Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

71.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 7028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

3. Сосредоточенные кривизны

Удобные приближенные решения для различных конфигураций, загружений и опираний пластины можно получить, рассматривая фор-, мы изгиба с сосредоточенными кривизнами, являющимися двугранными углами перелома поверхности пластины. Заметим, что сосредоточенное кручение поверхности пластины не может быть осуществлено без на рушения условия неразрывности деформации, поэтому должно быть исключено из рассмотрения. Кроме того, нетрудно показать, что кри визны, сосредоточенные в точках и образующие не двугранные, а мно гогранные углы, дают значения работы внутренних сил, бесконечно малые по сравнению с работой внутренних сил на двугранных углах перелома поверхности пластины.

Метод расчета пластин, основанный на рассмотрении форм их де формаций с сосредоточенными кривизнами, был разработан еще в 1931 г. Иогансеном [127] применительно к железобетонным пластинам и широ ко применяется в практических расчетах последних.

Работа внутренних сил, приходящаяся на элемент d s длины ребра перелома (цилиндрического шарнира текучести), выражается форму лой

d T = ----- m TQds,		(3,16,60)-
У	3 т
где 0 — величина двугранного угла	перелома,	множитель 2/]/3 возни

кает вследствие предположения об отсутствии удлинений вдоль ребра

перелома. Этот	множитель		можно включить в условную величину пре-
дела текучести	.	2
дела текучести	о т=	о т.
Полная работа внутренних сил будет равна
		Т =	(3,16,61)

где суммирование распространяется на все ребра перелома.

Для полигональной шарнирно опертой пластины, нагруженной со

средоточенной силой Р , была_ выведена формула [128], которая с по
правкой на коэффициент 2 / V 3 имеет вид
	Pnp = - ^ m TVctga, .		(3,16,62)
Здесь а, — углы, образованные линиями, идущими из точки прило
жения силы Р в вершины периметра		пластины со сторонами контура
опирания	(рис. 3.40).'	по криволинейному	выпуклому
Для	пластины, шарнирно опертой

контуру, уравнение которого в полярных			координатах с центром в точ
ке приложения силы Р	будет р= р(ф), дана формула [125]
Рпр =	^	т тФ (1 - ^	+ 2 -£-)dq>,	(3,16,63)

Имеются также формулы для плит с заделанными и опертыми краями, для плит опертых в топках и т. д. Все эти формулы получают обоснование и связь с общей теорией малых упруго-пластических Де формаций [120], как приближенные фор мулы кинематического расчета предель

ного равновесия.

4. Предельное равновесие железобетон ных пластин

Условия текучести для железобетон ных пластин следует принимать отлич ными от условия (3, 16, 17). С достаточ ным основанием для плит, одинаково армированных в двух взаимно перпен дикулярных направлениях верхней и нижней сетками арматуры, условия те кучести можно принять в виде

I « Lax = «г,

(3,16,64)

где |м |тах — максимальный по абсолют ной величине изгибающий момент, дейст вующий по любому направлению; т т — предельное значение этого момента.

Если пластина имеет одиночное армирование, т. е. одну нижнюю сетку арматуры, то, считая бетон не воспринимающим растягивающие

напряжения, будем иметь два условия текучести
«max =	mT;	rnmIn =	0.		(3,16,65)
Условия (3,16,64) и (3,16,65) в		координатных		осях гп\,	/«2, где Ш\
и /пг — главные изгибающие	моменты,		изображаются		квадратами
(рис. 3.41). Они соответствуют потенциальным функциям
П (xlf х2) =	mT( IХ1 1+		I «2 1)		(3,16,66)
при двустороннем армировании и
П ( « 1 , х 2) = - ^	(* i + IX I I + XJ +			IK , ! )	(3,16,67)

при одностороннем. В дальнейшем все рассуждения будем вести для пластины с симметричным двусторонним армированием.

