книги / Оболочки и пластины
..pdfБолее правильное отражение процесса получается, если применять ядра со слабой особенностью (скорость процесса в начальный момент
бесконечна, но .интеграл |
^ R (t) dt |
|
сходится). |
|
В настоящее время |
о |
класс |
ядер со слабой особенностью |
|
имеется |
||||
типа Абеля |
|
|
|
|
|
*(*) = |
H(t, |
s) |
|
|
f}—® |
|||
|
|
|
||
для которых найдены резольвенты [92] в виде равномерно сходящихся рядов.
Рассмотрим ядро со слабой особенностью вида
= |
0 < а < 1 |
(2,23,8) |
|
t \ - a |
|
и построим для него резольвенту.
Как известно, между ядром R и резольвентой К существует связь
(2,23,6). Запишем (2,23,4) и (2,23,5) в преобразованном по |
Лапласу |
||
виде |
|
|
|
— о* = е*(1— Д*); |
Ег* = |
сг*(1 + К*), |
(2,23,9) |
Е |
|
|
|
откуда |
|
|
|
К* (р) = |
R*(р) |
, |
(2,23,10) |
1 |
-R*(p) |
|
' |
где /*(р) = j e-rff (i)dt — преобразованная по Лапласу функция f(t\ .
о
р — комплексный параметр. Отображением Лапласа функции R(t) будет
R* (р) = А |
e-(&+p)t |
AT (а) |
(2,23,11) |
|
^1—(X dt = |
(P + P)“ |
|||
|
|
|
||
Внося это выражение в (2,23,10), получим |
|
|
||
К*(Р) = |
АТ (а) |
|
(2,23,12) |
|
(р + Р)“.-ЛГ(а) |
||||
|
||||
На основании теоремы операционного исчисления [26] о смещении для нахождения оригинала K(t) функции К*(р) достаточно найти оригинал функции
Ts* , \ |
Ат(а) |
„ |
В |
(2,23,13) |
К* (р) - — |
—— = |
|
||
ра — АТ(а) |
ра—В |
|
||
где |
|
|
|
(2,23,14) |
В = АГ (а). |
|
|
||
Оригинал функции К* (р) тогда запишется в виде |
|
|||
K ( t) |
= e ~ v R (t) . |
|
|
(2,23,15) |
Для |
нахождения оригинала |
K(t) |
функции |
К*(р) представим |
|
(2,23,13) |
в виде суммы убывающей геометрической |
прогрессии |
|||
|
|
оо |
|
|
|
|
^ * ( Р > = |
£ |
( |
- т ) П |
( 2 > 2 3 ’ 1 6 |
|
л-1 |
р |
|
|
|
Оригиналом этой функции будет
$гцссп—1
Г (ап)
п= 1
Следовательно, для функции (2,23,12) резольвента запишется в .виде
е — Р‘ |
Bntan |
(2,23,17) |
* (0 = ~ t |
Z j Г (an) |
Ряд (2,23,17) равномерно сходится [87]. В этом легко убедиться, если представить входящие сюда гамма-функции Г формулой Стирлинга
Г (z)= zze-z j / |
е 12г (О < 0 < 1)• |
Более общим является ядро [92]
Ае
Л (0 = A-k2
частными случаями которого являются ядра (2,23,8), а также ядра Вронского [90], Слонимского [91], имеющие вид (соответственно)
ж о = |
<0С |
R(t) = |
аХуе y t |
t 1—а |
|
р—а |
Трудностями в определении параметров ядер объясняется весьма малое количество решенных конкретных задач. Эти трудности сейчас значительно снижаются в связи с разработкой' методов логарифмиче ского сдвига [89] -определения параметров функций влияния и модуля упругости для линейных и нелинейных вязко-упругих сред по данным простейших опытов.
Этот метод основан на -совмещении экспериментальных кривых ползучести или релаксации с теоретическими кривыми интегралов от функций влияния, построенных по данным таблиц, полученных на ЭЦВМ. Таблицы функций влияния и их интегралов, а также графики с описанием методов определения параметров ядер приводятся в [105].
