлен к случаям, когда напряженное состояние пластины или оболочки является неоднородным,

т.е. к задачам, теоретическое решение которых труднодоступно.

Взаключение отметим следующее. Для выявления математических аналогий без тех оговорок, которые в рассмотренных задачах были сде­ ланы выше, в общем случае нельзя пользоваться основными положе­ ниями л-теоремы, так как одной и той же базе определяющих парамет­ ров могут соответствовать разные по природе физические явления, опи­ сываемые различными дифференциальными уравнениями.

5. О б а зе определяю щ их явление устойчивости безразм ерны х параметров

Сделаем некоторые замечания относительно выбора таблицы опре­ деляющих явление устойчивости параметров. От правильного выбора и числа этих параметров зависит не только объем экспериментальной работы, необходимый для решения задачи, но также достоверность и пригодность этого решения в случаях, для которых эксперимент не про­ изводился. Если задача сформулирована как математическая, то число определяющих безразмерных параметров, выявляемых из уравнений и граничных условий, естественно, связано с теми допущениями (гипо­ тезами, упрощениями и т. д.), которые положены в основу математиче­ ски поставленной задачи. По этой причине из таблицы определяющих безразмерных параметров целесообразно выделять существенные и не­ существенные из них в данном явлении.

Обратимся к примерам. Допустим, что в предположении о безмоментности начального состояния на основании полных (неупрощенных) уравнений (3,19,6) решается задача об устойчивости свободно опертой по краям цилиндрической оболочки под действием равномерного все­ стороннего давления. Соответствующая формула для критического дав­ ления Р в этом случае будет [145]

где qk определяется согласно первой из формул (3,19,8"), которая по­ лучена для той же нагрузки на цилиндрическую оболочку при упро­ щениях уравнений, соответствующих полубезмоментной теории.

Из сопоставления формул (3,21,34) и (3,19,8") для Рк и qk видно, что для деформации, при которой по длине оболочки возникает одна полуволна, переход от полных уравнений (3,19,6) к упрощенным (3,19,7)

равносилен пренебрежению в выражении критической нагрузки вели­ чиной безразмерного параметра 0 по сравнению с единицей.

Допустим теперь, что та же задача решается в предположении, что начальное состояние оболочки моментное. Это состояние описывается уравнением (3,19,9), которое в принятых здесь обозначениях имеет вид

вычисления для определения величины Pk. Нетрудно проследить, что в получающейся формуле для P/t, одинаковой по виду с (3,21,34), в выра­ жении квадратной скобки появляются дополнительные линейные и не­ линейные члены, зависящие от параметра 0. Эти дополнительные члены имеют как раз порядок величины 0,9 0, удерживаемой в формуле (3,21,34) и определяющей погрешность полубезмоментной теории. Сле­ довательно, если решение .задачи устойчивости проводится на основе уравнений типа (3,19,6) полубезмоментной теории, то краевой эффект учитывать не следует, поскольку его учет равносилен улавливанию по­ грешности, одинаковой с той, которая допущена исходными предпосыл­ ками этой теории.

Отсюда также следует, что при возникновениии одной полуволны по длине оболочки и допущении о безмоментности начального состоя­ ния решение задач устойчивости на основе неупрощенных уравнений (3,19,6) такжё не является корректным. Значит, строгое решение, уточ­ няющее решение задачи на основе полубезмоментной теории, может быть получено лишь при использовании уравнений (3,19,5), учитываю­ щих краевой эффект.

Сделанные выводы, естественно, следует принимать во внимание и при экспериментальном решении задач устойчивости. В одних случаях в эксперименте необходимо считаться с влиянием параметра 0, в дру­ гих— этот параметр необходимо исключить из базы определяющих и объем эксперимента при этом существенно уменьшится.

Рассмотрим задачу устойчивости при симметричной деформации с учетом краево­ го эффекта цилиндрической оболочки под действием равномерного осевого сжатия Т0.

d a 2

На основании (3,21,38), учитывая структуру зависимости до и бдо от а и а*, получим функциональную зависимость

Для сферической оболочки, находящейся под действием равномерного внешнего

давления, функция ф будет иметь структуру ф“ ф( ^ т - < 7 ^ > * ) ' При

мы, естественно, должны предполагать, что оболочка с момента возрастания нагрузки от нулевого до критического значения Р проходит безмоментное и симметричное момент-

ное состояния, последнее из которых при нагрузке Р «становится неустойчивым.

Если при исследовании того или иного явления эксперимент высту­ пает в качестве средства решения задачи, заменяющего аппарат мате­ матических средств, то выбор базы определяющих безразмерных пара­ метров, которые необходимо варьировать в эксперименте, во всех слу­ чаях должен быть подчинен основному критерию —требованию миниму­ ма объема необходимой экспериментальной работы. Выше были приве­ дены примеры, подтверждающие необходимость тщательного теоретиче­ ского анализа при выявлении таблицы определяющих параметров. Решение этого вопроса при выполнении эксперимента существенно об­ легчается, если теоретическое решение задачи известно, т. е. в рассмат­ риваемых задачах известной является формула критической нагрузки. Однако и здесь, если ставится задача экспериментальной проверки по­ лученного решения во всем диапазоне его применимости или задача самостоятельного экспериментального решения, неучет основного кри­ терия может приводить к неэкономному расходованию материальных средств. В математическом отношении во всех случаях содержание основного критерия, предъявляемого к эксперименту, эквивалентно за­ даче сведения к минимуму числа определяющих безразмерных пара­ метров, составляющих базу.

В качестве примера рассмотрим задачу устойчивости в малом замкнутой торои­ дальной оболочки, подвергающейся действию равномерно распределенного по всей по­