Полная работа внутренних сил для всей пластины равна
Т = - j’ mT( \|x 1\| +	!x2 \|)d ^'.	(3,16,68)
У
Работа внутренних сил по-прежнему равна
V = \ q w d &	1	(3,16,69)

Для предельного состояния требуется, чтобы при заданном V абсо лютное значение Т имело минимальное значение, или чтобы при задан ном Т значение V было максимальным.

Допустим вначале, что кривизны к\ и К2 имеют везде одинаковый знак, который без ограничения общности можно считать положитель ным. Тогда при mT= const

Т = — m TJ\ ^ 2w d S	= —	дп	ds = — m;s f - ^ Л				(3,16,70)
J				\		дп J ср
В равенстве (3,10,70) поверхностный			интеграл	преобразован				в кон-
..	опирания	N	/	dw \		— среднее		зна-
турныи, s —длина контура		пластины,! ----)
			\	дп	/ сР

чение угла наклона деформированной пластины на ее контуре по нор малям к последнему.

Задаваясь величинами	на контуре, величину Т мы однознач-
	дп

но определим. Для того чтобы при этом получить максимум V при положительной нагрузке q , надо прогибам w внутри пластины придать максимальное значение. Это приведет к поверхности отрицательной

\ т г		т г
т г		/77_
		Т
0	mf	0	\	/
■ тт	m T	Л7Г	\	/
■ тт	m T	Л7Г	\	/
-			1	/

-т Т

Рис. 3.41 Рис. 3.42

гауссовой кривизны (рис. 3.42), для которой формула (3,16,70) для Т будет уже несправедлива.

Положим теперь, что кривизны к\ и хг имеют разные знаки. Тогда гауссова кривизна пластины будет отрицательной, а работа внутренних

сил выразится формулой
Т = —	Г m TJ х, — х21 d & .		(3,16,71)
	&
Замечая, что
хК2 = - - [w xx + Wyy + V ( w xx — w yyf		+ < , J’	(3,16,72)
получим
т = — f mTV ( w xx — w yyY + w xy2		d &	(3,16,73)
т = — f mTV ( w xx — w yyY + w xy2		d &
с¥
Чтобы при заданном У (3,16,69) величина Т имела минимальное
значение, следует положить
w xx —	w ey = 0; w xy = О,

18 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

при ЭТОМ

*>хх = * 1 = Щ у = * 2 ,

и мы будем иметь поверхность положительной гауссовой кривизны с уравнением

где f — произвольная функция аргумента, стоящего в скобках.

Итак, допуская xiX2> 0, получим, что экстремальное свойство* ха рактеризующее состояние предельного равновесия пластины, достигает ся за пределами этого допущения точно так же, как и при альтернатив ном допущении xqX2< 0. Отсюда следует, что состоянию предельного равновесия должно удовлетворять пограничное значение гауссовой кри визны xiX2= 0 во всех точках пластины, т. е. деформированная поверх ность пластины должна состоять из участков нулевой гауссовой кри визны.

Рассмотрим полигональную пластину, шарнирно опертую по контуру и нагружен ную произвольной положительной нагрузкой. Форма разрушения такой пластины показана на рис. 3.43, Обозначим углы наклона элементов пластины по направлениям, перпендикулярным сторонам одного опорного контура,

через ф. Тогда вместо (3, 16, 70) получим

		Т — — /ят2ф/£*	(	dw \	(3,16,74)

где	Li — длина /-той стороны опорного контура. С другой
стороны, прогибы w поверхности, имеющей вид пологого
многогранника, равны
		w — w (x,	=		(3,16,75>
где	Zh — расстояние от рассматриваемой точки (х, у ), до
стороны опорного контура, относящейся к той грани по
верхности пластины, где расположена точка					(х, у ), k —
номер этой		грани.
Подставив (3,16,75) в выражение		работы внешних сил		(3,16,69), найдем
	V = Хф/S i,				(3,16,76)
где Si — статический момент нагрузки		на /-той грани	деформированной		поверхности,
взятый относительно стороны опорного контура.
Условие максимума V+ T вьцразим теперь в виде
J	% (Si — mTli) = max.				(3,16,77)
Для реализации этого условия необходимо приравнять нулю частные производ
ные по ф,- от левой части выражения (3,16,77)
S/		dSj	0 .		(3,16,78)
		=

дфi

Учитывая, что углы ф, являются малыми величинами, в начальной стадии раз рушения пластины их можно считать стремящимися к нулю, и тогда получим простое условие

= mT = const.