Приведенные выше соображения строились применительно к вязкоупругим материалам с линейными свойствами [31]. Если материал ли нейными свойствами не обладает, то в качестве приближенной связи между напряжениями и деформациями во времени можно принять соотношение [106]
t
е = ф (а) + I*К (t —s) ф (а) ds,
или [107]
t
Ф(е) = о + $ K (t- s)o (s)d s .
О
Признак применимости первого из этих уравнений — подобие кривых
ползучести, а второго — подобие .изохронных кривых [89]. |
применяе |
Дадим краткие сведения о других теориях ползучести, |
|
мых в теории оболочек и пластин. |
|
iB теории старения зависимость между напряжениями, деформация |
|
ми и временем принимается в форме |
|
е = /( от, 0. |
(2,23,19) |
Нетрудно видеть, что деформация согласно уравнению (2,23,19) является функцией состояния, т. е. зависит от напряжения в данный момент времени и не зависит от напряжений в предшествующие мо менты времени. Выше указывалось, что такое положение не соответст вует действительности для большинства материалов, подверженных ползучести. С помощью уравнения (2,23,19) можно описывать поведе ние упругих материалов, свойства которых изменяются во времени.
Другой (Вариант теории старения состоит в том, что скорость дефор мации ползучести считается функцией напряжения и времени:
в — ! - = /( " . <). |
(2,23.20) |
Е
частным случаем этой теории, как .нетрудно видеть, является закон Максвелла (2,23,1). .Применение уравнения (2,23,20) удобно в случае, когда кривые ползучести при различных уровнях напряжения подобны. Тогда вместо уравнения (2,23,20) имеем
в— 4 - = 5 ( а ) т (0 . |
(2,23,21) |
Е
Уравнения связи между напряжениями, деформациями и временем (2,23,20) и (2,23,21) дают более или менее удовлетворительные резуль
таты для слабо меняющихся нагрузок.
В теории упрочнения связь между напряжениями, деформациями и временем принимается в форме
/i = S ( a ) F ( ^ r ). |
(2,23,22) |
|
где р — деформация ползучести |
о |
|
р |
|
|
= е ------ . |
|
|
н |
Е |
|
Если функция F является степенной, то вместо (2,23,22) имеем
рра = / (<*>• |
(2.23.23) |
Функция f(a) может быть выбрана или степенной |
|
/ (от) = Вап. |
(2.23.24) |
8 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов
или экспоненциальной
f ( a ) = k exp — . |
(2,23,25) |
А
Более подробные сведения о теориях старен,ия и упрочнения мож но -найти в монографиях [107, 108].
§24. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛОГИХ ОРТОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК
СЛИНЕЙНОЙ НАСЛЕДСТВЕННОСТЬЮ [109]
С развитием промышленности синтетических материалов все шире применяются в конструкциях высокопрочные армированные стекловолок ном пластики — стеклопластики [114].
Большинство таких материалов обладает линейными свойствами, что дает основание к применению линейной связи между напряжениями и деформациями типа (2, 23, 4) и (2, 23, 5). С учетом этой связи здесь строятся уравнения неразрывности и равновесия гибких пологих оболо чек из стеклопластиков, обладающих ортогональной анизотропией меха нических свойств. Предполагается справедливость гипотез Кирхгофа — Лява и сохранение ортотропии в течение всего процесса деформирова ния.
Будем пользоваться системой координат |
(х, у, z), направив оси ох |
и оу вдоль основы и утка, a oz нормально |
к срединной поверхности к |
центру кривизны. Закон упругости для ортотропного материала в случае плоского напряженного состояния будет
ахх = Ьпехх + |
^12еуу> |
|
Пуу |
^22^уу> |
(2,24,1) |
^ХУ= 2^£дcyi |
|
|
где упругие постоянные выражены через технические постоянные следую щим образом:
и _ |
Е |
, |
д |
_ |
; |
Vi£2 |
—---- : |
V2EX |
, |
|
^II — “ |
|
°i2 — |
|
|
||||||
1 — V2V |
|
|
|
1— ViV2 |
|
1 — v2v2 |
|
|||
|
b22 = |
|
£a |
, |
2b = G. |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
— V2V2 |
|
|
|
|
|
|
Здесь Eu E2— линейные модули упругости, |
G — модуль сдвига, п |
|||||||||
и V2 — коэффициенты Пуассона.
Для деформаций срединной поверхности оболочки примем следую
щие выражения через перемещения (см. § 15): |
|
|||||||
|
е° = |
ди0 |
|
k,w |
+ |
-L ( |
’ dw\* |
|
|
XX |
дх |
|
X |
2 \, д х ) ’ |
|
||
|
е° = |
dv0 |
|
•k2w |
+ |
|
f’dw \2 |
(2,24,2) |
|
УУ |
ду |
|
|
т(Гду) ’ |
|
||
|
р0 — dv0 |
, |
ди0 _|. |
dw |
dw |
|
||
|
еху~ |
дх |
+ |
дх |
1 |
дх |
"~ду' |
|
и. |
dPw |
|
|
d2w |
|
|
d2w |
|
Их?' |
|
|
|
|
*хи~ |
дхд» ' |
||
|
|
|
|
|
||||
В силу гипотез Кирхгофа — Лява перемещения и деформации параллель ной поверхности, отстоящей от срединной поверхности на расстоянии г, будут
и = а0 |
|
|
v = v0 |
dw |
|
|
|
|
|
|
|||
|
dhst) |
|
|
n |
dzw |
(2,24,3) |
exx = ex x - Z dx* |
|
enu = e3 |
—z ----- |
|||
|
yy |
УУ |
dyz |
|
||
vxy |
= e° |
у |
— 2z |
dhs) |
|
|
X |
|
dxdy * |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Примем линейную связь между напряжениями и деформациями, предположив тем самым, что материал оболочки подчиняется закону линейной наследственности:
t |
t |
ахх = bnexx—j Rn (t — s) ехх(s) ds + b22eyy — j Rl2 (t — s) eyy (s) ds, |
|
0 |
0 |
t |
t |
<Jyy = bl2exx — I' R\2(t — s) exx (s) ds + b22eyy — j R'22 (t — s) eyy (s) ds, (2,24,4) |
|
6 |
0 |
|
t |
|
axy = 2Ьёху — 2 J R'(t — s) exy (s) ds, |
|
0 |
где R\\yi?22, R \2 и |
R' — ядра релаксации, определяемые при рассмотре |
нии одноосной задачи.
В дальнейшем удобно использовать следующие обозначения:
R\\ = ^11^11» ^22 —=^22^22» ^?12 — ^12^12» R — bR. |
(2,24,5) |
Усилия, действующие на единицу ширины сечения элемента оболочки, будут
АА
2 |
2 |
|
|
|
t |
|
|
Т 1= J а х х ^ г |
~ J |
\^ 1 |
1 е хх |
^11 | ^11 |
S) е х х (S) ^ “Ь ^ п е у у |
||
|
— ^12 j* ^12 |
|
(s) dsj £fe, |
(2,24,6) |
|||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
А |
|
|
|
|
2 |
сiyydZy |
2 |
&xydz, |
|
|
|
Т2 = |
f |
S = j |
|
|||
Мх = j |
a^zdz, |
|
= |
j |
0V/dz> |
= |
V oxyzdz. |
|
H ~ |
j |
|||||
h_
~ Y |
~ ~ |
2 |
Внося в (2, 24, 6) соотношения |
(2, 24, 2), |
(2, 24, 3) |
и интегрируя по |
||||||||
г, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7\ = hbn (е°хх — Jne°J + hb12 (е°уу — J12e°yy), |
|
|||||||||
|
Тг = hb12 (е°хх - |
Jne9J -f hb22 (<Руу - |
J ^ ) , |
(2,24,7) |
|||||||
|
|
S = 2hb{^xy- J e l y), |
|
|
|
|
|||||
где |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jne% = j ^ x i (t — s)e^x {s)ds и |
т. д. |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем формулы (2, 24, 7) по Лапласу |
|
|
|
||||||||
|
|
r(p) = ]f(t)<r-*dt. |
|
|
|
(2,24,8) |
|||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Применяя теорему свертки для членов вида /цб**, |
|
получим |
|||||||||
|
Tn=hBne°;x + hB'12e%, |
|
|
|
|
||||||
|
|
Т*2= hB'l2e?x + hBl2e°l |
|
|
(2,24,9) |
||||||
где |
|
S* = 2А5*е°* |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Яц = 6ц(1 — Ли) и т. д. |
|
|
|
|||||||
Из выражения (2, 24, 9) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
е°* = — |
|
Т \В22 — Т2В12 |
|
|
|
|