(3,16,79)

Таким образом, действительная форма разрушения полигональной пластины должна обладать тем свойством, что отношение статических моментов нагрузки S, на каждой грани деформированной поверхности, взятых относительно соответствующих сторон описания, к длине этой стороны /,• должно быть одинаковым для всех граней.

Представим функцию нагрузки в виде
? = <7о1 ( х ,у ) ,	(3,16,80)

где qQ— коэффициент пропорциональности, подлежащий определению, £ (х , у) — задан

ная функция, определяющая единичную нагрузку q0= 1 .			получим
Тогда из условия ТЛ-V —0 с учетом 1(3,'16,74) и (3,46,76)			получим
— т т	'ФЛ ■ф’ Яо	= 0,	(3,16,81)
где
	s ' = —		(3,16,82)
	Яо
статический момент единичной нагрузки. Отсюда
	т т2 фА		(3,16,83)
			(3,16,83)
Согласно доказанному минимум q0 достигается при		=	const-
Сравним теперь истинную форму разрушения, удовлетворяющую критерию
(3,16,79), с какой-либо другой, отличающейся иным		очертанием граней поверхности.

В этой второй форме площади, поворачивающиеся вокруг каждой из сторон опорного контура, будут иные, причем одни из них больше, а другие меньше соответствующих площадей в истинной форме разрушения. То же можно сказать и о статических момен

тах нагрузки, расположенной на	частях пластины, относящихся к каждой				стороне
опорного контура. А так как длина сторон		/*	в обеих	формах разрушения одинакова,
то во второй форме разрушения	некоторые	из	величин	h /S \ окажутся больше,	а	неко
торые меньше того одинакового	для всех сторон значения li/S] = qo/mTi которое					имеет

место в истинной форме разрушения.

Отсюда для любой формы разрушения, состоящей из плоских элементов, вращаю

щихся вокруг сторон опорного контура, имеем
m i n - ^ —	- ^ - < m a x - ^ —.		(3,16,84)
Sj	тт	S\
Таким образом, мы получаем возможность двусторонней оценки величины разру
шающей нагрузки q0.		линейчатые формы	разрушения могут
В заключение заметим, что рассмотренные

с успехом применяться и в расчете пластин из материала с иными условиями текуче сти, например с условиями Губера — Генки — Мизеса для верхней оценки несущей способности.

5. Ортотропно армированные плиты

Часто железобетонные плиты армируются различно в направле ниях оси х и оси у. Это проявляется как в различном количестве арма туры, укладываемой в этих направлениях, так и в том, что уровень расположения арматурных стержней ввиду их взаимного пересечения оказывается разным для разных направлений. Такие плиты в отноше нии их расчета по предельному равновесию оказываются ортотропными.

Пусть предельный изгибающий момент в направлении оси х равен т Л, а в направлении оси у —тпу. Тогда работа внутренних сил при пла стическом изгибе плиты будет равна

Т = — Я (m* I W*X \ + т « IWvy I j' d x d y -

(3.16,85)

Работа внешних сил равна, как и ранее,

V = J | q w d x d y .

(3,16,86)

Введем новые независимые переменные

		У			X	Л =		и
		1 =		У rnx		Л =		- р = .
				У rnx				у ту
образом:	(3,16,85)			и	(3,16,86)			преобразуются
Тогда выражения	(3,16,85)			и	(3,16,86)			преобразуются
Т =	— V	m	x m		yQ^	d2w	+	d2w \^с1Ы г),
			Г		~ w			drf
			Г
	V	=	V	m xtnу		\| \|	qwd\dx\.
						Г

(3,16,87)

следующим

(3,16,88)

Интегрирование здесь производится по преобразованной площади F', в которую переходит площадь F после линейного преобразования координат (3,16,87).