||||
|
|
* |
* |
_* |
_* |
* |
|
|
|
||
|
** |
h |
|
|
|
|
|||||
|
"11^22 |
^12^12 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
е°* = |
1 |
т \в\х- т |
\ в \ 2 |
|
|
|
|
|||
|
в'п в'22- в |
\ 2в \2 |
|
|
|
||||||
|
УУ |
|
h |
|
|
|
|||||
|
|
|
б12 — 2hB* |
|
|
|
|
|
|||
Составим |
тождество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[25* [б ;2т ; - |
5:2щ |
+ |
|
[2в* (5Г,т; - |
в2*2г;>] - |
|||||
|
---- — [5 ц522— 5 I27'2I |
= 2 hB (5ц522—5 J25 I2) х |
|||||||||
|
d*d*/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [ - s - (,K>+ |
- s - < |
® - - 4 |
- « |
)]- |
(2'24' l0) |
|||||
В дальнейшем будем допускать возможность представления прогиба |
|||||||||||
в виде |
у, ^)=ш0(л:, у) W\(t), |
где функция |
аУ[(^), ее |
производные и |
|||||||
их квадраты допускают преобразование Лапласа. Внося преобразован ные по Лапласу зависимости (2, 24, 2) в тождество (2, 24, 10), совершая упрощения и вводя функцию напряжений по формулам
h |
~ 71 |
h |
~ Т 2, h |
о2Ф |
_ |
|
(2,24,11) |
|
дхду |
= - S , |
|||||||
ду2 |
|
|
дх2 |
|
|
|
||
в которых тоже совершим преобразования по Лапласу |
|
|||||||
ду2 |
= TU |
h |
д2ф* = Г2, |
А- |
дха*/ |
= - s |
, |
|
*' |
|
ах2дх2 |
|
|
|
|||
получим уравнение неразрывности для ортотропной гибкой оболочки с линейной наследственностью в операторной форме:
* - ? ? - + T W <в " * |
- |
|
|
- |
« X |
) |
дх2ду2 |
+ х |
■4?- =■ |
|
||||||||||
ах4 |
2В * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду* |
|
|
||||
= (В ;,Д а-В и В ;2){ [ |
а2ш |
\* |
|
|
|
|
а2оу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a*ay / |
|
|
дх2 |
|
ду2 |
/ |
|
а*/2 |
|
|
|
ах2 |
/ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,24,12) |
|
Из условия равновесия моментов и сил, действующих на элемент |
||||||||||||||||||||
оболочки, следует |
|
|
|
|
дТг |
|
|
as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: О, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ах |
|
|
а* |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2,24,13) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
дТ2 |
|
|
as |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a2Mi + |
2 J ^ + |
™ |
b |
+ T l (kl + -£?-) + |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
дхду |
|
ду2 |
|
\ |
|
1 |
дх2 J |
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
T2(/t2 + |
- ^ ) |
+ 2 S - f ^ - + q = 0. |
|
|
|
(2,24,14) |
|||||||||||
|
|
|
|
\ |
|
ду |
) . |
|
|
дхду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения |
(2, 24, 13) тождественно удовлетворятся после внесения |
|||||||||||||||||||
в них формул (2, 24, 11). |
(2,24,6), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Учитывая (2,24,4) |
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
м 1 = - — \ ь 11 |
а*2 |
|
|
|
+ |
|
|
_ / |
J 5 L \ 1 |
|
|
|||||||||
1 |
12 |
L |
\ |
|
|
ах2 |
|
|
{ ду2 |
1 |
a//2 |
/J |
|
|
||||||
ду# |
h 3 |
|
г , |
/ а ^ |
г |
|
а 2су \ |
, |
, |