Приравнивая сумму работ внешних и внутренних сил нулю, полу чим условие предельного равновесия

d^w ^ dldr\ =	qwdldv).	(3,16,89)
дг\|2ч

Таким образом, задача расчета ортотропной плиты сводится к рас чету изотропной плиты, контур которой получен из контура заданной плиты при помощи линейного преобразования (3,16,87), причем предель ный изгибающий момент в приведенной изотропной плите принят рав ным единице. Нагрузка здесь считается отнесенной к единице поверх ности заданной плиты.

§17. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

КЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ

Обычно формой разрушения пластины в расчете кинематическим методом приходится задаваться ввиду трудности получения точного решения экстремальной задачи. При этом получается оценка сверху, которую не всегда удается достаточно понизить. С развитием линейного программирования (см., например, [128]) появилась возможность уточ ненного расчета, исходя из некоторой многократно изменяемой систе мы, включающей в себя большое количество возможных форм разру шения. Методами линейного программирования можно автоматически найти параметры, определяющие форму разрушения, наиболее близкую к истинной, а также достаточно точное значение разрушающей нагрузки [124].

Зададимся формой разрушения пластины в виде пологого много гранника, вершины которого расположены в узлах квадратной сетки с диагоналями (рис. 3.44). При этом работа внутренних сил Т оказы вается равной

где 0 г— двугранный угол перелома в i -том ребре многогранника дли ной U. Суммирование производится по всем ребрам перелома. В более общем случае, например в случае армированных железобетонных плит, можно брать различные значения т т — при положительном угле т т и

при отрицательном — т \ .

Углы 0г- полностью определяются значениями прогибов пластины в узлах

сетки. Имея перед глазами сетку	ребер
перелома с пронумерованными узлами,
сделать это очень легко. Например, угол
перелома на участке 15—16 сетки,	изо-,
браженной на рис. 3.44, равен
015-16 = (^15 + ^ 1G • а »11 — ®2о) Y
где X — размер стороны квадрата	сетки. /:-у
Точно так же получим	Рис. 3.44

07-16 = ( щ + а» 1б — Ю ц — W n ) —

Для диагональных участков сетки угол перелома определяется несколь ко иначе. Например, для участков 6—11 и 13—17 имеем

®0-11 " ( 2 ^ ц ^ 7 ^15) ' *> ®13-17 — ( 2 ^ i 3 w 8 ^ 18) —

Нетрудно показать, что угол перелома на участках двух полудиагоналей, например 6— 11 и И —16, всегда один и тот же; поэтому в расчете мы можем иметь дело с целыми диагоналями, не расчленяя их на по ловины.. Таким образом, определяем

								у	2
®G-16 = ®6-11 = 0 Ц - 1 6 — (2 ^ 1 1						^ 7	<^15)	^
Работа внутренних сил на прямых участках сетки ребер перелома
равна —т Т@Х	или	шт0Х,	а на диагоналях				(полных) — т тЬХ ]/2
или ШтдХ]/2,	причем первые			выражения берутся				в	случае	0>О, а
вторые при 0<О.
Общая работа внутренних сил равна
			Г = - £ т тФ,							(3,17,2)
где ф — наибольшая		из величин		Я0	и	------- к в . Мы			имеем,	таким
образом,неравенства
		ф >	6к;	ф >	---- — 0А..					(3,17,3)
			I			771т

Здесь, как и в некоторых предыдущих формулах, для простоты записи опущены индексы при ф, 0 и шт, обозначающие участок сетки ребер перелома.