/ д 2^ ) |
|
т |
d 2w |
\ ] |
/Г) 0 |
д ! г \ |
||||
М г------ п |
Г 12[ I F '~ Jl2~ м ~ ) + |
Ьм\~W |
~ |
J2 |
2 |
|
)J’ (2,24,15) |
|||||||||||||
|
|
|
н — |
|
|
Г- d2w |
|
|
|
d2w |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
12 |
|
L |
дхду |
|
|
дхду |
|
|
|
|
|
|||
Внося (2, 24, 11) и (2, 24, |
15) |
в (2, 24, 14), совершая преобразование |
||||||||||||||||||
Лапласа, получим уравнение равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в ;, |
ах* |
+ 2 (в ;2 + 4в ’ ) ^ |
|
_ в+ * £ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дх2ду2 |
|
|
|
ду* |
|
|
|
|
|
|||
- Щ |
|
к |
f c a v |
+ |
i , |
a y |
|
|
|
|
В г а 2!!!) |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
дх2 |
|
|
а^2- ] - v [ |
|
дх2 |
- |
ду2 )‘ |
+ |
|
|
|
|||||||
Л2 |
[ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
/_лр_ _ а2ш |
_ 2 / |
а2ср |
|
d2w |
|
\*1 |
12 |
|
|
|
|
|
||||||||
\ |
а*/2 |
|
ах2 |
) |
|
\ |
дхду |
|
дхду |
|
л |
л3 <7* = |
0. |
(2,24,16) |
||||||
Уравнения (2, 24, |
12) |
и |
(2, |
24, |
16) |
вместе с краевыми условиями |
(§ 2, |
|||||||||||||
15) составляют краевую задачу теории гибких упруго-вязких оболочек. Несколько иной подход к решению задач теории оболочек и пластин
с учетом наследственных свойств материала дан в (107, ПО и 113].
Г л а в а HI
МЕТОДЫ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Здесь излагаются наиболее употребительные методы решения задач изгиба, устойчивости и прочности пластин и оболочек. Наряду с класси ческими методами: разделения переменных, вариационных, сеток и др. достаточное место отведено методам, зарекомендовавшим себя в послед ние годы. К ним относится кинематический метод предельногоч равно весия, применение линейного программирования, теоретико-эксперимен тальный метод и др. Уделено внимание расчету оболочек из материалов, обладающих не только упругими свойствами, но и вязко-упругими. Сре; ди примеров более подробно рассмотрены задачи с локальными воздей ствиями нагрузок и др.
А.МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ
ВВИДЕ РЯДОВ
§1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Многие задачи теории оболочек удобно решать методом разделения переменных — методом Фурье, основы которого излагаются во всех кур сах уравнений математической физики. Рассмотрим его в применении к конкретной задаче.
1. Прямоугольная пластина под распределенной нагрузкой
Найдем прогиб прямоугольной пластины, опертой по всем сторонам, вызванный действием равномерно распределенной по ее поверхности на грузки q. Связь между нагрузкой и малыми прогибами имеет вид1
у2у2ш == |
d*w |
|
d*w |
|
дЧа) |
= J7_ |
|
|
|
дх* |
|
+ |
2 -дх2ду2 |
+ |
~dtf |
D |
( 3 |
, 1 , 1 ) |
|
1 Уравнение (3,1,1) известно |
как |
уравнение |
Софи-Жермен. Оно |
получено |
Лаг- |
||||
ранжем в 1811 г. в связи с рассмотрением доклада С. Жермен во Французской ака демии наук. Уравнение вида (3,1,1) называют неоднородным бигармоническим урав нением.