Выражая 0 через прогибы w, получим вместо (3,17,3) ряд нера венств вида

	2 (ш 15 + Щ в — ® U — ® 2о);		ш'т
Ф15-18 >	2 (ш 15 + Щ в — ® U — ® 2о);	Ф хб- 16 >	— 2 —	( ® в	+ а>1 в — а » п —	а>20),
			.	Т	(3,17,4)
	Фв_1в > 2тюп — йу7 — ш15;	фв_16 > — 2 —i		(2a»u — ш7 — а>„),
			ITL'Y
работа внешних сил в состоянии разрушения равна
		У =			(3,17,5)
Здесь	Р — часть вертикальной	нагрузки,	расположенная на участке
пластины, тяготеющем к узлу i (рис. 3.45).
Потеря потенциальной энергии системы на заданном перемещении
равна алгебраической сумме работ внешних и внутренних сил:
	и = V + Т = £ wtPt -		£ т тФ _*.		(3,17,6)
		Во второй сумме суммирование произ
	водится по всем участкам сетки возможных
	ребер перелома.
		Для истинной формы разрушения ве
	личина U должна быть максимальной.
	Кроме того, в состоянии				предельного	рав

новесия она обращается в нуль. Таким об разом, получаем следующую задачу пара метрического линейного программирования; требуется найти максимум линейной формы 0 (3,-17, 6) при наличии неравенств (3, 17, 4), полагая прогиб одного из узлов равным единице. Далее, надо отыскать такое зна чение параметра нагрузки, т. е. общего множителя при величинах Р *, при котором

максимум формы U обращается в нуль. Попутно в процессе решения задачи получаются все данные для нахождения формы разрушения пла стины.

Эта задача решается при помощи симплекс-метода, для которого есть готовые программы вычислений на электронно-цифровых вычисли тельных машинах.

В ряде случаев, когда требуемая точность расчета позволяет огра ничиваться небольшим числом узлов сетки, вычисления можно про изводить и вручную.

При переходе от пластины к оболочкам появляются новые каче ственные особенности расчета по предельному равновесию, которые за ключаются в том, что в оболочках необходимо учитывать кроме дефор маций изгиба осевые деформации ее срединной поверхности. Трудности, возникающие при этом, долгое время мешали распространению метода предельного равновесия на оболочки. Лишь в отдельных случаях удает ся расчленить осевые деформаций и деформации изгиба по отдельным сечениям, и тогда задача расчета оболочки становится достаточно про стой.

1.Ц илиндрическая оболочка

Возьмем, например, осесимметричную цилиндрическую оболочку, открытую с од ного конца и нагруженную по свободному краю равномерно распределенными радиаль

ными силами Р (рис. 3.46). (Материал оболочки будем считать подчиняющимся усло виям пластичности. Зададимся деформацией, при которой на некоторой длине с обо лочка превращается в усеченный конус, причем возникают кольцевые удлинения еф,

С— X	показаны		на рис. 3.46). В сечении х = с при			данной де-
равные -------- 0 (обозначения	показаны		на рис. 3.46). В сечении х = с при			данной де-
R
формации возникает кольцевой шарнир текучести с углом перелома 0 .						Кольцевые
Нетрудно подсчитать работу внутренних сил на					данной деформации.	Кольцевые
удлинения дают
		с
a7h2nR		Г	0	dx =	по^ /lC20
a7h2nR		j (с — х) —		dx =	по^ /lC20
ih — толщина оболочки), а перелом в кольцевом сечении х= с
•	2	о	Л	Jttf/iacrT0
*	/ 3	т т2я«0 =		—у з	т
Таким образом, полная работа внутренних сил равна
				Rh	•	(3.17.7)
	Т = — я а тЛ0 ^с2 4-				•	(3.17.7)
Работа внешних сил равна
		V = 2nRcQP.				(3.17.8)

Из равенства V+ T = 0 получаем

oTh

Р==

Минимум Р будет при

- V / 3

Он равен

Для железобетонных оболочек это элементарное решение может быть обосновано как точное. Зададимся формой прогибов оболочки v(x). Тогда в оболочке возникнут кольцевые удлинения v/R и продольные кривизны и" В железобетонных оболочках, армированных продольной и кольцевой арматурой, величина предельного изгибающего момента т т не зависит от кольцевых удлинений, а предельные кольцевые усилия <jTh не зависят от напряжений в продольной арматуре. Следовательно, работа внутрен них сил здесь будет равна

с	с
Т — — 2яRh ^ ar ~ - dx — 2nRmT \|* \| о" \| d x .		(3.17,12)

Интегрирование ведется в пределах, деформированного участка оболочки 0 <.г<с. Работа внешних сил для рассматриваемой нагрузки равна

Истинной форме разрушения будет отвечать минимум суммы двух интегралов:

		с		с
		hoT I* v dx - f RmT j* \| v" \| dx = min (v >				0).		(3,17,14)
		о		о
Первый		интеграл равен	умноженной на hoTIR		площади Q		эпюры	прогибов
(рис. 3 .4 7 ),	а	второй — умноженному		на т т приращению v' на участке 0< х< с, т. е.
m Tv'(0). Таким образом, при заданном				и(0) следует найти		минимум	суммы:
		—	Т	hoTw - f RmTv' (0).				(3,17,15).
		—	— =	hoTw - f RmTv' (0).				(3,17,15).
Если задаться и'(0), то минимум Q будет при прямолинейной							эпюре	прогибов
(рис. 3.46),	поскольку кривизна		v" не может на протяжении			0 < х< с	менять	знак (при
перемене	знака кривизны .второй интеграл в (3,17,14)				даст	уже «е	и'(0), а	большую

величину). Таким образом, принятое предположение о -конической форме деформиро

ванной поверхности в ее верхней части	соответствует истинной форме разрушения
железобетонной оболочки \ для которой,	однако, решение несколько видоизменится за
счет иных значений а т и тт. Полагая в	(3,47,15) и .(3,47,13)

I) (0) = 1 , Q = -jj- , v' (0) = — ,

^С

получим
ho7	с	тТ		(3,17,16)
2nR2	2	1 2JIRC		(3,17,16)
2nR2	2	1 2JIRC
и		v
min P = P np=z	1		hOjUbj.
min P = P np=z	nR			2R
при	nR			2R
при
c		2RmT		(3,17.17)
c		hoT		(3,17.17)
		hoT

Принцип прямолинейности отрезков эпюры прогибов осесимметричной железобе тонной цилиндрической оболочки может быть доказан другим способом. Работа такой оболочки аналогична работе жестко-пластической балки на жестко-пластическом осно вании. На участках прогибов этой балки отпор основания равен постоянной величине, которая вычитается из .внешней нагрузки, и балка оказывается эквивалентной обычной балке с неизменяющейся в процессе деформации нагрузкой. При этом, как известно* состояние предельного равновесия может быть достаточно точно аппроксимировано прямолинейными участками прогибов с сосредоточенными кривизнами, представляющи ми собой шарниры текучести.

На основании данного принципа предельное равновесие замкнутого железобетон ного цилиндра с днищем под действием равномерного внутреннего давления может быть найдено в виде двух усеченных конусов с цилиндрическим шарниром текучести в середине оболочки (.рис. 3.48). Считая днища нерастяжимыми в своей плоскости и несопротивляющимися повороту краев, получим работу внутренних сил

4/ //

Т= — 27iRmT----- — 2л/щх —

Здесь 4 / / / — угол поворота в цилиндрическом шарнире текучести, ///2 — площадь эпюры прогибов, / — прогиб в среднем сечении.

Работа внешних сил равна

V = 2nRq

1 Этот вывод был получен ранее в [129].

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 7028 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб22Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб15Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб20Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб6Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf
#
19.11.202335.36 Mб138Оборудование для дуговой электрической сварки. Источники питания дуги.pdf
#
12.11.202312.57 Mб0Оборудование для подготовки материалов..pdf