где q |
— интенсивность нагрузки, |
Ehз |
— цилиндрическая |
жест- |
|
D = -------- |
|||||
кость, |
|
|
1 — V2 |
|
|
V2V2 — бигармонический оператор Лапласа. |
|
||||
Граничные условия задачи, соответствующие шарнирному закрепле |
|||||
нию кромок, будут |
|
|
|
|
|
|
^ = °. |
' - ^ |
= 0 при * = |
|
(3,1,2) |
|
w = 0, |
оу2 = 0 при у = 0, |
у = Ь. |
(3,1,3) |
|
Задачу можно свести к решению однородного уравнения. В качестве частного решения возьмем полином четвертого порядка относительно у, удовлетворяющий граничным условиям (3, 1, 2), уравнению (3, 1, 1) и соответствующий решению задачи о прогибе свободно опертой балки
|
Щ |
Qb4, |
/ У____ 2 J£l -и |
64 / ’ |
|
|
|
2 4 D |
\ Ь |
Ь* |
|
Функция |
w\ = w—wо удовлетворяет |
однородному |
|||
уравнению |
у2у 2ш = 0 и граничным условиям |
|
|||
(3,1,4)
бигармоническому
w± |
qb* |
i |
у____ 2 Ё - . |
|
|
|
2 4 D |
\ |
b |
Ь* ^ |
64 J ’ |
|
|
|
|
|||||
d2Wi |
= 0 |
при х = ± |
, |
(3,1,5) |
||
~д& |
|
|
|
|
|
|
Wl = 0, |
|
= |
0 |
при у = 0,, |
у = Ь. |
(3,1,6) |
Функцию w(x, у) можно найти методом Фурье, представляя ее в виде произведения функции одного переменного х на функцию другого пере менного у:
Щ{х, У) =X(x)Y(y). |
(3,1,7) |
Внося (3, 1, 7) в однородное бигармоническое уравнение, получим
X1VY + 2Х" • У' + XYIV = 0. |
(3,1,8) |
Это уравнение можно свести к уравнению только относительно X. Для этого возьмем в качестве Y(у) функцию, удовлетворяющую уравнению
Y = c Y |
(3,1,9) |
и граничным условиям (3, 1, 5), за решение уравнения (3, 1, 9) можно принять функцию
У„ = sin пяуb (п = 1 ,2 ,3 ...), |
(3,1,10) |
которая, как легко видеть, удовлетворяет всем четырем граничным усло виям (3, 1, 5). Подставляя (3, 1, 10) в (3, 1, 8), получим уравнение для определения функции X
п2Л2 п*п4
Ь4
Xn==an c h ^ f - + b n ^ + |
c n sh J f - + d n^ f - c h ^ . |
(3,1,12) |
Искомое решение однородного бигармонического уравнения имеет |
||
т1- У |
х п *пЛ&-. |
(3,1,13) |
откуда |
|
|
вид
п = 1
Найдем константы в решении (3, 1, 12), используя граничные условия (3, 1, 6). Так как решение должно быть четной функцией х, то сп и dn равны нулю. Для определения ап и Ьп разложим правую часть гранич ного условия (3, 1, 6) в ряд Фурье. Имеем
яЬА |
(_у_ |
|
оо |
|
|
4qb* |
плу |
(3,1,14) |
|||
24D |
\ ь |
~лЮ |
ь |
||
|
|||||
|
|
|
л=1,3,5 |
|
Требуя удовлетворения решения (3, 1, 13) граничным условиям (3, 1, 6), получаем
1 пла | |
1 |
пла |
, пла |
|
4qbA |
|
ап ch ——- + |
Ь,ип----- sn ------ |
~лМ Ю ' |
||||
2Ь |
п |
2Ь |
2Ь |
|||
а„ п2л 2 , пла |
Г)2тт2 |
Г |
птгп |
|
(3,1,1) |
|
^ |
Sh - ^ 1 = 0 . |
|||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
2b |
2Ь J |
|
Решая систему (3, 1, 15) относительно ап и Ьп и подставляя найден ные значения в (3, 1, 12) и (3, 1, 13), после преобразований получим
w = wQ+ w1 =
|
|
|
плх |
4gb* |
y i |
|
2 ch a ch |
1 — |
Ъ |
||
ЛbD |
2 j |
|
|
|
|
||
|
П=1,3 |
|
|
плх плх плх
а sh х ch ------- |
— |
--------b |
sh —-— ch x |
|
b |
b |
|
1 -ф- ch |
пла |
|
|
~~b~ |
|
|
|
|
|
|
s i n ^ ,
b
(3,1,16)
гд е а = ----- .Соотношение (3, 1, 16) дает связь между нагрузкой q, дей-
2b
ствующей нормально к поверхности пластины, и прогибом ее срединной поверхности. В силу хорошей сходимости ряда для практических расче тов ограничиваются первым его членом.
Рассмотрим теперь метод решения поставленной краевой задачи, основанный на представлении решения в виде двойного тригонометри ческого ряда [3]
W = jp ^ Ат>п sin sin (3,1,17)
m = 1 п = 1
Легко видеть, что граничные условия (3, 1, 2) и (3, 1, 3) выполняются.
Найдем коэффициенты Ат, п. Применяя к до операцию у 2 у 2( ), убеж даемся, что